El experimento de la doble rendija o de Young

8 visiones del mismo fenómeno

Una fuente de luz coherente y monocromática (imaginad un láser) pasa a través de dos rendijas. La distancia entre las rendijas es tal que se produce el siguiente efecto: En una pantalla posterior, a una cierta distancia, vemos cómo la luz crea una figura muy bonita llamada de interferencia, donde hay lugares con mucha luz, otros con menos luz y otros sin luz! (Fase 1)

Si hacemos pasar la luz sólo por 1 rendija, el resultado es similar a si enviáramos balas o partículas (Fase 2) aunque también hay una cierta difracción en los bordes... Si repetimos la Fase 1 con detectores en las rendijas para saber por cuál pasó, desaparece la interferencia y la luz parece volver a comportarse como partículas... (Fase 3)

Podeis ver una animación de la Fase 1 aquí.

Veamos la explicación que darían del fenómeno algunos científicos. Éste es un ejercicio de ficción, naturalmente. En las explicaciones, pretendo resaltar los conceptos importantes de las teorías de cada uno, lo que no significa que no aceptaran parte de las teorías de otros o que su pensamiento no cambiara a lo largo de su vida científica…

I. NEWTON. La luz está compuesta de partículas materiales (corpúsculos). Estos corpúsculos se propagan en línea recta a una velocidad muy grande. No hay una explicación satisfactoria para describir la figura de interferencia de la fase 1. No obstante, es evidente que al pasar por una sola rendija, la luz se comporta como partículas en la fase 2. La fase 3 era de esperar, porque el que detectemos o no el paso de la luz por las rendijas no debe cambiar el comportamiento de los corpúsculos de luz. Es realmente misterioso que aparezca interferencia si no detectamos el paso de la luz (fase 1) y que no aparezca si lo detectamos (fase 3)…

C. HUYGENS. La luz es una Onda. Dependiendo del punto en que coinciden 2 ondas de luz pueden obtenerse máximos y mínimos en función de la diferencia de caminos (que implica una diferencia de fases) de las ondas que interfieren. Esto explica claramente la figura de interferencia de la fase 1 y la difracción en las fases 1 y 2. No obstante, no se consigue explicar por qué al detectar el paso de la luz por una de las rendijas, de pronto, ¡cambie mágicamente su carácter de onda y deje de producir interferencias!

A. EINSTEIN, L. DE BROGLIE. Dualismo Objetivo. La luz son ondas y partícula reales. No sólo la luz, también todas las partículas atómicas comparten esa dualidad. La Onda es un ente extenso. Esto queda evidenciado en la figura de interferencias observada en la fase 1, al estilo de la teoría de C. Huygens. Ahora bien, la energía de la onda no está diseminada a lo largo de la misma, sino que se concentra en el espacio, y estas concentraciones son denominadas fotones, idea utilizada por vez primera por M. Planck en su estudio de la radiación de un cuerpo negro. Esto explicaría la fase 3, en la que el comportamiento de la luz es claramente corpuscular. Lo extraño es la comparación entre la fase 1 y 3. Debe haber una descripción más exacta de lo observado que no implique la acción del observador, ya que existe en la naturaleza una realidad objetiva e independiente. Cualquier mecánica que se formule debe tener variables que permitan la existencia objetiva de las partículas como el fotón.

E. SCHRÖDINGER. Onda objetiva. La Onda es Real y se describe mediante una función Phi compleja que es solución de una ecuación diferencial. En esta ecuación está contenida la información energética del sistema. Esto explica la fase 1.
El carácter corpuscular -lo que Einstein denomina fotón- puede explicarse como un paquete de ondas guiado por la misma onda. Por lo tanto, una descripción ondulatoria más elaborada sería suficiente para explicar la fase 2.
La fase 3 implica al observador. No está claro cómo compaginar eso con una descripción puramente ondulatoria…

M. BORN. Ondas de Probabilidad. La función Phi de Schrödinger no es real ya que no puede asociarse de un modo satisfactorio a la posterior localización del fotón. Phi se interpreta como una densidad de probabilidad, cuyo cuadrado nos da la probabilidad de presencia del fotón. Esta interpretación sí se ajusta correctamente a los resultados… No hay problema con las fases 1,2 y 3 si aceptamos la elavoración de una mecánica que sea probabilística y que tenga en cuenta el efecto del observador.

