Crítica irreverente a mí, en tanto que yo, ahora.

Irreverente es esta PAUSA que no salta. Me la imagino como el botón de un cassette ahora ya antiguo pero que en otro tiempo nos permitía escuchar perlas como Your Song o 37 grados, de un tirón.
Irreverente y larga la espera cuando esperas, como en la canción de Pau Riba, cuando esperas una muerte -simbólica o no- que no llega.
Irreverente el impasse desde el último post de este blog, tan irregular en el ritmo, desordenado en la temática, a veces obtuso, con frecuencia desaprensivo, siempre inacabado, nunca lo suficientemente balsámico para la angustia que me genera la propia ignorancia.
Irreverente es este desierto de palabras, cuando todo a mi alrededor destila interés de conocimiento. Sólo deseo y espero que en breve ese interés se defina de nuevo y me haga disfrutar como antes.
No tan irreverente esta crítica, por ser de uno.

Hasta pronto!

Construcción de diagramas de espaciotiempo (IV)

Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes.

Llegados aquí, no es prudente caer en la euforia. Los diagramas de espaciotiempo se han deducido en base a los postulados de la Relatividad Especial y prometen ser útiles para nuestros propósitos, pero esto no implica que sepamos lo que estamos haciendo. Para abordar con éxito los fenómenos de Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes, debemos proceder paso a paso, midiendo cada uno de los sucesos siguientes del modo correcto y traduciendo las mediciones a la geometría de los diagramas.

LOS SUCESOS

Suceso A: Bacall y su casa se encuentran en el mismo punto del espacio.
Suceso B: Bacall y la casa de Bogart se encuentran en el mismo punto del espacio.

LA DILATACIÓN DEL TIEMPO

Desde O, en reposo, lo que mide Bogart (Δt)

“Pasaré por tu casa sin pararme, a una velocidad de... 0,998c”- asegura Bacall justo antes de colgar.
Y tras convenir ese fugaz encuentro, Bogart observa por la ventana con unos potentes prismáticos el reloj de pared de la casa de Bacall, situada a 9 Km. Curtido en decenas de películas, Bogart tiene en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar esos 9 Km hasta sus prismáticos, efectúa la corrección correspondiente y anota la hora leída: eran las “22h” exactamente cuando Bacall salió de casa según un reloj situado allí mismo, en x = a. Bogart ha medido el tiempo para el suceso A. Más tarde, cuando Bacall pase por delante de su puerta, (suceso B) Bogart observará su propio reloj hiperpreciso y leerá “22h 0min 0,000030s”. Por tanto, el tiempo empleado por Bacall en ir desde su casa -en a- hasta la de Bogart -en b- es ∆t = 0,000030s = 30μs y ha sido medido mediante dos relojes, cada uno en el punto del espacio correspondiente. Las líneas de mundo de los relojes leídos por Bogart se han dibujado como flechas negras, dobles y discontinuas en la figura O.

Estos relojes forman una pequeña red sincronizada, porque se están corrigiendo sus lecturas teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la información. Conforman la línea de simultaneidad de O en nuestro diagrama, el propio eje x, avanzando hacia arriba paralelamente a sí mismo. Para medir ∆t hemos ido a buscar el punto donde se cruza la línea de mundo del reloj b (que es una línea de reposo, perpendicular al eje x) y el eje t', que es la línea de mundo de Bacall –o de su reloj- en movimiento (flecha azul, doble y discontinua de la figura O). Cuando ella pasa fugazmente por su puerta y Bogart lee su reloj estamos en el Suceso B.

Desde O, en reposo, lo que debe medir Bacall (τ)

Bacall, desde el punto de vista de nuestro cómodo sofá, viaja a velocidad v=0,998 desde su casa a la de Bogart, por lo que su línea de mundo puede dibujarse sobrepuesta al eje t' partiendo del origen en a. Evidentemente, ésta será una línea de reposo del punto a en el sistema O'. Ella va a leer dos veces su reloj de pulsera, anotando un tiempo transcurrido ∆t’, que en la figura P es lo que mide el segmento AB sobre el eje t'. En este caso, al tiempo medido sobre la propia línea de mundo de un reloj se le llama tiempo propio o τ (tau).

Tenemos dos medidas: ∆t para Bogart y τ para Bacall. Podríamos usar regla y compás, calibrar los ejes t y t' con las hipérbolas (derivadas de la invariancia del Intervalo ∆s²) y hallar sus valores gráficamente. Pero obtendremos la misma información de un modo algebraico, también gracias al Intervalo ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² , sabiendo que ∆x' = 0 (pues el reloj de Bacall no recorre ningún espacio entre los sucesos A y B, según su propia lectura), sabiendo que v = ∆x/∆t y definiendo γ²=1/(1-v²),

∆x² - ∆t² = - τ²
τ ² = ∆t² - ∆x²
τ²/∆t² = 1 – v² = 1/γ²

por lo que, ∆t = γ τ

Hemos obtenido la fórmula que relaciona ∆t y τ, justamente la relación entre la hipotenusa y el cateto que consideramos en el capítulo anterior y que desafiaban a la geometría euclídea. La relación depende únicamente de v, como era de esperar. En el capítulo anterior, la hipérbola ∆s²= -1 nos permitió comparar ambos segmentos; ahora, confirmamos que la hipotenusa τ siempre va a ser menor que el cateto ∆t, pues γ siempre es mayor que 1, en nuestro caso, γ = 15. Así pues, si Bogart midió ∆t =30μs (segmento AC), entre A y B, Bacall sólo habrá medido un tiempo τ =2μs en su reloj de pulsera (segmento AB). [Ver figura P]

Pero este espectacular fenómeno va a la par de otro no menos extraño. Porque, si es igualmente lícito pensar que Bacall se encuentra en reposo y es el resto del mundo quien avanza hacia ella, entonces, en un tiempo τ=2μs, será Bogart quien recorra los 9Km considerados inicialmente, lo que nos daría una velocidad muy diferente de 0,998, como debería ser por el 1er postulado (de hecho, una v mayor que c). Luego, el único modo de resolver la paradoja es admitiendo que no sólo los tiempo medidos ∆t y τ son diferentes en ambos sistemas, sino también los espacios ∆x y ∆x' entre A y B. En efecto, medir una longitud como la que separa los sucesos A y B es también un ejercicio dependiente de nuestras líneas de simultaneidad pues el método correcto consiste en medir los extremos de la longitud a la vez.

LA CONTRACCIÓN DE LONGITUDES

Desde O, en reposo, lo que deben medir Bogart (Lp) y Bacall (Δx’)

Desde O en reposo, Bogart habría medido la distancia que separa a Bacall de su casa a la suya, y es ∆x = 9Km, el cateto sobrepuesto al eje x (segmento AD). En cambio, cuando Bacall mida esa misma distancia, deberá hacerlo intersectando las líneas de mundo de ambas casas –líneas de reposo, verticales- con una línea de simultaneidad de O'. El resultado es el segmento AE de la figura Q. Dada la simetría de los diagramas es fácil percatarse de que los segmentos AD y AE son cateto e hipotenusa de un triángulo semejante al triángulo de tiempos de cateto AC e hipotenusa AB considerado en el punto anterior.

Recuérdese que el ángulo formado por los ejes t y t’ es igual al formado por los ejes x, x’: exactamente arctan(v). Luego, la proporción entre la hipotenusa y cateto en los espacios debe ser la misma que en el caso de los tiempos:

AD = γ AE

Luego, ∆x’= 600 m

Hemos obtenido la fórmula de la Contracción de Longitudes, según la cual la longitud ∆x = AD medida desde un sistema de referencia en reposo respecto de los extremos a y b siempre será mayor que cualquier otra. A esta longitud siempre mayor, se la denomina Longitud propia y la denotamos como Lp (ver figuras P y R). Para Bacall, que mide sólo 600m, la longitud propia de 9Km ha parecido contraerse en la dirección del movimiento.

Nuestra relación queda: Lp = γ ∆x’

Esto no quiere decir que Bacall, desde su sistema de referencia considere que se está moviendo, ya vimos que ∆x’ = 0 entre los sucesos A y B. Pero ella podría considerar que son Bogart, su sofá y el mundo entero los que recorren una distancia ∆x' para ir desde b hasta a viajando a 0,998 veces c en un tiempo τ.

Ahora, los pares de valores de espacio y de tiempo concuerdan: Lp / ∆x’ = ∆t / τ = γ, por lo que las velocidades relativas medidas desde O y O' serán la misma. En la figura R se ha intentado -muy a grosso modo- mostrar las diferentes medidas teniendo en cuenta un punto u tomado como unidad de calibración en O y O'.

Hemos visto que τ es menor que ∆t, por lo que Bogart lee más cantidad de tiempo entre los sucesos A y B que Bacall. ¿Significa esto que Bacall ha envejecido más lentamente? Debemos tener cuidado con este tipo de afirmaciones pues, por el momento, no hay manera de comparar en un mismo marco de referencia los efectos relativistas de ambos. Bacall se encuentra en movimiento relativo con Bogart y la cuestión de las medidas temporales y espaciales se halla subtendida al hecho que de ambos utilizan diferentes conceptos de simultaneidad. Volveremos a este punto muy pronto. Desde luego, ella no va a disponer de más tiempo en su vida que el que su hermosa biología le conceda. Todos sus relojes, ritmos y latidos avanzan por igual para sí misma.

[Apunte: Pronto entenderemos porqué Ender –protagonista de la saga de O. Scott Card- se hacía multimillonario viajando a grandes velocidades de planeta en planeta. Los intereses de su cuenta de ahorros disponían de más tiempo que él para multiplicarse. Asímismo, la famosa Tau cero, de Poul Anderson , tiene que ver con la tendencia de tau a disminuir si v aumenta, hasta hacerse teóricamente cero si v = 1 (la luz). En tal caso, la línea t’ del sistema O’ se encuentra prácticamente sobre la bisectriz (45º) y el corte con la hipérbola unidad (ver figura ñ) se daría en el infinito]

¿Y SI FORZAMOS EL REPOSO DE O’?

Desde O’, en reposo, lo que deben medir Bacall (∆t’) y Bogart (τ)

Estamos de suerte. Sin necesidad de cambiar de diagrama y aún teniendo los ejes de O’ inclinados, consideremos que es O’ el que está en reposo y O en movimiento. Será una modo gráfico de ver cómo las relaciones entre tiempos y espacios de ambos sistemas son realmente relativas y se dan tanto en un sentido como en otro. Veamos el caso del tiempo. El lector observará que para el espacio la situación es simétrica.

Retomando la figura P y considerando que O’ es ahora el sistema en reposo, cualquier medida de tiempo se efectuará sobre una línea de simultaneidad de O’ (lo contrario que antes). Por lo tanto, ahora Bogart y el mundo viajan desde el punto b al a a lo largo de la línea EB de la figura S pues Bacall sólo comenzará a contar el tiempo de salida a partir del punto E ya que ese punto es el único simultáneo con el Suceso A que coincide con la línea de mundo de Bogart. Por tanto, Bacall medirá un tiempo ∆t’ igual al segmento AB y se convencerá de que Bogart mide τ = EB leyendo dos veces su reloj de pulsera. Este tiempo es menor. ¿Cuánto menor? La relación debe cumplirse por igual, luego ∆t’ = γ τ

Ahora τ es ∆t, pues es el tiempo medido dos veces en un mismo reloj en reposo con el observador, en este caso, Bogart. τ es menor que ∆t’, luego Bacall mide más cantidad de tiempo entre A y B, por lo que Bogart debería envejecer menos que ella entre ambos sucesos. Traslademos ahora el segmento EB hasta el eje t -lo que nos da AF- para compararlo con el caso de la figura P que consideraba O en reposo. Es interesante observar cómo el suceso F -proyección de B sobre el eje t- es el último instante que Bacall va a ser capaz de medir mediante su línea de simultaneidad y tiene un valor muy inferior al C de la figura P.

UN ATISBO DE PARADOJA

Igualmente interesante es considerar a Bacall deteniendo su coche en casa de Bogart, cruzando el umbral y cenando tranquilamente con él. Gráficamente, deberíamos dibujar nuevos ejes t'', x'' en el punto B de la figura P pues aquí Bacall cambiará su Sistema de Referencia O’ por O’’, que sería, a todos los efectos, igual al O de Bogart (t'' será paralelo a t y x'' a x). En cualquier caso, cuando comparen sus relojes, aparece la paradoja: si aceptamos el 1er postulado según el cual todos los sistemas son equivalentes y no existe el movimiento absoluto –ni, por tanto, efectos distinguibles de un movimiento relativo- ambos deberían haber envejecido más lentamente que el otro durante esa noche. Pero esto es absurdo. Entonces, ¿cuál de los dos habrá envejecido menos?

Tal pregunta abre la puerta a la famosa Paradoja de los Gemelos que será discutida en la siguiente entrega.

