Cuerdas, música y matemáticas

¿Qué hace que una combinación particular de sonidos nos resulte agradable (con-sonante) o desagradable (a-sonante)? ¿La cultura?¿La ideología?.

Desde luego, hay una mezcla inseparable de muchas cosas, pero a un nivel profundo, una esencia parece regir nuestro placer auditivo…¡una esencia matemática!

Armónicos y Pitagóricos

Nuestra cultura occidental atribuye a Pitágoras (o más bien, a su escuela) el descubrimiento de que el sonido obtenido tras pulsar una cuerda fijada por dos extremos y fijada a la mitad de distancia, resulta el mismo sonido, pero más agudo. La nota es la misma, una 8ª más alta. Y ¿por qué nos parece el mismo sonido?

Si el sonido se produce por una vibración periódica del aire, podemos idealizarlo como una onda propagándose. Las ondas se caracteriza por su Longitud y Frecuencia. La Frecuencia es el número de veces que se produce la oscilación por unidad de tiempo. De este modo, cuando escuchamos dos sonidos cuyas oscilaciones vibran con igual frecuencia o con frecuencias que se complementan, nos resultan armónicos.

Supongamos dos notas simultáneas, A y B. La A es una onda de presión que vibra el doble de veces que la B. Esto hará que la nota resultante A + B tenga una onda periódica en la cual encajan perfectamente las dos ondas originales. Por cada 1000 veces que la onda de presión de la nota A excita nuestro oído, la de B lo excita sólo 500 veces. Así, la periodicidad de A contiene a la de B. Por decirlo de un modo atrevido: la sensación que obtenemos al escuchar la nota A contiene a la sensación de escuchar la B. Este hecho es, en términos matemáticos, geométrico. Vemos que hay un factor 2 multiplicativo. Para que ocurra esta maravilla perceptiva hablamos siempre de mitades o dobles.

Bien, en este ejemplo, las dos notas A y B son por tanto armónicas. Pero no son las únicas. El cerebro interpreta que son la misma nota, pero otras muchas notas intermedias entre A y B también nos resultarán agradables (armónicas) siempre que la diferencia de frecuencias permita que las ondas se complementen, justamente, según las relaciones de enteros encontradas por los pitagóricos.

Por otro lado, cuando dos ondas tienen frecuencias ligeramente diferentes, la onda resultante tiene puntos de anulación produciéndose la sensación auditiva de latido o latencia. Este hecho es utilizado por los músicos expertos para afinar los instrumentos.

Más razones

Como hemos dicho, estas relaciones entre las ondas se ve traducida, en tiempos de los pitagóricos a relaciones numéricas (razones).

De este modo, la 4ª de una nota se encontraba reduciendo la distancia a ¾ de la original, la 5ª a una distancia de 2/3… Las 7 notas podían encontrarse mediante razones de enteros. Finalmente, la 8ª se encontraba a una distancia de 1/2, es decir, a la mitad de la original. Y así, podemos construir la llamada escala diatónica. (Equivale a las teclas blancas del piano) [Más detalles de cómo construir la escala de este modo, aquí.]

No sólo esto, el sonido producido por una cuerda (de longitud L) no se corresponde con una única forma de vibrar. De hecho hay infinitos modos de vibración simultáneos. Ahora bien, no todos vibran con igual intensidad. El primer modo (n=1) se corresponde con la cuerda vibrando en toda su extensión y es el más intenso; el segundo modo (n=2), con la cuerda vibrando a la mitad y un punto fijo en medio, es decir, con una longitud de onda la mitad de la del primer modo: nos da la 8ª; el tercer modo (n=3) oscila con una longitud de onda igual a 2/3 de L: nos da la 5ª de la fundamental, etc… Estos modos de vibración son los denominados Armónicos. Son prácticamente inaudibles, pero no totalmente.

Resulta sorprendente cómo la matemática hace de sustrato en el comportamiento de la naturaleza. Cómo los números y las razones entre ellos emanan del estudio detallado del sonido. El estudio de la música es el estudio de la combinación de sonidos y pasa por una numeración, ya sea de crestas de ondas o de longitudes de cuerdas o de tubos.
Las fracciones de enteros, en este caso están íntimamente relacionadas con algo tan metafísico y espiritual como el placer auditivo, que parece no poder ubicarse en ninguna parte…

Del mismo modo, las modernas teorías de cuerdas utilizan el concepto de armónico para dar cuentas de las partículas del modelo estándar. Así, cada partícula sería una especie de modo de vibración armónico de una cuerda. Quizá Pitágoras no estuviera tan desencaminado y el silencio de la noche no sea ni más ni menos que una especie de música celestial… Y quizá sus teorías estén en con-sonancia con las nuestras...

Lecturas recomendadas...

Me gustaría recomendar dos libros muy interesantes:

La ecuación jamás resuelta de Mario Livio y El camino a la realidad de Roger Penrose.


La ecuación jamás resuelta trata como tema central el concepto de simetría, tanto desde el punto de vista matemático como el perceptivo. Entre otras cosas, narra los acontecimientos de las vidas de Abel y Galois, ambos genios matemáticos que murieron muy jóvenes, y cuyos trabajos -mirándolo con perspectiva- han revolucionado las matemáticas y por extensión la física y todas las ciencias, pese a que no fueron muy reconocidos en vida. La importancia matemática de la simetría y su relación con la teoría de grupos -elaborada inicialmente por Evariste Galois- se ve más tarde aplicada con un éxito sin precedentes por la física relativista, cuántica y las teorías de cuerdas. (Tal vez, sí había un precedente anterior de gran éxito de una teoría matemática aplicada a un problema físico posterior: la geometría diferencial de la relatividad general). Curiosamente, la teoría de grupos surge como herramienta para demostrar la irresolubilidad de la ecuación de 5º grado y superiores, y de la forma más imprevista...

Resulta inquietante pensar cómo nuestra atracción por la simetría (en tanto que producto de la psicología evolutiva) pudiera estar relacionado con el hecho de que nuestra comprensión del Universo pasa por "exigir" simetrías a las teorías físicas. Este método de trabajo está resultando muy exitoso, como si a un nivel profundo la búsqueda de simetrías fuera una marca de fábrica en el funcionamiento tanto del Universo como de nosotros mismos.
Y, por otro lado, no sería tan extraño que fuera así. ¿Acaso no somos también Universo?

Ahora bien, uno podría plantearse la cuestión siguiente. Si hubiéramos evolucionado de un modo en el que la simetría bilateral no hubiera sido tan determinante en nuestra psicología, ¿podríamos entender igualmente el Universo al mismo nivel que lo entendemos ahora sin aplicar las teorías de la simetría?

Si la respuesta es que sí, nos enfrentamos al hecho de que hay diversos modos de describir el Universo, todos igualmente válidos y que dependen del proceso evolutivo de quien los aplique. La Matemática no sería entonces Universal, tan sólo el resultado arbitrario de un camino alternativo por el que estamos avanzando...

El otro libro, el mastodóntico El camino a la realidad es una joya de la divulgación de la matemática y la física. Digo divulgación, pero el nivel técnico general del libro y el uso constante de conceptos de matemáticas abstractas lo hace bastante inaccesible al lector no familiarizado con ellas.

Su lectura es un placer de gran duración, pues es más un libro de consulta y estudio que un ensayo divulgativo. (Para los más quisquillosos: el título del libro es cosa del editor, no del autor, como Penrose mismo comenta humildemente... :-))

Gracias, R. Penrose.