N. BOHR. Principio de Complementariedad. Las apariencias de onda y de partícula de los sistemas cuánticos (como la luz) son sólo aspectos complementarios y excluyentes de una misma realidad. No hay onda ni partícula, sino una realidad que nos es revelada de un modo u otro sólo mediante el experimento adecuado. No puede asociarse ninguna realidad al fotón si no se efectúa una medición sobre él. En este experimento estamos midiendo al fotón de dos maneras -con detectores (en la fase 3) y con una pantalla final en la cual inciden en una posición concreta (fases 1,2 y 3)-. Sólo en esos instantes puede hablarse de realidad asociada al fotón. Por tanto, debemos transformar nuestro concepto de localización real del fotón. Todo lo que no sea descrito mediante un experimento que incluya el efecto del observador no es válido. El que haya una realidad subyacente independiente de la observación es una opinión íntima que no debe ser objeto de la ciencia experimental.
Así se explican las fases 1,2 y 3. La teoría de Schrödinger es incorrecta; se admite la interpretación probabilística de Born.

W. HEISENBERG. Principio de Indeterminación. Admite que la Indeterminación es un caso particular del Principio de Complementariedad de Bohr. La naturaleza excluyente de los aspectos de onda y partícula hace que ciertas cantidades (Observables) no commuten entre sí cuando son medidas. El producto de la indeterminación en los resultados de medir simultáneamente dos cantidades de este tipo nunca es menor que una determinada cantidad, que depende del cuanto de acción de Planck, h. Esto explica las fases 1,2 y 3. A partir de ahí, cualquier cuestión epistemológica sobre el tema es secundaria, lo importante es que las matemáticas funcionan!

R. FEYNMAN. Integral de todos los caminos posibles. La luz se propaga por todos los caminos posibles (en línea recta, curva, etc…) y de todas las maneras posibles (con velocidad mayor y menor que c, etc...) a través de las rendijas. La probabilidad que da cuentas de la localización final de los fotones se calcula a partir de la suma de amplitudes de todos los caminos y maneras posibles. Sólo así se obtiene el resultado correcto. El resultado final es muy parecido al que obtendríamos si hubiésemos considerado sólo que la luz se propaga con velocidad c y en línea recta, aunque no es exactamente igual. Los sucesos ocurren de todas las formas posibles a la vez. De este modo, no son necesarios principios de Complementariedad ni de Indeterminación para describir la Naturaleza. Ahora bien, los cambios en las condiciones iniciales y finales de un suceso hacen que sea un suceso diferente. La detección del fotón a su paso por una de las rendijas es un nuevo suceso cuya probabilidad debe ser sumada con el resto de probabilidades. Esto explica las fases 1, 2 y 3.

Ratones, electrones y la paradoja de De Broglie

¿Cuál es el sentido de la Probabilidad en Mecánica Cuántica?

La paradoja de De Broglie fue un intento de mostrar la necesaria incompletitud de la Mecánica Cuántica. Es decir, evidenciar que la función de onda de un sistema no puede contener toda la información del mismo, a no ser que estemos dispuestos a renunciar a la realidad objetiva de los sistemas cuánticos. Para entender esta paradoja y la solución dada por la escuela de Copenhague, en mi opinión, primero debemos entender el concepto de Probabilidad de los mundos clásico y cuántico… y para ello nos va a ayudar el mismísimo Trotsky!

Un ratón escurridizo...