PD: El caso real que ha inspirado lo expuesto aquí es el de los muones, cuyo período de vida media (tiempo de vida promedio en reposo) es τ = 2μs. El proceso sigue una ley estadística de decaimiento exponencial. Su generación en las altas capas de la atmósfera viajando hacia la Tierra a v = 0,998 debería hacerlos desintegrarse tras recorrer una distancia de 600m. En cambio, siguiendo la fórmula de la Dilatación del Tiempo, parecen vivir más desde la Tierra, exactamente un factor γ =15, lo que nos da un ∆t = γ τ = 30μs de vida. El número de muones que sobreviven a una distancia de Lp = γ 600 m = 9 Km es igual al que debería haber si su período de vida media fuera de 30 μs y no de 2μs.

Como si Bacall se esfumase al pasar por delante de la puerta de Bogart. La historia de mi vida.

PPD: Una explicación más detallada del experimento de los muones se encuentra p.e. en RELATIVIDAD ESPECIAL (A. P. FRENCH, Curso del M.I.T.)

Breve historia de la astronomía

¿Se ha planteado usted cuántas lunas llenas verá en su vida? Tenga en cuenta las que no verá por estar demasiado ocupado, las que pasarán desapercibidas, las que querrá ver y las nubes no se lo permitirán. Haga la cuenta. El número resultante es inquietantemente pequeño.
En homenaje a los que pasan frío cada noche espiando los cielos. Esos cielos que ya apenas se ven, a los que nuestro modo de vida comienza a dar la espalda.

Cuando abrió los ojos, pasó un largo tiempo anonadado con la bola de fuego a la que llamó Sol, la misteriosa cara de la Luna y la serenidad fría de las estrellas. Los cielos le parecían majestuosos, tan alejados de la degradación y mortandad propias de la Tierra que los creyó conformados de algún tipo de esencia especial [éter] y cuya presencia controlaba su propio destino. Dudó si dar más importancia al Sol, que parecía proveer de vida a la Tierra, o a la Tierra misma, que la alojaba; duda que le perseguiría durante mucho tiempo.

Por la noche, todas las estrellas parecían girar en una bóveda esférica de Este a Oeste alrededor de un punto fijo [el eje del mundo]. Pronto se percató de que 5 de ellas -al margen del Sol y la Luna- también se movían, pero más lentamente, en relación a las demás y en sentido contrario. Completaban un ciclo -período- de Oeste a Este sobre las estrellas fijas que era de unos 30 años para la más lenta. Debía ser la que controlaba el tiempo, así que la llamó Cronos [Saturno]. Además, esas estrellas errantes [planetas] retrocedían sorprendentemente hacia el Oeste haciendo bucles para proseguir luego hacia el Este [movimiento retrógrado].

El Sol no siempre salía y se ponía por el mismo lugar del horizonte a excepción de dos momentos al año en los que el día duraba exactamente lo mismo que la noche [equinoccios]. Esos dos acontecimientos le ayudaban a saber cuándo sembrar o recoger lo sembrado. Más tarde, se convencería de que en esos días, el punto por donde el Sol salía en relación con el firmamento, también variaba, a la par que variaba el eje del mundo [precesión] completando un ciclo de unos 26000 años [astronomía maya, Hiparco]. Pensó también que los planetas más lentos en su giro de Oeste a Este debían estar más alejados, y que la Luna, grande, rápida y a merced de fases de iluminación solar se hallaría mucho más cerca.

Poco a poco, se obsesionó con tener un modelo general que lo explicase todo. La matemática le pareció una técnica a la altura de los cielos que observaba, pues sus ideas eran también incorruptibles e inmutables [Escuela Pitagórica]. En concreto, la idea de Círculo, con su mágica propiedad de la equidistancia, se le antojó idónea para describir los giros del cielo [Platón]. Estaba seguro de que la Tierra debía ser aproximadamente esférica, aunque dudó entre hacerla girar de Oeste a Este una vez al día (explicando así el movimiento de Este a Oeste del firmamento) o dejarla inmóvil y hacer girar al propio firmamento. Calculó las dimensiones de la Tierra [Eratóstenes], la Luna y el Sol, colocando al Sol en el centro del Universo [Aristarco].

Pero no se sintió cómodo con esta idea. Hacía tiempo que intentaba simplificar la abrumadora variedad que lo rodeaba mediante unos pocos elementos básicos. Agua, aire, tierra y fuego eran buenos candidatos [tradición griega] y quizá también el metal y la madera [tradición china]. Además, parecía que todo lo conformado de un elemento tendía a reunirse con ese elemento, así como las piedras [graves] caían de modo natural hacia la Tierra desde donde estuvieran, pues estaban formadas de tierra. Este hecho reafirmaba la idea de la Tierra como centro del Universo [geocentrismo], pues sólo desde un centro se atrae de igual modo a todas las partes. Además, pensó que si la Tierra se moviese girando o trasladándose todo saldría volando, incluido él mismo.

Por fin, construyó un modelo donde cada movimiento celeste observado se explicaba como el giro de una esfera que arrastra al cuerpo que gira [esferas homocéntricas]. En algunas versiones de su teoría llegó a considerar 27 esferas [Eudoxo], en otras, 34 [Calipo] y a cada nuevo movimiento detectado e inexplicado añadía una o dos nuevas esferas. Al principio, las utilizó como meras hipótesis matemáticas pero se convenció finalmente de su existencia real, llegando a 56 esferas [Aristóteles]. Deberían ser cristalinas pues no se ven, y con un movimiento que provenga de cada una de las demás, en una propagación ordenada desde la esfera más grande y alejada, la de las fijas, que será movida por un algo necesariamente inmóvil [Primer Motor Inmóvil].

Pero el sistema de esferas le creó serias dificultades pues los planetas deberían estar siempre a igual distancia de la Tierra alojados en su esfera. En cambio, su brillo variaba constantemente, pareciendo acercarse y alejarse con frecuencia. Construyó entonces un nuevo modelo geocéntrico sin esferas basado en combinaciones de círculos para cada planeta denominados epiciclos-deferentes o en órbitas excéntricas de centro variable, dependiendo del planeta considerado [Apolonio, Hiparco].

Después, catalogó más de 1000 estrellas, perfeccionó y unificó el modelo [Ptolomeo] y descansó.

Volvió tiempo después a preocuparse por sus datos que, con los siglos, parecían imprecisos. Diversas veces reescribió el catálogo [Tablas alfonsíes] y vio que los errores se amontonaban y nuevos métodos de observación, inventados por él mismo, le hicieron replantearse el modelo.

Recordó la teoría heliocéntrica y vio que se ajustaba a la extraña danza planetaria igual de bien que la geocéntrica, aunque de un modo conceptualmente más simple [Copérnico]. Ahora ya no estaba convencido de la incorruptibilidad del cielo, pues había tenido mucho tiempo para ver nacer y morir estrellas en cuestión de semanas o meses [novas], cometas que parecían situados más allá de la atmósfera, manchas en el Sol, montañas y valles en la Luna, y satélites en Júpiter [Galileo]. Sus refinadas observaciones [Tycho Brahe] le hicieron descartar las órbitas circulares que tanto había idealizado por órbitas elípticas y encontró relaciones matemáticas entre las distancias y los períodos de los planetas [Kepler].

Aun no estaba del todo convencido, porque si la Tierra se movía y no era el centro del mundo, la caída de los graves debería describirse por igual en cualquier planeta. Necesitó entonces una Teoría de Gravitación a la que llamó Universal, es decir, válida para cualquier centro de gravedad [Newton]. Este modelo predijo la existencia de un nuevo planeta [Neptuno], que más tarde sería localizado confirmando la predicción. Sintió entonces una satisfacción colosal: los éxitos y los descubrimientos se multiplicaban.

A pesar de ello, aparecieron algunas discrepancias con la teoría [precesión del perihelio de Mercurio]. Movido por una serie de acontecimientos de diversa índole, llegó al convencimiento de que no podía considerarse a ningún objeto como quieto o en movimiento de una manera absoluta, sino sólo en relación a otro. Esto aparentaba estar reñido con el hecho de que la velocidad de la luz no parecía depender del movimiento del cuerpo que la emitiera. Ambas ideas le hicieron desarrollar una nueva geometría en la que se mezclaban el espacio y el tiempo [Relatividad Especial, Einstein]. El movimiento acelerado tampoco podía ser absoluto y como los centros de gravedad aceleran a los graves, extendió esa geometría al concepto mismo de gravedad, sustituyendo a la anterior Teoría de Gravitación Universal -que hablaba de incómodas fuerzas a distancia- por una Teoría geométrica de la Gravitación [Relatividad General, Einstein]. Ahora, ya no había fuerzas sino un espacio-tiempo que es curvado por los cuerpos que a su vez se desplazan por esas mismas curvaturas. De nuevo, el modelo resultó eficaz para explicar las discrepancias observadas y propició extraños resultados que pronto serían confirmados.

Uno de ellos venía a decir que el Universo no era estático y que se expandía.

Volvió a dudar de su modelo, pero un análisis de las velocidades de las galaxias le reveló que cuanto más alejadas se encontraban a mayor velocidad se alejaban [Hubble]. Entonces pensó que en el pasado, todo el Universo debió estar reducido a un punto singular, de densidad y temperatura enormes, y como el espacio y el tiempo se entendían unidos en una misma geometría, el uno y el otro debieron generarse a partir de aquel punto [Big Bang]. Creyó en poder detectar algún rastro de esa gran temperatura inicial [Radiación cósmica de fondo], y por casualidad un día la encontró sin buscarla [Penzias, Wilson], y pronto se convenció de su importancia.

¿Y de dónde surgió ese punto? ¿Debía reciclar su vieja idea de un Primer Motor Inmóvil? A menudo, la sustituía por una deidad creadora de todo el Universo, pero ya hacía tiempo que estaba acostumbrado a usar métodos experimentales para corroborar sus teorías y la especulación gratuita no le satisfacía del todo. Pronto, calcularía que en el vacío podían generarse partículas siguiendo extrañas leyes que parecían correctas [Energía de vacío cuántica]. Pensó que tal vez ese punto singular apareció sin más, por pura probabilidad. Esta idea, la de la Probabilidad y su relación con lo que él llamaba Realidad le intrigó de nuevo y la guardó en su pensamiento.

Otro de aquellos extraños resultados predecía la existencia de objetos tan pesados que la curvatura que provocaban al espacio-tiempo le hacía doblarse sobre sí mismo, transformándose en un sumidero donde todo era engullido, incluída la luz [Agujero Negro].

Ahora, ya no se dedicaba en exclusiva a la observación del cielo; hacía tiempo que combinaba esa actividad con múltiples estudios de todo tipo, que realimentaban una y otra vez las teorías de cada uno de ellos.

Envió instrumentos al espacio, máquinas exploradoras e incluso él mismo viajó fuera de la Tierra y pisó la Luna legendaria. Fue entonces, observando a la azulada Tierra salir por el horizonte lunar, que recordó maravillado aquella primera noche en la que se irguió más que de costumbre, abrió bien los ojos, miró al cielo y supo que ya nunca más sería el mismo de antes.

Feliz Año Internacional de la Astronomía 2009

PD: En este artículo no encontrará fotografías de la Luna. Mejor, salga a verla.

PPD: El orden de los acontecimientos no es exactamente cronológico en algunos casos y la exagerada linealidad de los mismos se ha utilizado con fines divulgativos... :-)

Elogio a Tycho

Posiblemente, el danés Tycho Brahe fue el más grande observador del firmamento de todos los tiempos, además de un personaje peculiar. Entre otros avatares de la vida, perdió parte de su nariz en un duelo por disputas matemáticas a la edad de 20 años, lo que le obligó a llevar una prótesis metálica de por vida. Su obsesión por la sistematización de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes -antes del uso del telescopio- lo llevó a reunir los datos más precisos y avanzados de su época a lo largo de 30 años, con el margen de error más pequeño jamás conseguido: de 1' de arco en las posiciones planetarias.

A menudo, Tycho es recordado por su negativa a aceptar el modelo heliocéntrico de Copérnico, quizá por una actitud conservadora. Pero es más una cuestión de coherencia experimental la que le impide desechar una Tierra inmóvil en el centro del Universo, hasta el punto de elaborar un nuevo modelo de compromiso, a caballo entre el de Ptolomeo (geocéntrico) y el de Copérnico (heliocéntrico). Pero, para comprender los razonamientos de Tycho, debemos explicar antes lo que es el Paralaje.

Paralaje ocular

Observemos un objeto cercano, tal como un jarrón en el centro de la habitación. Si cerramos alternativamente los dos ojos veremos que la posición del jarrón respecto de la pared del fondo varía. Nuestros dos puntos de observación, los dos ojos, están separados unos pocos centímetros.

Esta distancia es suficientemente grande en comparación con la distancia al jarrón para que influya en la observación. En la figura 1 podemos ver que el ángulo p nos permite encontrar la distancia al jarrón, utilizando la definición de tangente de un ángulo. Este ángulo es denominado Paralaje y nuestra Base para definirlo es B, la mitad de la distancia entre los dos ojos.
Si la pared del fondo fuera una bóveda esférica graduada, podríamos leer rápidamente la diferencia en grados, minutos y segundos entre una localización y otra del jarrón...

Paralaje diurno

Observemos ahora la Luna en la figura 2. Podemos tomar como base el Radio terrestre (Rt = 6378 Km) y de fondo las estrellas del firmamento. Anotamos la posición de la Luna a distintas horas con una diferencia de 12h. De este modo, estamos observándola desde dos posiciones opuestas respecto del firmamento, la 1 y la 2 ¡y sin movernos de casa!. [De hecho, deberíamos corregir aquí el movimiento que habrá efectuado la Luna en esas 12h y el de traslación de la Tierra. Otra opción sería tomar dos medidas simultáneas desde dos observatorios en lados opuestos de la Tierra]

El paralaje p medido de este modo, es aproximadamente de 1º. Así pues, conocido el Radio terrestre, obtenemos una distancia a la Luna de unos D = (Rt / tan 1º) = 365395 Km.
Con este método, también observamos una paralaje diurno de unos 9'' en el Sol, lo que nos da una distancia de unos 146 Millones de Km.

Paralaje anual

Vayamos algo más lejos. Supongamos que la Tierra orbita alrededor del Sol y que, por tanto, se mueve en relación al firmamento. En este caso, observaremos paralaje en una estrella que se encuentre más cerca que el resto si tomamos como base la distancia Tierra-Sol, que es usada como patrón y denominada Unidad Astronómica (149 500 000 Km = 1 UA). Las dos observaciones deberán realizarse ahora con un intervalo de unos 6 meses.

Fijémonos en la figura 3. Podemos aproximar tan p = p debido al paralaje cada vez más pequeño. Por otro lado, nos daría igual que todas las estrellas del firmamento se encontraran a la misma distancia en una orbe esférica fija. En tal caso, deberíamos observar variaciones entre sus distancias relativas, es decir, ligeras deformaciones en las constelaciones a lo largo del año. Dependiendo de dónde se encuentre la estrella a estudiar, en vez de tomar los puntos 1 y 2 de la órbita terrestre, podríamos tomar dos puntos a medio camino entre ellos, o cualesquiera otro par y trazar la observación en cualquier dirección del firmamento. Nuestra base seguiría siendo, como una aceptable aproximación, de 1 UA.

Se ha definido el parsec (paralaje-segundo, en inglés) como aquella distancia D a una estrella cuyo paralaje es de 1'' de arco cuando éste es medido con una base de 1 UA, es decir, tomando como base el radio medio de la órbita terrestre. 1 parsec (1 pc) equivale a unos 3,24 años luz. Así, la distancia (en pc) vendrá dada por el inverso del paralaje (en segundos de arco).

Vemos cómo la existencia de Paralaje nos permite calcular la distancia al objeto observado. Ahora bien, la no existencia de Paralaje -tomando una base determinada- también nos informa de algo: de que esa base que pretendíamos tomar no es suficiente para medir ninguna distancia porque, o bien es demasiado pequeña en comparación con ella o bien los dos puntos tomados para realizar las medidas (por ejemplo, dos posiciones diferentes de un planeta en una órbita alrededor del Sol) son en realidad el mismo punto (luego, no hay órbita).

El encuentro Tycho-Kepler

Sería un buen guión para una gran película: el año y medio de colaboración entre Tycho Brahe y Johannes Kepler en Praga a petición del primero en 1600. Ésta duraría hasta la muerte de Tycho por explosión e infección de vejiga(!), posiblemente agravada por altas dosis de Mercurio en la sangre, tan aficionado como era a la alquimia. (¿O quizá lo envenenó Kepler para hacerse con sus datos?).
No parece que fuera fácil la relación entre ambos. Kepler, seducido por el modelo heliocéntrico de Copérnico, con una gran capacidad de interpretación matemática y ávido de aplicarla; Tycho, ya consagrado, reacio a aceptar la traslación de la Tierra y a facilitar todos sus datos a un joven colaborador que pretendería tomarlos para demostrar un modelo de Universo que no era el suyo.
Kepler era un convencido platónico, hasta el punto de haber basado su primera obra Mysterium Cosmographicum (1596) en un modelo heliocéntrico donde el encaje de los diversos poliedros regulares en las orbes planetarias pretendía dar fe de las distancias de los 6 planetas al Sol. El alemán anhelaba dar con la causa matemática del orden subyacente del firmamento, ya fuera con poliedros o con la teoría que mejor se acomodase a los datos. Y los Datos estaban en Praga y en posesión de Brahe.
Tras la muerte de Tycho en 1601, Kepler se hace con todas las anotaciones, y promete al danés en su lecho de muerte que aplicará los datos para dilucidar con éxito las cuestiones astronómicas, como el movimiento retrógrado de Marte. Finalmente, cumplirá la promesa, aunque no corroborará el modelo de Universo de Tycho sino el de Copérnico y el suyo propio, donde las órbitas serán elípticas y no circulares, y los períodos planetarios tendrán una relación numérica simple con las distancias al Sol, al más puro estilo pitagórico.

La precisión de Tycho

Tycho es una bisagra que no se abre a la reciente moda heliocéntrica, pero tampoco profesa la geocéntrica de un modo irracional. Es el juez que simboliza lo experimental, con la mayor precisión posible en aquel momento: la del minuto de arco. Es capaz de discutir con autoridad experimental el modelo heliocéntrico, herético para muchos, pues nadie como él ha observado y anotado lo que en realidad está ocurriendo ahí arriba, en el firmamento.

Tycho admira a Copérnico y a Kepler pero es él el que viene escuchando los cielos desde los tiempos del palacio-observatorio Uranienburg, en la isla de Hven, antes de ser acogido por el Rey Rodolfo II en Praga. Y lo que los cielos le decían, con una precisión de hasta 1' es que no había detección alguna de paralaje en las estrellas fijas. Nunca la había habido, y desde tiempos de Aristarco éste fue un argumento de peso contra las teorías heliocéntricas. ¿Cómo puede estar la Tierra en movimiento respecto las estrellas y no detectar paralaje en las posiciones de éstas? Y si tal movimiento diera lugar a un paralaje de menos de 1' de arco -indetectable por Tycho-, eso implicaría que el Universo es increíblemente más grande de lo que el gran Ptolomeo afirmó en el Almagesto, pues la distancia a las estrellas fijas sería entonces enorme. En cambio, una Tierra inmóvil es más coherente con las observaciones de Tycho, que situará a la Luna y al Sol orbitando a su alrededor. Su razonamiento es impecable, anclado en lo experimental y en un argumento basado en la autoridad de Ptolomeo. A pesar de ello, sí aceptará que el resto de planetas orbiten alrededor del Sol. El sistema geocéntrico llevaba ya mucho tiempo enmarañándose con filigranas geométricas (basabas en combinaciones de círculos) para explicar los extraños movimientos planetarios.

Pero, ciertamente, la Tierra se mueve y el Universo es enorme, así que nos encontramos con paralajes en las estrellas de menos de 1'', lo cual es utilizado para medir sus distancias con el patrón del parsec. Podemos calcular que Alfa Centauri, la estrella con el paralaje más grande, 0,76'', y por tanto, la más próxima, se encuentra a tan sólo 4,3 años luz de distancia ya que (1 / 0,76'' )= 1,315 pc.
El paralaje anual estelar no comenzó a medirse hasta 1838, cuando la potencia de los telescopios lo permitió. Otros efectos del movimiento terrestre ya habían sido detectados, como la aberración de la luz, unos 100 años antes.

Resulta irónico que la misma precisión que tanto obsesionó a Tycho, acabe dándole la razón a Kepler y al heliocentrismo. Cuando Kepler aplica el viejo modelo de los ecuantes en órbitas circulares para calcular la órbita de Marte, los datos de Tycho no le cuadran. Obtiene errores en las posiciones de Marte de hasta 8'. Imposible. Si las medidas utilizadas fueran de otro, con errores habituales para la época de justamente 8', este desacuerdo podría ser achacado al error experimental. Pero son las de Tycho, de 1' de error máximo, luego el desacuerdo debe ser fruto del modelo matemático utilizado. Es la premisa de que las órbitas son circulares la que debe estar errada. Kepler probará diferentes modelos de órbitas hasta dar con la elipse, que se ajustó a la perfección. Colocando a la Tierra como un planeta más orbitando también a lo largo de una elipse y el Sol en uno de sus focos, los datos se ajustan correctamente a lo observado y se resuelve, entre otros, el enigma del movimiento marciano, al menos hasta ese error de 1' de arco que sí es experimental.

Sin la precisión de Tycho, no habría habido necesidad de desechar las órbitas circulares. Desde luego, a nadie se le habría ocurrido -y mucho menos a Kepler- poner en tela de juicio la magnificencia del Círculo: hubiera sido como cuestionar al mismísimo Platón. Y es justamente un neoplatónico como él quien relegará al Círculo a la trastienda de la nueva astronomía.

La historia de Brahe y Kepler es un ejemplo de la importancia del error en las medidas y de cómo el juego de los modelos del mundo se vio sometido al juicio -aunque no sumarísimo- de los datos experimentales.

Esperemos que pueda verse pronto en las mejores pantallas.

Todo lo que el sudor puede hacer por usted

Imagine que existe una casa capaz de liberar el calor acumulado. Aumenta peligrosamente la temperatura y sus habitantes no necesitan instalar aire acondicionado, utilizar ventiladores o tomar duchas frías (más allá de lo higiénicamente necesario). Por el contrario, cuando -por la razón que sea- aumenta la energía interna de la casa en forma de calor, éste se conduce inteligentemente desde cada punto del interior hacia las paredes exteriores mediante un sistema de conductos invisibles.
El mecanismo final de expulsión del calor es muy curioso. En la superficie de todo el perímetro de la casa hay unos sensores que detectan la temperatura. Cuando la temperatura supera un determinado umbral, un mecanismo se dispara y de las paredes emana un fluido especial que recubre toda la superficie exterior. (Por supuesto, en versiones posteriores del inmueble todo esto será programable. Nota del Comercial). Esa película fina y viscosa se encarga de absorber el calor allí acumulado; luego, a medida que el fluido va evaporándose, se lo lleva lejos de la casa, dejándola mucho más fresca que antes y, por supuesto, se garantiza que las paredes volverán a quedar perfectamente secas... ¿Quién no querría vivir en una casa así?


"Todo lo que el sudor puede hacer por usted", en tres fases

1ª fase

La sangre, ese increíble sistema de distribución de energía y recogida de desechos, también se encarga de recoger el calor desde todas las células del cuerpo y transportarlo a la superficie, es decir, a la piel, que aumentará sensiblemente de temperatura T. Este no es el único sistema de recogida de calor, que también es transportado directamente a través de los tejidos. Pero la actuación de la sangre es más efectiva y cobra importancia cuando se necesita una disipación rápida de calor. En esos momentos, los vasos se dilatan para facilitar el proceso sanguíneo y la pérdida de agua -por sudor- acelera el ritmo cardíaco y hace a la sangre más viscosa potenciando así la captación de calor. Por supuesto, todos estos cambios fisiológicos tienen un límite.

Pero vayamos paso a paso. La manera en que el calor pasa de una célula -que ha efectuado un proceso de generación trabajo/calor- a la sangre puede imaginarse como un contacto entre moléculas: una celular y otra sanguínea. La del caudal sanguíneo, compuesto en una gran parte por agua -con un alto calor específico c- tiene muchas maneras de vibrar lo que le permite tomar la energía cinética de la molécula celular de muchos modos a la vez. Por lo que, varias moléculas celulares contribuirán a excitar una única molécula sanguínea. Se facilita así la absorción de calor. Una vez en el caudal sanguíneo, cobra importancia la conducción térmica de calor regida por el factor lambda λ del agua, relativamente alto, lo que hace que el ritmo de conducción del calor sea elevado. En el dibujo, la Q con el punto encima denota la derivada de Q respecto el tiempo, es decir, el ritmo de conducción de Q (véase el primer post sobre derivación), la A es el área transversal del conducto (por lo que la dilatación de los vasos aumentará el ritmo de conducción) y el término final es el gradiente de temperatura: una medida sobre cómo varía la T en el espacio. Esta es la llamada fórmula de Fourier.

2ª fase

El calor llega a la superficie de un modo optimizado pues los diferentes vasos arteriales se subdividen muchas veces y abarcan más superficie en la epidermis, de modo similar a un fractal. Todo el calor conducido estará ahora bien distribuido en la piel, que elevará su temperatura. Y la piel está preparada para tal situación, gracias al sistema de glándulas sudorípadas. Éstas se encargan de segregar sudor, -compuesto básicamente de agua (95%), sales minerales y otras sustancias como la urea (responsable del mal olor, para beneficio de los fabricantes de desodorante)- que viaja por pequeños conductos hasta la superficie cubriéndola de una película de fluido que absorverá el calor Q de la piel de un modo mucho más efectivo que si lo hiciera el aire.