Consideremos a Trotsky, un ratoncito inquieto que puede moverse a lo largo de una caja grande cerrada introducida en una bolsa. La situación inicial es clara: si abrimos la caja en cualquier instante de tiempo, hallaremos a Trotsky dentro de ella el 100% de las veces. Esto puede expresarse así:

P (caja grande) = 1

Pero ésta es una caja especial, ya que podemos dividirla en dos partes cerrando una compuerta intermedia cuidadosamente (¡para evitar lastimar al ratón!)
De este modo, Iván y Edu (persuadidos por Stalin) introducen sus manos en la bolsa y dividen la caja inicial en las dos mitades A y B, siempre mediante el cierre de la compuerta con sumo cuidado. Iván se lleva la caja A a su casa y Edu hace lo propio con la B.
¿Qué probabilidad hay de encontrar al ratón en cualquiera de las dos cajas? Como hay 2 cajas posibles en las que puede hallarse, la Probabilidad en cada una es del 50%. Es decir:

P(A) = P(B) = ½

Ahora, Iván abre su caja A en un instante de tiempo t y encuentra allí a Trotsky (ver foto!). ¿Qué ha ocurrido con las Probabilidades? El conocimiento adquirido de que Trotsky se halla en A hace que la probabilidad de hallarlo en B a partir de ahora sea nula. Por lo tanto,

P(A) = 1
P(B) = 0
para todo tiempo posterior a t

Es importante ver que las Probabilidades han cambiado a partir del instante t, en el que hemos efectuado una observación y hemos obtenido más información sobre la ubicación de Trotsky. (El lector podría objetar que estamos hablando sólo desde el punto de vista de Iván, que es el que obtiene el conocimiento al efectuar la observación. Desde luego, el envío de esa información a Edu requeriría de un tiempo, a priori, no nulo.)

Y a todo esto, ¿qué podemos decir de Trotsky? Trotsky es un animalillo feliz cuya existencia no depende en absoluto del hecho de que hayan cambiado las Probabilidades P(A) y P(B), es decir, no depende de que nuestros amigos hallan efectuado alguna observación para localizarlo en sus respectivas cajas…

Un electrón aún más escurridizo...

Veamos qué ocurre cuando el objeto de estudio en este mismo ejemplo es un objeto cuántico (por ejemplo, una partícula atómica como un electrón) Ésta es la paradoja de De Broglie.

Según la Mecánica Cuántica, todo el conocimiento que podemos tener de un electrón nos viene dado por una función § llamada función de onda. [En el esquema hay otro símbolo, la letra griega phi que no pude escribir en el texto. Phi es la letra habitual]. Esta función no es directamente observable ni contrastable mediante medidas ya que se trata de una función compleja. No obstante, efectuando una determinada operación con §, en concreto, "integrando a todo un volumen el cuadrado de su módulo", sí obtenemos un número real y éste es interpretado como la Probabilidad de presencia de dicho electrón en ese volumen. Para simplificar, diremos que:

P = │§│²

Como en el caso del ratón Trotsky, supongamos un electrón en una caja de volumen V susceptible de ser dividida en dos partes. Inicialmente, la Probabilidad de encontrar al electrón en la caja tras efectuar una observación, es del 100%

P(caja grande) = 1

Ahora, dividimos la caja en dos mitades, A y B. Podemos hacerlo con menos escrúpulos que antes! Como en el caso de Trotsky, la probabilidad de hallar al electrón en cualquiera de ellas es del 50% o tal vez no, depende de si el proceso de división de la caja introdujo alguna variación inesperada. Pero eso no importa, la cuestión es que ambas probabilidades,

P(A) y P(B) deben sumar 1.

No sólo eso, sino que ahora el estado del sistema cuántico electrón se describe mediante dos funciones de onda, §a y §b, cada una de ellas definidas en los volúmenes de A y B. A priori, estas funciones no nos aportan información sobre dónde está el electrón, de modo que no podemos afirmar nada de su localización a partir exclusivamente de ellas.