3ª fase

El sudor, finalmente, se evaporará, pues las moléculas que tienen una parte en contacto con el aire y no con el fluido tendrán más posibilidades de escapar de las fuerzas que las mantienen unidas al resto del fluido absorbiendo calor para ello. Estas moléculas pueden volver azarosamente del aire al sudor sobre la piel y de nuevo quedar enganchadas a él. Estos procesos alcanzarían un equilibrio mutuo si no hubieran efectos externos, es decir, si el sistema sudor/aire estuviera totalmente aislado. Pero no os preocupéis: el propio viento, aunque leve, se lleva lejos a las moléculas de sudor que ya habían escapado de nosotros, así que ésas ya no podrán volver a ser captadas, escapando para siempre con el calor acumulado y disminuyendo definitivamente la temperatura T de la piel. Por supuesto, si queréis acelerar el proceso, siempre os podéis abanicar o, simplemente, limpiaros de vez en cuando el sudor.

Esta es la razón por la que la ropa puesta a secar en el tendero seca antes si hace viento, las pérdidas por calor aumentan en las placas solares situadas en zonas de alto viento y podemos enfriar la sopa rápidamente soplando sobre el plato.

En fin, hay muchas más cosas que el sudor hace por nosotros como potenciar el olor de ciertas sustancias -que a su vez sirven para enviar señales (perfumes, feromonas, etc...)-, hidratar y lubrificar la piel...

¿Y qué ocurre cuando desciende demasiado la temperatura del cuerpo?

En este caso, ocurre el proceso inverso. Los vasos sanguíneos no se dilatan sino que se contraen cerca de la piel y en las extremidades –que se volverán pálidas- para minimizar el transporte de calor hacia la superficie y evitar pérdidas. Lo importante aquí es conservar el poco calor que nos queda en el interior del cuerpo. Pero si disminuye demasiado la temperatura, corremos el riesgo de congelación en los dedos de manos y pies. El ritmo cardíaco y la viscosidad sanguínea disminuyen y uno tiende a acurrucarse en la cama, o en el suelo, disminuyendo la superficie de contacto para perder menos calor todavía por conducción directa desde la piel.

Pero, ahora, necesito un descanso. Después de tanto escribir, estoy sudando... felizmente.

PD: ¿A algún arquitecto se le ha ocurrido diseñar una casa que sude?

La vida es compleja (y bella)

Y no me refiero a la canción de Drexler ni a la película de Benigni. La vida es básicamente un conjunto de átomos organizados en macromoléculas muy complejas como las proteínas. No encontramos nada igual en la naturaleza inerte. Ni la aleatoriedad incesante de los gases, ni los patrones cristalinos de los minerales alcanzan el nivel de complejidad inherente a la forma viva, llámese ameba, sequoia o humano. Pero, ¿qué tiene de especial la complejidad?, ¿quiere eso decir que no es posible la vida bajo una forma molecularmente simple o desordenada? Según la termodinámica, no.

Lo posible es importante, al final

Imagine, lector, que ha llegado a la página de entretenimientos del periódico. Sí, es la más leída, no nos engañemos. En ella se nos muestra la foto-finish de un tablero de ajedrez. No se trata de predecir el futuro, del tipo "Blancas juegan y ganan", sino todo lo contrario: debemos reconstruir los movimientos desde el inicio de la partida hasta la situación actual.
En efecto, tras unos momentos de reflexión, veremos que no hay una solución única ya que podemos llegar al mismo final por caminos diversos siempre que respetemos algunas reglas más o menos complejas: según la pieza hay sólo uno o dos movimientos permitidos y las tiradas son alternativas comenzando por las blancas. Además, las piezas no están situadas de cualquier modo en el inicio y desde luego, el tablero es un espacio bien delimitado. Por otro lado, si supiéramos el número de movimientos que se han efectuado acotaríamos más las posibilidades. Vemos que cuantas más reglas tengamos sobre los movimientos posibles más restringimos el número de caminos alternativos. Dicho de otro modo, el número de posibilidades disminuye al aumentar la complejidad subyacente.

La Entropía es simple

Utilicemos términos algo más técnicos. Llamemos microestados a los caminos posibles para llegar a la situación final del tablero. Y a la foto final -lo que en realidad vemos- la llamaremos Macroestado.
Tenemos, pues, un Macroestado de muchos microestados posibles. Ahora, recordemos algo de lo que todos sabemos sobre la Entropía, que es una medida de la aleatoriedad de un sistema. Cuanto más desordenado esté, más entropía tendrá. El hecho de que esté desordenado significa que no es posible aprovechar ese sistema para dirigirlo hacia algo útil, como por ejemplo aplicarlo sobre otro sistema para producir un trabajo. De ahí que la Entropía sea considerada aquella parte no aprovechable de la Energía en un proceso. Y ningún proceso real se salva. En un sistema aislado, debido a la aleatoriedad de las partículas, siempre habrá una cierta parte de energía que no pueda aprovecharse...

Pero volvamos a nuestros micros/Macroestado del tablero y veamos qué tiene que decir la definición estadística de la Entropía, escrita en el epitafio de L. Boltzmann: la Entropía S de un Macroestado es proporcional al número de microestados asociados W. En verdad, no directamente proporcional a W sino al logaritmo de W, lo que implica que si W crece muy rápido, la Entropía lo va a hacer de un modo mucho más amortiguado y para el caso en que sólo haya un camino posible W=1, entonces no hay ninguna aleatoriedad y S=0.

S = k ln W

Aquí, k es una constante de proporcionalidad (sí, la de Boltzmann).

[Apunte opcional: En realidad, W representa el número de microestados en el espacio de fases, algo así como si consideráramos no sólo por qué casillas del tablero han pasado las piezas sino también a qué velocidad lo han hecho. Todas las diferentes combinaciones serían microestados posibles...]

Así que, como vimos, al aumentar la complejidad en el juego de ajedrez disminuimos el número W de microestados posibles... y entonces S disminuye, según la ecuación. La Complejidad debe ser entendida como algo que disminuye la Entropía.
¿Y qué es lo más complejo que conocemos? Permitid que insista en llamarlo forma viva.

Hacia abajo en una escalera que sube

Cosas tales como un gas aislado en un recinto o un trozo de madera ardiendo aumentan su Entropía a lo largo del tiempo, evolucionando incesantemente. Con ello, el sistema formado por todos los átomos que participan en el proceso alcanza el equilibrio termodinámico, eso que llamamos la máxima aleatoriedad. Sólo haría falta, en teoría, disponer de tiempo suficiente.
En cambio, la forma viva se empecina en mantenerse en un estado estacionario lejos del equilibrio, andando en dirección opuesta. Es como si bajara obstinadamente por unas escaleras mecánicas de subida, que hacen subir aburridamente todo lo demás.
Es la ordenación molecular la clave de su éxito, y para sobrellevarla necesita mucha energía: alimentos que puedan combustionarse y transformarse en trabajo para mantener sus procesos internos, pero cuidado, también deben ser alimentos de baja Entropía. La baja Entropía se consigue cuando la complejidad es alta. La ingesta de vegetales y animales (sobretodo proteínas y otras macromoléculas complejas) le permite alcanzar ese objetivo. Después, tendrá que expulsar -defecar- el exceso de masa no energética y deshacerse de la Entropía que inevitablemente se habrá generado en los procesos internos que mantienen toda la estructura. Para ello, expulsa constantemente calor Q y se mantiene a una temperatura interna T alta con respecto al medio (unos 37ºC en el caso de los humanos). De este modo, la entropía S = Q/T se mantiene baja.
(Éste fue el primer enunciado sobre la Entropía, el de Clausius)

La forma viva consigue perdurar en el tiempo flirteando con la 2ª Ley de la Termodinámica, esa que dice que la Entropía de un sistema aislado nunca puede disminuir. Flirtea con ella pero sin violarla, pues la forma viva no es un sistema aislado. El precio a pagar por ese oasis de baja Entropía es el aumento de la Entropía del medio, generada por los procesos que mantienen el metabolismo de la forma viva. Para tal milagro, la forma viva sólo dispone de un tiempo limitado, pues el equilibrio termodinámico acecha bajo la apariencia de aleatoriedad y desorden. Por fin, cuando todos los átomos de la forma viva se reagregen en nuevos compuestos menos ordenados (y por tanto, más entrópicos) se habrá alcanzado la muerte. Una muerte que -como las antiguas filosofías humanas insistían en advertir- es sinónimo de "regreso a la simplicidad".

Pero hay algo más allá -o más acá- de la aparente muerte de esa organización extraordinaria que es la forma viva. Un mecanismo que una y otra vez se repite en el tiempo adaptándose al medio. Se trata de su manual de instrucciones. Un complejísimo conjunto de macromoléculas que generan una y otra vez individuos nuevos, réplicas o semiréplicas de los anteriores, perpetuándose en nuevos pozos de baja entropía: los genes. Si los genes son lo único que perdura realmente a lo largo de la forma viva -independientemente de las formas vivas que nacen y mueren- ¿no sería más correcto hablar de la estructura genética como la auténtica y única forma viva? ¿Somos algo más que un eficiente y provisional envoltorio de nuestro conjunto de genes, los únicos que realmente persisten en la parte baja de la escalera?

Relacionado con el tema, os puede interesar:

Un físico en la calle, de Eduardo Battaner.
El camino a la realidad, de Roger Penrose (en especial, el capítulo 27)
Ilya Prigogine, al orden por el azar, del blog La bella teoría

PD: La primera imagen se ha tomado del blog Problemas de Ajedrez

Crítica irreverente a El Manifiesto comunista de K. Marx y F. Engels

Una lectura recomendada, reveladora y crucial, aunque mejor sin dogmatismos ni preconcepciones (cosa difícil). Mucho queda en el tintero, espero que los comentarios lo mejoren y aporten nuevas reflexiones.

¡Unos fantasmas recorren Europa... los fantasmas de los comunistas !

La cosa está muy mala, hijo mío.

S. XIX. Condiciones de trabajo insalubres, largas jornadas laborales, hombres, mujeres y niños al servicio exclusivo de las fábricas. Míseros sueldos que sólo permiten subsistir para poder seguir trabajando. Mientras, la burguesía, los nuevos amos surgidos del comercio de las primeras ciudades de la Edad Media, se alían para defender sus intereses frente a la aristocracia, aún con cierto poder en Europa. La burguesía expande el comercio y aumenta sus beneficios internacionalizando los productos. Los trabajadores sólo tienen una cosa que les pertenezca: su prole. Son proletarios por encima de todo, nada mejor que eso les caracteriza. Pero ellos también comienzan a organizarse para defender lo que consideran sus derechos: básicamente, mejores condiciones de trabajo.

Con todo, hay una idea que ronda por ahí, un concepto, una casi-realidad que ha ido recorriendo los países europeos como un fantasma: el comunismo, un movimiento político/filosófico/revolucionario que va más allá de una simple mejora local de los trabajadores...

¡Hazte comunista!: la Revolución es guay

El comunismo no sólo pretende -como hacen otros- mejorar las condiciones del trabajador. Lo que busca es la eliminación de las propias clases proletaria y burguesa, que son antagónicas y se encuentran en lucha de intereses. Y en este momento histórico la única capaz de llevarlo a cabo es la clase mayoritaria y sometida: el proletariado. Porque cuanto más se engrosa el capital burgués, mejores son las condiciones sociales para que el proletariado se organize y reaccione. Sólo mediante una acción violenta se puede abolir este sistema, el capitalismo, de modo que sean los trabajadores, organizados políticamente, los que controlen los medios de producción. Esta fase de socialización (socialismo) se caracterizaría por un sometimiento de la clase burguesa. Más tarde, cuando ya se hubiera abolido cualquier antagonismo de clase, se habrá llegado al ideal comunista. (¿Una especie de estado dionisíaco, a lo Nietzsche?)

Lo que no se reflexiona aquí es si es viable la existencia de una gran masa social organizada políticamente con un objetivo común. (Si habeis estado en alguna reunión de vecinos, entendereis por dónde voy). Porque, si no es viable, ¿de qué serviría montar todo este sarao?

Tampoco se apunta si el sistema debe ser asambleario, jerarquizado, en forma de red, de estrella (roja) o a dedo (este es del que tenemos más experiencia). Marx y Engels no entran en el tema y de hecho dejan claro que cada país debe hallar su propio sistema debido a sus características particulares. Pero, ¿y después?, ¿cómo lo internacionalizamos?. Abolida la injusta ley de oferta/demanda burguesa, ¿quién decidirá cuánto vale entonces el trabajo?, ¿la cúpula del partido comunista?, ¿un dirigente puesto a dedo por la vanguardia intelectual bolchevique?

Ah! se me olvidaba: la HISTORIA -con mayúsculas y negrita- está por encima de esos detalles sin importancia y seguro que viene en nuestra ayuda.

Pero, ¿qué no es el comunismo?

Algunas acusaciones de la burguesía sobre el comunismo, ante las que el Manifiesto responde:

1. El comunismo busca la abolición de la propiedad. Sí, pero la abolición de la propiedad... burguesa. El capital no es una propiedad que pertenezca a la burguesía sino un producto social. Luego, su abolición es una redistribución de algo que nunca fue realmente propiedad de nadie.

2. El comunismo busca la abolición de la individualidad y de la libertad. Sí, pero la abolición de la libertad e individualidad... burguesas. Abolir la libertad de libre comercio a costa de la explotación del proletariado.

3. El comunismo quiere abolir a la familia. Lo que quiere es abolir la explotación de los hijos por los padres y cambiar el carácter capitalista de la educación de la clase dominante.

4. El comunismo quiere abolir a la patria. Los trabajadores no tienen patria, pues comparten iguales intereses de clase con sus vecinos. "Abolid la explotación del hombre por el hombre y abolireis la explotación de una nación por otra".

5. El comunismo quiere abolir verdades eternas: la religión, la moral, la justicia... La conciencia social de todos los períodos de la historia es similar pues comparte el fenómeno de lucha de clases, así que hay ideas que parecen eternas pero que dejarán de serlo cuando se acaben todos los antagonismos de clase.

Necesidad e Inevitabilidad del Comunismo

El carácter necesario del comunismo se va destilando sutil pero incipientemente a lo largo de El Manifiesto.

El comunismo es una consecuencia necesaria del antagonismo burguesía/proletariado. La Historia nos ha traído hasta aquí siguiendo la lógica de la lucha de clases. Pero ¡arriba los corazones, camaradas, porque hay final Made in Hollywood!: surgirá una asociación donde el libre desarrollo de cada uno será la condición para el libre desarrollo de todos. ¿No recuerda al final feliz del Espíritu -o del estado prusiano- predicho por Hegel?

La Inevitabilidad de todo este proceso resulta evidente en frases como: La burguesía produce, sobre todo, sus propios sepultureros. Su decadencia y la victoria del proletariado son igualmente inevitables. Pero, entonces, ¿nos sentamos a esperar?, ¿el destino está de nuestro lado?

Parece que aunque no militemos en el movimiento comunista, inevitablemente otros lo harán y al final el éxito estará asegurado. La Historia es como una máquina bien engrasada que pasa por encima del hombre y de sus caprichos azarosos, nos va pasando de nivel mediante revoluciones, pantalla tras pantalla hasta el Game Over. Es una pena que más de un siglo después de esta visión ni siquiera vislumbremos ese final feliz Universal. De todos modos, parece que Marx suavizó posteriormente esta visión mesiánica del comunismo, sutileza que no todos los comunistas han entendido.

Materialismo histórico... ¿lo qué?

Las ideas, los conceptos, la intelectualidad a lo largo de la Historia sólo pueden entenderse supeditados a las condiciones de vida de los que las tuvieron. La verdad es que a Platón se le fue bastante la olla con eso de que las ideas son eternas y simplemente las vamos recordando desde nuestro mundo imperfecto de apariencias. Ni mucho menos: toda la producción intelectual se transforma con la producción material. He aquí la frase que podría resumir el carácter materialista de Marx. Evidentemente, la necesidad de una descripción de lucha de clases para explicar la Historia sólo es posible si admitimos que hay algo real/físico/tangible que condiciona aquello que pensamos.

El proletario piensa como proletario (sobretodo cuando toma conciencia de que lo es, conciencia de clase) y el burgués, por vivir y relacionarse en la sociedad del modo concreto como lo hace, pensará y verá el mundo como burgués. Ambas visiones son antagónicas; ambos defenderán intereses enfrentados.

Así que la lucha tiene una raíz en lo material (las condiciones de vida) y se da a lo largo de la historia forjándola y alimentándose retroactivamente de ella (dialécticamente) a base de revoluciones. De ahí el llamado materialismo histórico (también dialéctico).

Sobre el individualismo

Pero, ¿quiere esto decir que todos los proletarios piensan de la misma manera y todos los burgueses de otra?, ¿dónde queda la individualidad?

Considero que la descripción que da el manifiesto del mundo es una visión sociológica sobre cómo se mueven grandes masas de población en función de sus relaciones económicas. La individualidad no ha desaparecido, hay que buscarla a pequeña escala.

Por eso es tan patético escuchar al típico pseudo-comunista criticar de un modo "personal" a un empresario desconocido con frases como "te está robando para hacerse un chalet en la sierra, sólo busca su beneficio"... Creo que Marx no aprobaría esa personificación de la cuestión. Es el sistema capitalista -alimentado tanto por ese jefe como por el propio trabajador que lo critica- el que está "robando" de un sitio para ponerlo en otro. Y si pudiéramos evitar el contenido moral de robar como algo necesariamente malo, mejor todavía. Puede que ese jefe sea más buena persona que Santa Teresa de Jesús, y puede que el trabajador explotado sea un ser despreciable. Aunque esto no invalida lo contrario, es sólo a gran escala donde cobra sentido la descripción comunista, sin personalismos.

Porque sino, todo este debate es análogo a las generalizaciones sexuales. tan odiadas por muchos. Imaginemos que decimos "los hombres tienen más visión espacial y las mujeres más capacidad comunicativa". Esta visión global de ambos sexos es útil para explicar ciertos parámetros históricos, evolutivos y biológicos pero siempre como masa social, en cambio, si individualizamos sistemáticamente hombre por hombre y mujer por mujer, caeremos de nuevo en contradicciones y discusiones absurdas.

Apunte final

A pesar de la ingenuidad y del mesianismo del texto, es una pena que el Manifiesto no sea de lectura obligada en las escuelas. Es un documento imprescindible para entender el sistema de partidos políticos de los estados actuales así como la situación del s. XIX. La vigencia de su análisis social debe tomarse muy en cuenta pues, aunque el lobo vista a veces piel de cordero, es exactamente el mismo lobo del que hablan Marx y Engels el que controla actualmente el poder social.

Qué cierta sigue siendo la siguiente cita del El Manifiesto: El gobierno moderno es tan sólo un comité que administra los negocios comunes de la clase burguesa.

Crítica irreverente a El crepúsculo de los ídolos de F. Nietzsche

Tras leer El crepúsculo de los ídolos, a uno -que no esté muy contaminado por un estudio previo del autor, y eso es lo que yo busco- le rondan básicamente tres ideas generales sobre el tema.

Tres ideas generales

1. La historia de la filosofía está llena de malentendidos hasta que el bueno de Nietzsche entra en escena e ilumina nuestras decadentes consciencias.

2. Sócrates y Platón eran unos moralistas patéticos que traicionaron el auténtico espíritu griego basado en entregarse a los instintos, en un estado superior de orgía permanente. (Vaya, ¡ya sabíamos que ese estado era superior!)

3. La Iglesia (cristianismo y derivados) es lo peor de lo peor, mientras que la filosofía de Nietzsche es la number one y además mola mogollón.
--> Corolario del 3. Según el propio Nietzsche: Nietzsche es el primer maestro alemán de los aforismos y Así habló Zaratustra es el libro más profundo dado nunca a la Humanidad.

Paso a desarrollar los puntos anteriores:

1. La lista de malentendidos que Nietzsche no comete son: la filosofía de Sócrates, el espíritu griego antiguo, la moral de la mejora, la moral cristiana, el error del ser, la necesidad de Dios, la distinción mundo aparente/verdadero, la paz del alma, la necesidad causal, la confusión causa/consecuencia, la necesidad de finalidad, la voluntad libre, los hechos morales, la idealización, el sistema educativo alemán... y cada dos páginas uno más.
La mayoría de malentendidos lo son porque no existen, los hemos inventado a nuestra imagen y semejanza. Otros, en cambio, son malas interpretaciones de algo que nunca fue así.

2. Sócrates era muy feo, pero eso no era lo peor, además utilizó su dialéctica para aplacar la anarquía que imperaba entre los griegos en un estado tiranizado por los instintos. Y su contratirana es, justamente, la Razón. Este ídolo griego -junto con Platón- es algo así como un precristiano en lo moral pues comienza a alejarse del estado dionisíaco de los antiguos para ensalzar la razón, la dialéctica y de rebote, los conceptos morales, que confluirán con la moral cristiana. Esa idea de que Razón=Virtud=Felicidad es falaz. La moral (la que permita esa Virtud) es la moral de los débiles, de los que ya no tienen otro recurso para defenderse. Por ello, la imposición general de esa moral es el comienzo de la decadencia.
No es que el Virtuoso encuentre la Felicidad, más bien al contrario: el Feliz suele actuar de un modo en apariencia Virtuoso pues no necesita actuar de otro modo. Este sería un ejemplo de otro de los malentendidos históricos: el de confundir las causas con las consecuencias.

3. La Iglesia, el cristianismo y derivados, la institucionalización de la moral, el altruismo, Dios... todo se alza en un paisaje de decadencia donde el hombre ha sido domesticado y pasó a ser engañosamente libre. Esa libertad es una trampa pues nos hace responsable de los actos según una moral dominante, de modo que somos susceptibles de ser culpables de ellos. El cristianismo es una metafísica del verdugo.
La Iglesia es lo contrario de la auténtica vida y su moral es castradora de los instintos y del cuerpo. En otro aforismo hipermegaguay: La vida termina allí donde empieza el Reino de Dios.
¡Por supuesto! ¡Por fin alguien que habla claro! Después de San Anselmo y de Kant, encontramos a quien no tiene pelos en la lengua y no se deja engañar.

Reflexiones a propósito de...

Su discurso es en algunos momentos increíblemente actual. Ahora, liberados en parte de la Iglesia de otros tiempos -aunque no totalmente- somos esclavos de una moral sutil, de lo que es políticamente correcto según la moda de turno y donde el que se sale del guión es señalado por los moralistas institucionales; como decía Serrat en aquella célebre canción: por los macarras de la moral. Vivimos en la Hipocresía y el Autoengaño permanentes.

Este es nuestro estado de decadencia absoluta. Condenamos y legislamos la más mínima acción a golpe de titular. Tachamos de terroristas, de violentos, de delincuentes y de piratas a cualquiera que se salga de lo establecido, a cualquiera que perjudique al stablishment mientras guardamos nuestro mísero dinero en bancos que invierten en empresas de armamento que alimentan las guerras que tanto rechazamos. Con una mano alimentamos a los perros de la moral para que nos muerdan la otra cuando sea conveniente. Y durante el proceso encendemos la televisión y asistimos a maratones altruistas de campañas que lavan la consciencia que no tenemos. ¿Y que nunca nadie tuvo?

Porque, ¿existe o existió realmente esa consciencia moral -pseudocristiana, en nuestro caso-?, ¿o es, como dice Nietzsche, un malentendido más, una ilusión sólo útil para los débiles, un estado de decadencia de quien se ha alejado de los instintos y la voluntad de poder, del espíritu dionisíaco?. ¿Nos creemos realmente eso de la democracia, la igualdad social y el bienestar de la mayoría como final feliz o somos tan ciegos, estúpidos o hipócritas que preferimos vivir en ese estado de engaño dialéctico iniciado -quizá- por Sócrates?
Sin duda, aunque individualmente puedan apuntarse cientos de argumentos a favor o en contra, como rebaño parece que, efectivamente, el envolvernos de moral es un acto flagrante de decadencia...

En resumen, leer a Nietzsche es un soplo de aire fresco, a pesar de su egocentrismo, a pesar de su inquietante discurso, a pesar de todo, a pesar de que...

¡estaba como una puta cabra!

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (y III. Ejemplos)

Después de repasar los conceptos de Derivación e Integración y ver la reveladora correspondencia entre ambos mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, comentaremos algunos casos concretos de derivadas y primitivas en el campo de la física y la matemática.

La Fuerza de Newton

Como vimos, Derivación e Integración son procesos que relacionan íntimamente las curvas posición x(t) y velocidad v(t), consideradas como funciones del tiempo. Cuando la velocidad no sea constante, es decir si v=v(t) podremos estudiar también las pendientes de sus tangentes y en tal caso, Derivar de nuevo para obtener una nueva curva: la aceleración a(t)=dv/dt que, como es bien sabido, resulta ser el concepto estrella de la dinámica newtoniana.
En la figura 8 vemos todos estos procesos donde la Derivación d/dt se efectúa hacia la izquierda y la integración ∫ dt hacia la derecha.

Para Sir Isaac -como queda más o menos descrito en sus Principia Mathematica- la cantidad del movimiento o Ímpetu es definida como el producto de la masa por la velocidad p=mv, siendo éste un concepto que diferencia claramente las consecuencias del movimiento de dos cuerpos de diferente masa que se mueven a igual velocidad. Así, más que el movimiento en sí (contabilizado como velocidad), lo importante será la cantidad de ese movimiento (masa x velocidad), también denominada momento y que, como vemos en la figura 9, está relacionada directamente con el concepto de Fuerza. Efectivamente, considerando la derivada de p respecto del tiempo, dp/dt, (las pendientes de las rectas tangentes a la curva p(t)) obtendremos la famosa Fuerza y se dirá que la Fuerza es proporcional al cambio del movimiento, es decir, a la variación de la cantidad del movimiento. Esta fuerza es F=ma, en su expresión más divulgada de la 2ª Ley de Newton. Como vemos, hemos multiplicado por la masa las curvas a(t) y v(t) de la parte superior de la figura 9 para redescubrir la 2ª ley.