Si Iván abre su caja A en un tiempo t y halla al electrón, ocurre algo aparentemente inexplicable si aceptamos nuestras premisas iniciales. Es evidente que ahora,

P(A) = 1
P(B) = 0

para todo instante posterior a t.

Podemos hallar esas probabilidades según la integral de volumen del módulo al cuadrado de §a y §b, y sabemos ahora que P(B) = 0. Entonces, P(B) =│§b│² = 0, y esto implica que §b debe anularse también para todo instante posterior a t. ¿Pero cómo hemos definido a la función de onda en general? ¿No contiene toda la información del electrón en un volumen, en este caso el volumen B?

Podríamos pensar que §b se anulaba también para todo instante anterior a t. De modo que el electrón estaba realmente en A durante todo el tiempo tras la separación de la caja. Si adoptamos este modo de pensar, -que es el que teníamos con el ratoncito Trotsky-, llegaremos a la conclusión de que la información de dónde se hallaba el electrón debía de estar contenida de algún modo en las funciones §a y §b mediante alguna variable desconocida u oculta para nosotros.

He aquí la paradoja: La función de onda contiene toda la información sobre el electrón pero ahora hemos llegamos a la conclusión de que debía de faltar algo más que desconocíamos si pretendemos afirmar que el electrón estaba realmente en un lugar u otro antes de la observación.

Dicho de otro modo, la noción de existencia del electrón (como en el ejemplo del ratón) en el espacio y el tiempo no es compatible con la premisa de que § contiene toda la información del sistema. Sólo podemos hablar de localización del electrón si éste fue observado. No es que no podamos hablar de su localización porque desconozcamos aún dónde está, sino que el concepto mismo de localización antes de la observación es incompatible con el formalismo cuántico. Debemos pues decir que el concepto real de electrón se difumina y admitir que éste existía tanto en A como en B antes del instante t, y sólo tras la observación hemos fijado su posición en A ó en B.

Por el contrario, si negamos esto y nos empeñamos en mantener una posición realista, debemos decir que la teoría cuántica es incompleta ya que § no contiene toda la información del sistema.

¿Pero, cómo demonios hemos llegado a esto?

La base de estas diferencias entre el mundo clásico y cuántico radica en nuestra definición de probabilidad. Habitualmente calculamos probabilidades según la regla

P(A) = Casos favorables / Casos posibles

Esto no tiene ninguna implicación sobre A, el suceso mismo que estamos estudiando. Aquí P(A) es un peso estadístico clásico, no es nada real y como vimos, no le suponía ningún trastorno al pobrecito Trotsky.

En cambio, en el mundo cuántico, P(A) depende de §a, por lo que un cambio en P(A) sí implica un cambio en el valor de §a, que es por definición toda la descripción del sistema mismo que estamos observando en el volumen de A. Aunque la suma de probabilidades cuánticas sea 1 y estén construidas de un modo coherente desde el punto de vista matemático, no son probabilidades al estilo clásico, sino otra cosa más profunda que roza el límite de lo real con aquello que no podemos definir...

NOTA 1: │§│² es en realidad una densidad de probabilidad, ya que si la multiplicamos por el volumen, obtenemos la Probabilidad de presencia en todo el volumen, en analogía con la densidad de masa habitual, cuyo producto con el volumen nos devuelve la masa.

Causalidad y Mecánica Cuántica

¿Ocurren los fenómenos físicos por puro azar o existen causas que los generan?

El físico actual busca causas cuando estudia la dinámica de los cuerpos cotidianos, los movimientos planetarios o la mecánica de fluidos, pero se abstiene de hacerlo cuando observa el mundo a escala atómica. En ese momento, admite que los resultados obtenidos en las diferentes medidas se deben estrictamente al azar, del todo incontrolado, aunque –eso sí- dentro de un espectro de posibilidades que podemos calcular.

Pensemos en un fenómeno atómico muy sencillo:
la desintegración de neutrones.