Por tanto, conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, podremos encontrar el modo como se moverá por el espacio x(t) simplemente dividiendo entre su masa e integrando respecto del tiempo dos veces F(t)/m -> p(t)/m -> x(t) y, claro está, ajustando las condiciones iniciales correspondientes reflejadas aquí como constantes C del proceso de integración.

Geometría y Metafísica

En la parte superior de la figura 10 hemos partido de la extraña cantidad 2π. De algún modo, 2π representa todo el espacio plano de un modo angularizado. (O quizá no representa nada en términos cotidianos...) Podría interpretarse como una especie de generador de figuras geométricas que son cada una la suma debidamente calculada de la otra. Veamos cómo.
Recordemos la figura 6, donde la cantidad dx evaluada de x_b a x_a tenía que ser justamente la longitud x_b -x_a de algún segmento a lo largo de la dimensión x. En el caso que nos ocupa, al integrar 2π sobre r desde r=0 hasta r=R, obtendremos 2πR: la longitud de una circunferencia de radio R, una longitud radial.
Ahora, sumemos circunferencias de radios que vayan de 0 a R y cuyo grosor radial sea infinitesimal (que tiende a 0 tanto como queramos). En este caso, obtenemos toda la superficie de un círculo de radio R: πR². Es el área en 2 dimensiones generada por la integración de cantidades de 1 dimensión.
Finalmente, ¿qué ocurrirá si sumamos infinitos círculos cuyo radio varíe infinitesimalmente de 0 a R y cuyo grosor sea dr?. Estaremos construyendo un montículo de pastillas circulares resultando un cono sólido de altura igual al radio de su base, h=R. El resultado es efectivamente el Volumen de un cono de este tipo, V = (1/3)πR³.

Pasemos a la parte inferior de la figura 10 e intentemos hallar el análogo a la fila superior, considerando la superficie de la esfera en vez de la del círculo. Parece que, si tuviéramos que generarla mediante algún número similar a 2π, deberíamos cuadruplicarlo y usar 8π. De 8π obtendríamos 8πR, y de 8πr integrado de r=0 a r=R llegaríamos a la famosa superficie de la esfera 4πR². Un misterioso factor 4 hace posible el paso de las figuras de arriba a las de abajo.
Pero, ¿tiene esto algún sentido real más allá de la pura abstracción?¿Podríamos afirmar que con 4 circunferencias podemos hacer una superficie esférica de igual radio? ¿Es 8π una especie de "generador espacial tridimensional angularizado"? Acepto los comentarios pertinentes...
Vayamos ahora más hacia la derecha, es decir, sigamos integrando. Si sumamos infinitas superficies esféricas 4πr² de grosor infinitesimal dr evaluando de 0 a R obtendremos el Volumen total de la esfera (4/3)πR³ así como una cebolla completa es el resultado de unir todas sus capas interiores desde el punto central r=0 hasta la piel más externa r=R.
Fijémonos que de los resultados de la figura 10 podemos concluir lo siguiente:

V_esf = 4 V_con

Este interesante resultado puede visualizarse en la figura 11 donde vemos -o deberíamos ver- que la suma de dos conos incluidos en una esfera sólo alcanzaría la mitad del volumen total. Así que las partes sobrantes de cada semiesfera deben ser igual al volumen del cono que las ha delimitado.

Reto

Esto me recuerda al célebre resultado de Arquímedes, inscrito en su legendario epitafio, de que el volumen de la esfera contenida en un cilindro de altura y diámetro iguales a los de la esfera es:

V_esf = (2/3)V_cil

Así que con una esfera y media, rellenaríamos todo el cilindro.
Introduciendo nuestro cono de altura h=R dentro de la esfera de Arquímedes -figura 12- veríamos que necesitaremos 6 conos para rellenar el cilindro:

V_cil = (3/2)V_esf = 6V_con

¿Se esconde tras esto algún tipo de progresión? Si es así, ¿cuál es la siguiente figura que podemos contener dentro del cono?

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (II. Integración)

La Integral y el Teorema fundamental del cálculo

Hemos visto cómo hallando las pendientes de las tangentes de x(t) -ayudados por el concepto de límite- conseguimos obtener la fórmula de la velocidad v(t). A este método lo denominamos Derivación y a v(t) "la derivada de x(t)" (figura 3 del post anterior). Pero, ¿cuál es el paso inverso a la Derivación?, ¿cómo pasaríamos de la curva inferior v(t) a la superior x(t) en la figura 3?, ¿sabríamos reconstruir la posición a partir de la velocidad?

A este método inverso lo llamaremos "encontrar la Primitiva de v(t)".(Parece un buen nombre, ya que v(t) debe haberse generado originalmente a partir de x(t))

Tenemos las tangentes, pero no sabemos dónde colocarlas.

Probemos a reconstruir x(t) uniendo todas las tangentes una vez trasladadas desde v(t). Sabemos que las longitudes de los segmentos rojos de v(t) -como el segmento v(a)- son justamente el valor de la pendiente de la tangente de una función x(t) cuando t=a. Para empezar, tomemos ese segmento y llevémoslo a la parte superior de la gráfica en la Figura 4. La inclinación será igual a la longitud del segmento, así que ya sabemos cómo inclinarlo... aunque no dónde ponerlo. Bueno, lo pondremos a la altura que queramos. Al fin y al cabo, ya vimos que infinitos corredores saliendo de diversas posiciones pueden describirse con la misma curva v(t) si corren de la misma forma. Al poner el segmento a una altura determinada estaremos fijando esa constante C de la que hablábamos en el post anterior. Ya tenemos x(a).
Ahora, procedamos igual con el segmento v(b) cuya longitud es menor, luego la pendiente o inclinación de la tangente en b de la curva primitiva será menor. Lo llevamos arriba con la inclinación correcta pero... ¡maldición! ¿Y ahora a qué altura lo debemos colocar respecto de x(a)? Necesitaríamos conocer la distancia vertical al punto conocido, es decir, la cantidad x(b) - x(a). Al tener C fijada, este paso no puede ser arbitrario. ¡Y sin ese dato no podremos reconstruir la curva primitiva x(t) que estamos buscando!

La integral: una suma muy especial.

Cabilemos un poco. Hemos tomado dos segmentos muy separados. Cuanto más juntos los tomemos, más iguales en altura los deberemos situar al trasladarlos arriba. Intuitivamente vemos que un ligero cambio en la curva primitiva x(t) en un pequeño intervalo de tiempo t debe corresponderse con un ligero cambio similar en v(t). Así, dos segmentos de v(t) muy juntos traladados deberían colocarse prácticamente a igual altura uno de otro en la construcción de x(t).
Por tanto, la información de cómo deben situarse las tangentes arriba -sus alturas relativas- debe estar de algún modo contenida en todos los segmentos de abajo muy muy próximos entre un intervalo dado. No podemos dejarnos ni un sólo segmento y deben trasladarse todos en bloque. Pero eso de muy muy próximos, en el límite, querrá decir "separados un intervalo infinitesimal dt", como definimos en el tema de la Derivación. Si están separados dt, conformarán una serie de rectángulos estrechísimos de base dt y altura (*) más o menos v(t), cuyas áreas sumadas nos darán el área total bajo la curva v(t) en ese intervalo. Al fin y al cabo, podemos concebir un área como una suma de líneas verticales muy pegadas, tal y como muchas hileras estrechamente enebradas conforman la superficie de un tapete.
Es a esta área total bajo la curva en un intervalo dado a lo que llamamos Integral. La Integral es una suma especial, de infinitas porciones infinitésimas. Por ello, tomamos la S de Suma y la estiramos por arriba y por abajo para hacer constar que es una suma muy muy larga: la S se convierte entonces en ese símbolo ∫ tan amado y odiado por muchos.
Pero, ¿qué información nos da la integral? Según nuestro razonamiento, debería decirnos dónde colocar los segmentos arriba, es decir, a qué alturas relativas deben estar todos para poder reconstruir nuestra primitiva x(t). Si abajo sumamos rectángulos infinitesimales entre a y b, arriba obtendremos la altura relativa entre x(b) y el x(a), porque eso es justamente la curva x(t): una diferencia de valores en un intervalo dado. De modo que, tomando intervalos [a,b] tan estrechos como queramos abajo, sabremos con exactitud cómo ir colocando todos los segmentos en la zona de x(t). Ver la figura 5.
Este es el llamado Teorema Fundamental del Cálculo, cuyo pomposo nombre es bien merecido, al menos por la increíble síntesis de conceptos que supone.

Abracadabra.

Veamos ahora porqué los seguidores de Leibniz describían su cálculo diferencial como cosa de magia. Otro modo de obtener este último resultado es aplicar que v(t)=dx/dt y cancelar los dt de numerador y denominador dentro de la integral. De este modo nos quedará el resultado metafísico de "suma de infinitésimas equis en el intervalo [a,b]", dibujado entre llaves rojas en la figura 6. Podemos interpretar esto como una suma infinita de valores de equis tan próximos entre sí como queramos; y si sumamos puntos entre un intervalo dado lo que obtenemos es la longitud del propio intervalo, es decir, la diferencia de valores entre sus extremos: x(b) - x(a). ¡Tachán!



Un ejemplo del Teorema.

¿Cómo?, ¿aún no estáis sorprendidos? Entonces no me he explicado bien.
Veamos un ejemplo de la potencia de cálculo que todo esto supone: tomemos la curva de la velocidad del post anterior v(t)=2πt que habíamos obtenido derivando x(t). Pero cambiemos ahora la variable t por r. Ahora sí que nos resulta más familiar. Justamente, v(r)=2πr es la longitud de una circunferencia de radio r. Imaginemos que queremos conocer el área contenida dentro de una circunferencia de radio R. Es decir, queremos hallar la fórmula para el área de un círculo. Para ello, integramos v(r) en el intervalo de r=0 hasta r=R, y estaremos sumando infinitésimos rectángulos circulares de longitud circular 2πr y grueso dr. (Ver figura 7).
Bien, ¿cuánto vale esa integral ∫ v(r) dr de 0 a R?. Ni idea. Tal vez sea un cálculo muy complicado. Pero lo que sí sabemos es que la curva v(r) tiene como primitiva x(r)=πr² porque, dada la facilidad de hallar pendientes a una curva (mediante el concepto de límite), habíamos calculado anteriormente que 2πr era la Derivada de πr².
Así, que, por el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫ v(r) dr = x(R) - x(0) = πR²

Ya tenemos el área del círculo!

Fijaos que no ha sido necesario tratar con series infinitas ni hacer interminables cálculos geométricos al estilo de los antiguos griegos... Acabamos de obtener una superficie basándonos sólo en el conocimiento de que la Derivada de πr² es 2πr.

Como hemos visto, el T. F. del Cálculo relaciona la Derivación (hallar pendientes de tangentes) con la Integración (sumar infinitas áreas infinitésimas). Y esto, de repente, se traduce en diferenciales que se cancelan por aquí y por allá y en tener bien a mano una serie de resultados de Derivación -más fáciles de calcular- para obtener primitivas de cualquier función. Bueno, pero no todo es tan bonito como parece, ya que podemos encontrar funciones que no puedan ser integradas por este método o toparnos al derivar con límites que no existan pero... ese ya es otro tema.
Por el momento, disfrutemos del éxito obtenido porque ésta es posiblemente la herramienta utilizada en el 99% de los problemas habituales de la ciencia moderna. Próximamente, veremos algunas disquisiciones más sobre ello. :-)

(Continuará)

(*): Esto de más o menos se hace evidente observando los rectángulos rojos de la figura 5. De hecho, al dividir en porciones cada vez más pequeñas la suma de todos se aproxima cada vez más al área total. Ésta es la llamada integral de Riemann. Sólo al final, la altura de cada rectángulo es realmente v(t). Que me perdonen los matemáticos... :-) Para ver el proceso con más rigor, véase por ejemplo esto.

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (I. Derivación)

Todo lo que siempre quiso saber sobre Derivadas e Integrales y nunca se atrevió a preguntar...

Millones de personas las usan constantemente pero sólo unos pocos son conscientes de ello. Sin duda, la ciencia seguiría en pañales sin estas extraordinarias herramientas. Allá por el s. XVII, había dos problemas matemáticos cruciales: obtener las rectas tangentes a una curva y calcular áreas y volúmenes. Leibniz y Newton, independientemente, llegaron a comprender la profunda relación entre ellos... Comenzemos por un enfoque newtoniano de la derivación.