Estas partículas dan estabilidad a los núcleos atómicos, pero fuera de ellos se desintegran con una vida media de 900 s, dando origen a un protón, un electrón y un antineutrino. Esto quiere decir, que un neutrón se desintegrará a los 700 s, 950 s, o tal vez a los 1210 s. Si estudiamos el fenómeno con un número elevado de neutrones, el tiempo medio de desintegración será de unos 900 s.

¿Qué hace que unos neutrones se desintegren antes y otros después? ¿Son acaso neutrones diferentes o es que están sometidos a variables o causas diferentes?

La respuesta, desde hace casi unos 80 años es que, no sólo no existe causa alguna para ello, sino que la búsqueda misma de las causas contradice el formalismo matemático vigente y es considerada, por lo tanto, estéril y no-científica. Es importante observar que esta limitación de base no es debida a una limitación del instrumental o de nuestra capacidad de investigación. No se espera que con el avance tecnológico se describan las causas, sino que sencillamente, éstas no existen, en tanto que este tipo de fenómenos sólo pueden ser descritos mediante un lenguaje de probabilidades. De existir las causas, el formalismo que tan bien ha funcionado durante 80 años debería ser necesariamente incorrecto (según la postura oficial) y llegaríamos por tanto a una contradicción de gran embergadura.
La visión de la Naturaleza se vuelve, así, un tanto oscura y pesimista, en relación a la filosofía realista que en mayor o menor medida siempre había imperado durante las épocas anteriores a la Mecánica Cuántica.
La ausencia de causas, la Acausalidad es una de las bases de la interpretación imperante de esta teoría, denominada de Copenhague, debido a que el centro neurálgico de su desarrollo (al menos la parte epistemológica) se situó en aquella ciudad y fue liderado principalmente por Niels Bohr durante los años 20 y 30 del siglo XX.
En la práctica, el físico común experimenta lo que se llama una huída al formalismo matemático. Ante cualquier duda o paradoja de tipo epistemológico relacionada con el problema de la causalidad, se aferra al formalismo que es, por otro lado, muy consistente y eficaz y se muestra como uno de los mayores éxitos en la historia de la ciencia. De existir causas en los fenómenos cuánticos, deberíamos admitir la existencia de variables o parámetros desconocidos hasta ahora (en ellos se situaría la información de esas causas). Son las llamadas teorías de las variables ocultas, en actual desarrollo, aunque con muy poco asentamiento. Un ejemplo de estas teorías es la de David Bohm con su mecánica bohmiana.

¿Debemos pues, admitir la inutilidad de la búsqueda de causas a los fenómenos atómicos?

Tal vez, la llamada ley de causalidad no sea más que un producto de nuestra gramática y condición humanas muy útil para entender el mundo que nos rodea pero que se diluye al observarlo a una escala tan alejada como la atómica. De ser así, ¿en qué punto debemos situar la transición entre los fenómenos acausales descritos por la mecánica cuántica y los causales descritos por el resto de teorías clásicas?

142857

142857 es la parte periódica del inverso de 7. Es decir:

1/7 = 0,142857142857142...

Se trata de un número cíclico, es decir, su tabla de multiplicar se repite si realizamos determinadas permutaciones cada 7, que es casualmente el número cuyo inverso lo genera:

142857 x 1 = 142857

142857 x 2 = 285714 Permutación comenzando por la 3ª cifra

142857 x 3 = 428571 Permutación comenzando por la 2ª cifra

142857 x 4 = 571428 Permutación comenzando por la 5ª cifra

142857 x 5 = 714285 Permutación comenzando por la 6ª cifra

142857 x 6 = 857142 Permutación comenzando por la 4ª cifra

142857 x 7 = 999999 Todos nueves!