Las tangentes del movimiento

El estudio del movimiento de un cuerpo podía reducirse al estudio de su posición respecto del tiempo. En notación moderna, sería conocer la curva x(t). Y, como diría Newton, esta curva es una magnitud fluyente pues es el resultado de un punto que fluye contínuamente. Ahora bien, más allá de la posición, también querremos conocer la velocidad del cuerpo para estudiar la naturaleza dinámica de lo que está sucediendo (pues la velocidad nos dará información sobre la aceleración, que es la magnitud clave en la dinámica).
Para ello, podríamos calcular el cociente entre las diferencias de posición de dos puntos de la curva A y B y el tiempo entre ellos. Esto nos daría una velocidad, pero sería una velocidad media entre los dos puntos y no aportaría información sobre la velocidad instantánea en cada punto. Fijémonos en la figura 1, donde la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. No sabríamos, por ejemplo, la velocidad real en A. Para conseguirlo, debemos calcular el cociente de esas mismas cantidades para diferencias muy pequeñas de tiempo, tomando dos puntos infinitamente próximos de modo que en el final de esa infinitud sean el mismo punto, en nuestro caso, el A. Así sabremos la velocidad instantánea v(a). Para Newton, esto se reducía a un cociente de dos cantidades que se desvanecen a la vez.
En la figura 2, vemos cómo el acercamiento de B hacia A implica esa disminución ad infinitum de las dos cantidades. Aquí, la recta final es una tangente a la curva en el punto A. En lenguaje moderno: obtenemos la pendiente PA haciendo el límite del cociente de ambas cantidades cuando B -> A ó lo que es igual, cuando b -> a. (Sólo es posible el límite si esa función cociente es continua, lo que no sería problema para Newton, ya que esta curva es el resultado de un punto que se mueve de forma continua, sin sobresaltos)

¡Y aquí entra en juego la famosa tangente! Fijémonos que ese cociente de dos cantidades que tienden a cero a la vez, al final, no es más que la pendiente de la recta tangente -en color rojo- a la curva en el punto A. De este modo, el valor obtenido será mayor cuánto más inclinada sea la recta tangente, cero si la tangente es horizontal (cuando A es un máximo o un mínimo en la curva la pendiente es nula) y positivo o negativo dependiendo de si la curva crece o decrece hacia la derecha.
Por tanto, el problema de hallar las tasas de cambio de una magnitud continua, como la de la posición respecto del tiempo (la velocidad) se reduce al arte de hallar tangentes a una curva. Lo haremos obteniendo la fórmula general para todas las tangentes de la curva posición usando el límite de la figura 2. A este proceso lo llamaremos Derivación o Diferenciación. Y a las cantidades x(b)-x(a) y b-a cuando b->a se las denominará diferenciales dx y dt respectivamente, indicando así que son cantidades infinitesimales o infinítamente pequeñas.

Jugando con las pendientes (de las tangentes)

Muy bien, ya sabemos calcular las velocidades instantáneas en cada posición de un cuerpo en movimiento. Dicho de otro modo, tenemos las tangentes. Representemos ahora esas rectas tangentes con una peculiaridad: serán segmentos de longitud igual al valor de la pendiente de la tangente. Observemos la parte superior de la figura 3 donde hemos dibujado en color rojo esos segmentos. En en el punto C, el segmento de la tangente tiene una determinada longitud, en B es de longitud mayor (mayor inclinación de la tangente, luego mayor pendiente) y en A y D es tan sólo un punto (ya que la pendiente de la recta tangente es nula).

Atención porque ahora viene lo bueno: tomemos esos segmentos y coloquémoslos en posición vertical en una nueva gráfica, en la parte inferior de la figura 3, construyendo una curva con ellos de modo que cada punto tenga como valor la altura del segmento. Si el segmento tenía un valor negativo de longitud como el del punto E (porque venía de una tangente con inclinación hacia abajo) lo colocaremos también hacia el sentido negativo del eje vertical. Unamos finalmente los puntos obtenidos mediante una curva e imaginemos que hemos procedido escrupulosamente para todos los puntos de la curva anterior, trasladando todas las tangentes. Lo que hemos hecho es Derivar la curva posición. Tenemos ahora una nueva curva que representa la velocidad en función del tiempo, ya que cada valor de la función es justamente la pendiente de las tangentes de la función posición anterior.
Observemos que, de haber dibujado la curva superior x(t) más arriba o más abajo en la gráfica, habríamos obtenido exactamente la misma curva v(t) de abajo, ya que ésta la hemos construido con las pendientes de las tangentes de x(t), y no se ve afectada por posibles desplazamientos verticales en x(t). Podemos entenderlo físicamente si imaginamos que varios corredores que comienzan una carrera desde diferentes posiciones (lo que equivale a sumar una constante a la función posición) tendrán la misma velocidad si corren de igual forma. Pero, mirando la figura 3, ¿qué misteriosa relación tiene esta curva inferior con la anterior?

Un caso imaginario de Derivación

Consideremos el caso imaginario en que la posición de un cuerpo varía con el tiempo según la extraña relación

x(t) = πt²

Es decir, en el instante t=1 segundo estará en la posición x= π metros, para t=2 segundos, en x= 4π metros y así sucesivamente.

Calculemos ahora la fórmula general para la pendiente de las rectas tangentes a la curva posición. Para ello, obtengamos primero la velocidad real en un instante t=a. Según lo visto en la figura 2, haremos:

v(a) = lim [(x(b)-x(a)) /(b-a)] = lim [(πb² - πa²) / (b-a)] = lim [π(b² - a²) / (b-a)] = lim π(b+a) = π(a+a) = 2πa
donde hemos usado que b² - a² = (b+a)(b-a) y donde lim se refiere al límite cuando b -> a

Vemos que en el caso general, para cualquier instante de tiempo t, tomando intervalos infinitesimales para hallar las tangentes,

v(t) = 2πt

Perfecto, ésta es la curva que describe cómo varía la velocidad del cuerpo cuya posición viene dada por πt². Diremos que la Derivada de πt² es 2πt. De hecho, en el caso general, si la curva posición tiene un desplazamiento vertical, -lo que equivale a sumarle una constante C- la curva v(t) será la misma, como hemos comentado en relación a la figura 3. Diremos entonces que las Derivadas de πt² + C son 2πt, para todas las ces. (Y C=0 es el caso particular que considerábamos)
Respecto a la notación, la más divulgada es la de Leibniz, donde dx/dt = v(t) o bien x'(t) = v(t) y en la notación más usada por Newton, x con un punto encima -cosa que no sé hacer con el teclado- significa también derivada respecto del tiempo, aunque él la llamaría fluxión de x. (Asímismo, al diferencial dt lo denota como o)
Bien, ya sabíamos que la derivada de la posición era la velocidad, pero ¿por qué es tan importante esta construcción de la función velocidad? ¿Y qué tiene que ver con el cálculo de áreas y volúmenes? Todo esto podría parecer un mero entretenimiento matemático si no fuera por las sorprendentes propiedades que encierra... pero, hagamos un breve descanso.

(Continuará)

Crítica irreverente al Proslogion de San Anselmo

Top 10 del Márqueting escolástico

Se trata de un librito con 26 pensamientos filosóficos escritos por este benedictino del s.XI.
Todas sus reflexiones intentan convencernos (y convencerse él mismo) de que usando la lógica podemos demostrar la existencia de Dios y explicar las aparentes contradicciones que ello supone.

La idea más importante es el llamado Argumento Ontológico de la existencia de Dios, que aparece ya en la IIª reflexión:

Primero, define a Dios como "aquello más grande de lo cual nada puede pensarse".
Luego, por reducción al absurdo, pasa a demostrar su existencia de este modo:
Supongamos que Dios no existiera realmente y que tan sólo fuera una idea del pensamiento.
Si no existiera, podríamos pensar algo mayor que Dios: algo igual de grande y que además exista. Luego, sería más grande porque existiría.
Pero eso entra en contradicción con nuestra definición de Dios, que era ya lo mayor que podía pensarse. Luego Dios debe existir.

Sigue San Anselmo reflexionando sobre temas tan polémicos como ¿Por qué Dios es a veces misericordioso y otras veces impasible?,¿Por qué a veces Dios castiga a los malos y otras veces los perdona?. En definitiva, ¿Por qué Dios obra de formas opuestas ante una misma cosa?
Para entenderlo, hay que buscar las causas en un lugar o en otro -dependiendo de si castiga o perdona-. Si castiga es que lo ha hecho por los méritos de los malos. Si perdona, lo hace movido por su propia bondad divina. Así que todo se explica a posteriori, haciendo cuadrar las causas con los efectos sólo una vez conocidos los efectos. Por lo que no podemos predecir nada. Como dice San Anselmo, al fin y al cabo, todo lo que veo lo veo por tu luz pero no puedo verte completo.

Sobre el argumento ontológico

El argumento ontológico parece algo confuso al principio, pero provad a cambiar el término grande por perfecto, que sería el sentido implícito que aquí se está dando a Dios. Así, para San Anselmo la existencia de algo es una propiedad que mejora su perfección. Este truco es el que sostiene la lógica del argumento y evidentemente es gratuito. Vaya, que se lo saca de la manga. Esta mezcla de lógica y fe es alucinante e incluso atractiva y debo admitir que apunto estuve tras su lectura de volverme un aférrimo defensor de aquello más grande de lo cual nada puede pensarse (y que, por tanto, debe existir).
Me han impactado mucho las reflexiones del librito, por sus elegantes trucos de prestidigitador. La hermosa poesía que emana de sus palabras recuerda a algunos de los mejores versos religiosos de Lope de Vega o Santa Teresa, que seguramente leyeron a San Anselmo. Sin duda, también impactó a los pensadores de la época y sirvió de alimento moral y filosófico a los descreídos y dubitativos.
Es increíble cómo San Anselmo (anuque aun no era santo) se rompió los sesos intentando casar la fe con la razón vistiéndolo todo de una gran magia espiritual. En estos tiempos en los que, a veces, se critica a la ciencia por inmiscuirse en asuntos tradicionalmente metafísicos como el tiempo o el origen del Universo, no vendría mal recordar cómo la Iglesia ha ido maquillando su propia fe de pura lógica.

¿Principio Holográfico en San Anselmo?

En la reflexión XVIIIª encontramos: La vida, la sabiduría y demás cosas no son partes tuyas, sino que todas son una, y una cualquiera de ellas es todo lo que Tú eres y lo que son todas las restantes.
¿No es esto exactamente la propiedad que define a una imagen holográfica? El paradigma holográfico -tan de moda- aplicado al Universo entero y al estudio de la conciencia debería revisar el texto de San Anselmo. Efectivamente, la única forma de estar entero en cada una de las partes y ser además la suma de ellas es mantener una naturaleza holográfica.

Dios como fotón

En la reflexión XXIIª encontramos la diferenciación del tiempo eterno divino y el tiempo vulgar de los hombres:
Tú eres quien propia y simplemente eres, porque ni tienes pasado ni futuro sino sólo presente, y no puedes ser pensado en ningún momento como no existiendo.
No podemos concebir la No-existencia del fotón, ya que, en tanto que energía pura, no desaparece. En el Sistema en reposo del fotón (lo cual es en sí mismo un caso límite de la Relatividad igual que Dios es un caso límite de la lógica) no hay pasado ni futuro, ya que su tiempo propio es nulo. Entre dos sucesos cualesquiera no hay tiempo. Sólo habita su propio presente eternamente para nosotros. ¿Dios = hν?

Nada que ver con el Tao

Esta búsqueda incesante de Dios -a veces súplica desesperada- se opone frontalmente a la filosofía Taoísta, en la que el Tao -también holográfico, eterno, etc...- es aquello hacia lo cual te acercas si no lo buscas y hacia lo cual no debe nada forzarse a ser, pues el forzar te aleja del fluir universal. Mientras los taoístas renegaban de cualquier filosofía para actuar conforme a su filosofía -paradójico-, es chocante ver los enormes esfuerzos que hacían los escolásticos en el otro lado del mundo por sentir a Dios, por entenderlo y por no alejarse del camino recto. ¿No encierra esto una cierta actitud de sumisión morbosa?

Crítica irreverente a la Fundamentación de la metafísica de las costumbres de I. Kant

Creced y multiplicaos, categóricamente hablando...

Mi intención no es hacer una crítica profunda sobre el texto de Kant, más bien se trata de plasmar la impresión inmediata de alguien que no es experto en filosofía y que intenta leer el texto como quien lee una novela cualquiera una tarde de domingo, sin pretensiones de llegar a entenderlo pero también con la valentía que da la ingenuidad, la ignorancia y el simple sentido común.

El texto va encaminado a convencernos de que debe existir un mandato interno en todos nosotros, a modo de ley moral, más allá de la cultura, los intereses concretos de cada uno o la situación personal, que nos llevaría a actuar de un modo bueno. "Bueno" aquí significa conforme al mandato moral, que él denomina Imperativo Categórico.

Toda su demostración filosófica se basa en lo siguiente:
El hombre tiene dos naturalezas: el hombre en tanto que miembro del mundo sensible, con sus intereses, sus apetitos, deseos, habilidades, etc… y el hombre en tanto que miembro del mundo inteligible, el de la Razón.
Para Kant, la Razón es un fin en sí misma, y por ello, debe ser libre, ya que no está supeditada a nada. Esa libertad es la que le da el Imperativo Categórico. La libertad es una propiedad de la voluntad, que es un atributo de los seres racionales. Así, cumplir el deber del imperativo no es una obligación, es más bien el ejercicio de la libertad propia de la Razón. Sólo actuando moralmente, siguiendo el Imperativo Categórico, somos realmente libres.
¿Y cuál es el Imperativo Categórico? Realmente sólo puede darse su forma, no su contenido, puesto que no puede tener ninguna finalidad concreta.