(Este último resultado es de esperar, ya que 0,142857 es aproximadamente igual al inverso de 7, así que 0,142857 x 7 es casi 1)

Nuevo Ciclo

142857 x 8 = 1142856 El 7 final de 142857 se ha dividido en 6 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 9 = 1285713 El 4 final de 142857 x 2 se ha dividido en 3 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 10 = 1428570 El 1 final de 142857 x 3 se ha dividido en 0 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 11 = 1571427 El 8 final de 142857 x 4 se ha dividido en 7 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 12 = 1714284 El 5 final de 142857 x 5 se ha dividido en 4 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 13 = 1857141 El 2 final de 142857 x 6 se ha dividido en 1 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 14 = 1999998 El 9 final de 142857 x 7 se ha dividido en 8 + 1. El 1 pasa adelante.

Nuevo Ciclo

142857 x 15 = 2142855 El 7 final de 142857 se ha dividido en 5 + 2. El 2 pasa adelante...

Como todos los resultados se generan por permutaciones y/o desglose de las cifras originales, los múltiplos de 142857 dan 9 cuando sumas sus seis cifras. Y 9 es justamente la cifra que se repite al completar cada ciclo de 7 multiplicaciones.

Pero no acaba aquí, hay muchas más relaciones curiosas entre éste número, el 7 y el 9. Os invito a buscarlas y a intentar generar más números cíclicos como éste...

No es de extrañar que este número fuera considerado un número mágico en la antigüedad, y tal vez lo sea...!!!

Demostraciones sin palabras

He aquí algunas demostraciones matemáticas de series numéricas, en una especie de inducción visual.

Cuando os falle la memoria, hacéis el dibujito y listo! Lo cierto es que la serie que converge a 1/3 es espectacular, ¿verdad? Lástima que no he podido hacer el resto de cuadraditos verdes, pero os los imaginais...

¿Qué diferencia hay entre una demostración formal y una visual? De entrada, podríamos decir que la formal es indiscutible, cualquiera que comprenda el lenguaje en el que está desarrollada aceptará la verdad del desarrollo.

Pero, ¿acaso no es eso lo mismo que hacemos aquí? Al final, todo se reduce a un lenguaje de símbolos, ya sean letras o cuadraditos...
Para muchos, no es suficiente encontrar una demostración a un problema, buscan además que la demostración sea bella.

Clicad en la imagen para ampliar...

Solución nº7: Sombras y proporcionalidad

Transcribo:
"Tras medir la distancia al semáforo en UNIDADES DE LONGITUD DE BAROMETROS me entraron unos sudores tremendos. Mi suegra, dice que es que estoy acostumbrado a no pegar ni un palo al agua y un amigo, Pablo, dice que es del subidón que me dio al ver a la peluquera del piso de arriba. Yo creo que fue Juan Luis con lo del BAR o METRO.... pues que va ser al BAR. En definitiva, me fui al bar de enfrente a tomar unas cañas. Allí me encontré con Shin-Chan y no os cuento más... Se pasaron las horas y cuando acabé no sabía por dónde salir. Ya en la calle se me cayo el barómetro al suelo. !Me cago en to! Al ir a recogerlo me di cuenta que se había quedado de canto y que la sombra que proyectaba era igual a la longitud del barómetro. EUREKA!!!! Medí la sombra que proyectaba el edifico en el suelo con la cuerda que antes habia utilizado Francesc para pendulear o pendonear. OHHH LA LA!!! tenía la altura del edifico sin la ayuda de Spiderman. (Cualquier parecido de los personajes con la vida real es real). El Raúl."

La cosa se pone emocionante. ¿Fue a causa del estado de embriaguez o de la casualidad? Porque, si la sombra era igual a la altura, el Sol estaba a 45° respecto del suelo!

[Demostración: Si los catetos c de un triángulo rectángulo son iguales, por el Teorema de Pitágoras, h² = 2c², donde h es la hipotenusa. Así, el coseno de cualquiera de sus ángulos no rectos es cos (a) = c/h = 1/raíz(2). Esto sólo se cumple si a = 45° ]

Bien, en nuestra latitud L = 41° N, que el Sol esté a 45° no sucede todos los días.
En los equinoccios, la altura máxima H (en grados) del Sol respecto del suelo es
H = 90° -L = 49°
En el Solsticio de invierno, sólo llega hasta H = 90°-L -d = 26°
y en el de verano, hasta H = 90° -L +d = 72°
donde d es la desviación del eje de rotación respecto a la perpendicular del plano de la eclíptica, aprox. igual a 23° 27'. (También llamada Oblicuidad)




En conclusión, no podría haber sido en Octubre, Noviembre, Diciembre, Enero ni Febrero.
Así, deduzco que probablemente hacía buen tiempo y la chavala del piso de arriba iba ligerita de ropa... ¡Ahora lo entiendo TODO, querido Watson!
Bien, tu solución es válida, pero, ¿cúal es la solución para el caso general utilizando las sombras del barómetro y del edificio?

Muy fácil:
Colocamos el barómetro en posición vertical y medimos su sombra, SB.
Luego, medimos la sombra del edificio, SE.
La relación entre las sombras y las alturas, dado que las medimos casi en el mismo instante (el Sol se encuentra en la misma posición) debe ser la misma. Así que:
E / SE = B / SB
E = (B / SB) SE
donde E y B son las alturas del edificio y del barómetro respectivamente.

Solución nº6: El semáforo y los triángulos rectángulos semejantes...

Transcribo:
"Como no sabía qué edificio era me he ido a verlo. Miré haca arriba y me iluminó Pitágoras. Me puse de manera que un semáforo estuviera entre yo y el edificio y me retiré hasta que la parte de arriba del semáforo coincidiera con la parte de arriba del edificio. La solución de la áltura D del edificio estaba clara por triángulos rectángulos semejantes.
Sabiendo que mi altura es h y que A es la distancia al semáforo, B la altura del semáforo y C la distancia al edificio, y todo ello medido en una unidades de medida nueva: LA LONGITUD DEL BARÓMETRO.

La fórmula final se halla de la siguiente manera:
Cos a = A / y1
además sabemos que (por el Teorema de Pitágoras)
y1= raíz(A²+(B-h)²)
Si sustituimos,
Cos a = A / (raíz(A²+(B-h)²)), de donde,
a = arc cos (A / (raíz(A²+(B-h)²)))
Una vez tenemos el ángulo, repetimos los cálculos para el triángulo semejante. Es decir:
a = arc cos (C / (raíz(C²+(D-h)²)))
Como ya tenemos el ángulo, al sustituir ya tenemos la solución:
arc cos (A / (raíz(A²+(B-h)²)))= arc cos (C / (raíz(C²+(D-h)²)))"
(Enviado por Raúl Mateo)

Cojonudo, Raúl. Veo que te gusta el jamón!
Despejando de tu ecuación final, hallaríamos la altura D del edificio:
A / (raíz(A²+(B-h)²))= C / (raíz(C²+(D-h)²))
A² / (A²+(B-h)²)= C² / (C²+(D-h)²)
(D-h) A = (B-h) C
Finalmente, la altura del edificio es:
D = (C/A) (B-h) + h

el resultado se da en longitudes de barómetro, donde A, B, C y h se han medido utilizando la longitud del barómetro.

NOTA 1: Ya he descubierto cómo hacer el cuadrado (²): Alt + 253 :-)

NOTA 2: Hacia el 400 a.C. (época de Pitágoras), en la obra matemática China "Chou Pei Suan Ching" (周髀算经) , ya se da una demostración del Teorema. Parece que Pitágoras no tuvo acceso a esta obra. Un ejemplo más del eurocentrismo en la ciencia. :-(

Solución nº5: Fuerza bruta

Nos dirigimos al conserge/arquitecto del edificio con el barómetro en posición ofensiva y le gritamos:
"¡Si no me dices cuál es la altura exacta del edificio te abro la cabeza!"

(Yo mismo ;-))

Solución nº4: Medir con una plomada

"Si se dispone de un metro, se cuelga el barómetro de un cordel hasta que llega al suelo, se recoge el cordel y se mide. " (Francesc Casanellas)
A lo que yo anadiría -si me permites, Francesc-: Cuando el barómetro toque el suelo marcamos la cuerda. Tras medirla, deberemos sumarle la longitud del barómetro...

Solución nº3: Usar un péndulo

Transcribo: "El sistema seguramente más preciso sería colgar el barómetro de un hilo y usarlo como péndulo. El período se puede medir con mucha precisión, por ejemplo contando 100 pulsaciones. Entonces se aplica la conocida ecuación del péndulo para deducir la longitud del hilo: l = g.(T/(2·pi))²"
(Francesc Casanellas, donde T es el período y g la aceleración 9,8 m/s²)



Efectivamente, deberíamos colgar el barómetro de un hilo de longitud igual a la altura del edificio, desde la azotea del mismo hasta el suelo, elevarlo un poco y hacerlo pendular.
Ahora bien, el valor que debemos introducir en g depende de nuestra posición geográfica...

Nota: Esta es una solución gravitatoria que deriva de la 2ª Ley de Newton F = ma y es válida para un Movimiento Armónico Simple. Esto es, para oscilaciones de ángulo pequeño, donde pueda aproximarse que sin(a) = a

Uno de los primeros en estudiar el movimiento del péndulo, su isocronismo (el período no depende de la ampitud de oscilación si es pequeña) y su dependencia con la gravedad, fue Galileo Galilei.

Solución nº2: Tirar el barómetro desde arriba

Cronometrar el tiempo de caída t del barómetro, hasta que se estrella contra el suelo. Usaremos la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que deriva del Cálculo diferencial de Newton y Leibnitz aplicado a los conceptos de aceleración, velocidad y posición. Llamemos y al eje del movimiento. Lo dejamos caer desde arriba (velocidad inicial nula, vo = 0). Nos quedaremos sin barómetro, pero hallamos la altura del edificio según

y = yo + vo t +(½) g t²

Como yo = vo = 0

y = (½) g t²

donde g = 9,8 m/s², la aceleración del campo gravitatorio.
Una caída de 3 s, nos dará una altura de unos 45 m...
(Francesc Casanellas, aunque comenta que es muy impreciso debido a la resistencia del aire)

Solución nº1: Diferencia de presiones

Bien, la añado en primer lugar porque es la más obvia:
Con el barómetro, leemos la presión atmosférica en la azotea del edificio y abajo, en la calle.




La presión atmosférica disminuye con la altitud. Para pequeñas alturas, la variación es aproximadamente lineal...
Por ejemplo, una diferencia de presiones de 100 hPa equivaldrá a una altura de unos 1000 m...

Bases del concurso

"Hallar la altura de un edificio con un barómetro"


Éste es un clásico en la enseñanza de la física. Aunque siempre se explica la historia de que tal o cual físico de renombre, en su adolescencia, dio respuestas inesperadas al problema ante el asombro de sus profesores, en mi opinión no es más que una leyenda urbana...
Bien, espero que os animeis a enviar vuestras soluciones. No importa que sean extravagantes siempre que tengan cierto rigor científico. Deberían ir acompañadas de fórmulas si es que son requeridas para entender mejor vuestro razonamiento. Si no recibo propuestas, yo mismo iré añadiendo soluciones... así me entretengo :-)

Reglas:
Podeis enviar las soluciones como comentarios a este Post. Posteriormente, las que sean válidas las añadiré como nuevos Post haciendo constar al autor de la misma.

Por supuesto, podeis escribir comentarios en cada una de las soluciones, si os parecen erróneas o incompletas...

Premio:
Ah! Se me olvidaba. Al que envíe la mejor solución -según mi criterio, que es totalmente subjetivo y parcial- le regalaré un jamón pata negra. ¿No está mal, eh?

Nota: En la imagen superior, pariente lejano del autor de este blog, meditando sobre la cuestión. En la inferior, una prueba.