Su forma es: “Actúa según máximas que puedan tenerse como leyes Universales”
Dicho de otro modo, en lenguaje de la calle: “No desees para tu vecino lo que no quieras para ti”.
Mi abuela, que nunca leyó a Kant, siempre utilizaba ese dicho. He aquí una prueba de la enorme influencia que debió tener la obra del ilustre filósofo. Aunque, tal vez, fue al revés. ¿Qué fue antes?, ¿el dicho popular o el texto de Kant?

1ª Impresión

Kant era un genio de la lógica.

2ª Impresión

Sus razonamientos son impecables, salvo por el error de partir de una premisa falsa. Kant concibe la Razón como algo que habita fuera del mundo sensible, cuando todo el mundo sabe que aquello que llamamos Razón no es más que un conjunto de sensaciones (entre ellas, la ilusión del propio yo) que han sido el resultado de un proceso evolutivo de millones de años. La Razón es pues, un producto sensible, al igual que los pulgares oponibles, el menisco o la vesícula biliar. Resultó una buena cosa en algún momento de nuestro pasado genético y ahí se ha quedado, un montón de células especializadas cuya percepción y uso llamamos Razón.
Si todo es parte de un producto sensible o, mejor dicho, sólo hay un mundo, (no dos, como decía Platón) ya no tiene sentido el razonamiento de Kant y la Razón ya no es un fin en sí misma:

La Razón no es un fin en sí misma LUEGO No es libre LUEGO No requerimos de ningún Imperativo Categórico que dé sentido a la libertad de la Razón

Todo se va al garete!

3ª Impresión

Y sin embargo…este Kant quizá no iba muy mal encaminado.
Incluso desde una perspectiva evolucionista podríamos admitir que existe una especie de Mandato programado en los genes: “creced y multiplicaos”, o “el acervo genético debe perdurar” o “Show must go on”, como diría el también filósofo Freddie Mercury. Así, ese mandato que buscaba Kant, parece haberlo encontrado la Biología, pero ya no habita en la Razón individual ni pertenece a un mundo platónico de lo inteligible: ahora se encuentra en forma de estructura matemática en los cromosomas que habitan cada célula de nuestro sensible cuerpo, por decir algo. De este modo, al igual que afirmaba Kant, sólo abstrayéndonos de lo cultural, los intereses particulares y todas esas cosas que nos confunden, podemos encontrar un mandato Universal.

Su forma sería: “Actúa de modo que tu acervo genético tenga la mayor probabilidad de perdurar”

Claro, ahora el problema es que el objeto del mandato ya no sería el propio individuo sino todo el acervo genético al cual pertenece. Así, a pesar de que un individuo tenga inclinaciones suicidas quizá está cumpliendo el Imperativo Categórico Evolucionista:

“Eres débil, estás deprimido, tus genes son una mierda. Mejor no te reproduzcas y que tus genes defectuosos desaparezcan contigo. Hay otros cuerpos que comparten tu mismo acervo genético en los que es más prioritario invertir los recursos”.

Hemos llegado a la ley de la Selva -incluyendo el altruismo animal como estrategia de supervivencia-, ya que ésta sería la única ley realmente moral, si es que existe una moral universal. Mejor dicho, una pseudo-moral, porque no se ubicaría únicamente en el individuo. Además, todas las demás leyes están basadas en intereses particulares, ¿verdad?

Construcción de diagramas de espaciotiempo (III)

¡Los diagramas no son lo que parecen!

Ya hemos dibujado todos los ejes de un diagrama para dos marcos de referencia O, O’. Pero no olvidemos que los ejes de tiempo (o las líneas de mundo) y de espacio (o líneas de simultaneidad) representan situaciones físicas diferentes. No podemos, por ejemplo, usar el teorema de Pitágoras alegremente y aplicarlo a un triángulo rectángulo formado por ejes y líneas de mundo. A pesar de utilizar las ideas de la geometría euclídea en cada marco por separado, hemos advertido ya que los ejes t’-x’ en (m) no eran perpendiculares vistos desde O, pero sí deben serlo para un observador de O’ –por el 1er postulado-. Diremos que t’ es ortogonal a x’, lo que es una generalización del concepto de perpendicularidad para espacios no euclídeos. Pero, entonces, ¿cómo debemos manejar estos diagramas?

Intervalo relativista

Consideremos los sucesos A= “emisión de un rayo de luz en el origen” y B= “llegada posterior del rayo de luz a una localización determinada x, t”. Nos interesa analizar las características de la luz, por tener la misma velocidad para todos los marcos de referencia -2º postulado-, lo que hace que los sucesos A y B sean paradigmáticos en nuestra teoría. Por ello, intentaremos averiguar si hay alguna relación profunda entre las coordenadas x,t de ambos sucesos que podamos generalizar a cualquier otro par de sucesos y entender cómo debemos manejar los diagramas.

¿Qué ecuación relaciona las coordenadas de A con las de B? Apresuradamente podríamos contentarnos con x = t, que nos lleva a x-t = 0, pero pronto advertiríamos que esto no es más que la propia definición que hemos dado de velocidad de la luz, c=1. No obtenemos, pues, ninguna información adicional sobre las relaciones profundas entre coordenadas. Lo que buscamos realmente es la geometría subyacente entre las coordenadas de espacio y de tiempo.

Consideremos, para ello, un rayo de luz propagándose en dos dimensiones x, y. Ahora no estamos ante un diagrama de espaciotiempo. La luz, que parte del origen, alcanzará todos los puntos de un círculo de radio igual al espacio recorrido H en línea recta. Como vemos en la figura (n), podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACB donde H es la hipotenusa y ∆x, ∆y los catetos. Ahora bien, el espacio recorrido es igual a la velocidad c por el tiempo, H = ct donde c=1.

Si nos quedamos sólo con la dimensión x, tendremos:

∆x² - ∆t² = 0

Por el 2º postulado, esta ecuación debe ser aplicable en todos los marcos de referencia, propiedad conocida como covariancia. Para O’ , un marco que se mueve a velocidad constante v también se cumplirá:

∆x’² - ∆t’² = 0

Así, la diferencia entre los cuadrados de los intervalos de tiempo y de espacio entre dos sucesos es igual para todos los marcos de referencia. A esta diferencia la llamaremos "Intervalo ∆s²"

∆s² = ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² = ∆x''² - ∆t''² = ...

Esta sí es una relación matemática entre espacio y tiempo que es válida en todos los sistemas: ∆s² sólo depende de los sucesos A y B, no del observador, al menos si A y B están unidos por un rayo de luz.

¿Es éste un resultado generalizable para cualquier otro par de sucesos A y B? La respuesta es que sí. También observaremos que el intervalo se define:

• ∆s² negativo cuando ∆x < ∆t: para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v menor que c. Estas son las líneas de representan eventos causalmente relacionados como la de color verde de la figura (i). Son las llamadas tipo-tiempo.

• ∆s² positivo para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v > c ya que en ese caso, ∆x > ∆t. Un ejemplo es el propio eje x’ o la línea de color rojo de la figura (i). Son las llamadas tipo-espacio.
• ∆s² = 0 para la luz, como hemos visto más arriba. Son llamadas tipo-luz.

Calibrado de los ejes.

Esto resulta perfecto porque nos va a permitir calibrar los ejes t, t’ (que son líneas tipo-tiempo) y los ejes x , x’ (que son líneas tipo-espacio). Para hallar los puntos unidad, sólo necesitamos aplicar

∆x² - ∆t² = -1 para las primeras y ∆x² - ∆t² = 1 para las segundas.

Estas ecuaciones describen una familia de curvas llamadas hipérbolas que van a cortar los ejes t-x, t’-x’, t’’-x’’... justamente por los puntos tomados como unidad ya que el punto de corte con el eje t’, por ejemplo, es igual a hacer ∆x = 0 , (∆x' = 0) con lo que según la primera ecuación de arriba, -∆t² = -1 => ∆t = ±1. (análogamente, -∆t'² = -1 => ∆t' = ±1). Obtenemos los dos puntos unidad, +1 en la parte positiva de todos los ejes de tiempo y -1 en la negativa. Ver la figura (ñ) donde las hipérbolas se han trazado en color rojo y cortan a los ejes en el punto unidad. También se han representado las hipérbolas ∆s²=±2² que nos dan los puntos ±2. El Sistema O' representado corresponde a una velocidad v=0,5, es decir, la mitad de c. [Esta última figura se ha realizado con el programa Graph 4.3, de licencia pública GNU. ¡Muy sencillo y recomendable! Clicar encima para ampliar]

En el caso ∆s² = 0, la familia de hipérbolas se reduce a las dos líneas de mundo de los rayos de luz que pasan por el origen -dibujadas discontinuas en azul -, ya que ∆x² = ∆t² => x =± t, tal y como esperábamos.

Como confirmación de nuestras sospechas iniciales, observemos el triángulo rectángulo de color verde en (ñ). Vemos que su hipotenusa –que se trata de un segmento del eje x’- es menor a la unidad, luego es menor que el cateto unidad contenido en el eje x. Esto sería imposible si el diagrama representara una geometría euclídea, donde las hipotenusas son siempre mayores que los catetos, como en (n).
Ahora, ya tenemos las herramientas adecuadas para estudiar el maravilloso mundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

(Continuará)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (II)

Postulados relativistas y ejes t’-x’

Vimos cómo en diagramas ct-x los rayos de luz se representan como bisectrices: líneas de mundo a 45º. Además, el eje ct será ahora simplemente t, pues definimos c=1. Representaremos los sucesos del espaciotiempo en distintos sistemas de referencia: el de H. Bogart en reposo, O y el de la atractiva L. Bacall en movimiento -con velocidad constante v- al que llamaremos O’. Las medidas de espacio y de tiempo en O serán x, t y las de O’ serán x’, t’.

Tengamos en mente los postulados relativistas:

1. Principio de Relatividad: No podemos detectar el movimiento absoluto, lo que implica que cualquier sistema de referencia es equivalente para describir las mismas leyes de la física.

2. Invariancia de c: La velocidad de la luz no depende del movimiento del observador.

¿Cómo podemos utilizar estas ideas para construir nuestros diagramas?

Nos interesa que cada punto del diagrama represente un suceso inequívoco del espaciotiempo en cada marco de referencia. Para ello, sería conveniente disponer a la vez de los ejes t-x del marco O y los t’-x’ del marco O’ de modo que la proyección de cada punto en ellos nos dé las diferentes coordenadas medidas en cada marco. Según el 1er. postulado, la misma geometría euclidiana utilizada por Bogart en O puede ser utilizada por Bacall en O’ ya que cualquier sistema puede ser el sistema euclídeo. Entonces, Bogart y Bacall tendrán sus propias líneas de reposo y de simultaneidad paralelas a sus ejes de tiempo y de espacio (ver figuras (f) y (g) del artículo anterior) y en base a ellas podremos proyectar los sucesos para obtener sus coordenadas.

Bien, ¿dónde dibujamos el eje t’?

Eje t’

Este eje no es más que una secuencia de sucesos en reposo para x’=0. Bacall se mantiene en reposo respecto de sí misma en la posición inicial x’=0, pero para Bogart, ella se aleja de él –desgraciadamente- en dirección positiva del eje x con velocidad v=dx/dt. Así pues, el eje t’ ser á la línea de mundo que ya vimos en la figura (b) cuya pendiente es 1/v, y que mantiene un ángulo θ = arctan v con el eje t como puede verse en la figura (j).

Eje x’

Apliquemos el 2º postulado, según el cual Bacall debe observar los rayos de luz con la misma velocidad c que Bogart. Para ello, consideremos la situación inicial en la que Bacall se encuentra en el coche parada conversando con Bogart a través de la ventanilla.

Bacall se encuentran en el centro del coche cuando emite dos rayos de luz mediante dos linternas, uno hacia la parte trasera de la carrocería T y el otro hacia la delantera D. Esos rayos de luz serán representados por Bogart y Bacall mediante líneas de mundo a 45º, (diagrama (k), líneas azules intermitentes). Así, los sucesos A=“la luz llega a T” y B=“la luz llega a D” serán los dos puntos de corte de las líneas de mundo de la luz con las de T y D. Los sucesos A y B son simultáneos para Bogart y para Bacall, que comparten el mismo marco de referencia O. Obsérvese que la línea de puntos negros de (k) es una línea de simultaneidad de las de la figura (f).

Repitamos el experimento con el coche de Bacall en marcha. Tenemos ahora dos marcos: O para Bogart y O’ para Bacall. Observemos las líneas de mundo de T, D y de la propia Bacall inclinadas hacia la derechaen la figura (l). Para todos los sistemas de referencia la luz viaja a velocidad c, por el 2º postulado, así que representamos las líneas de mundo de la luz a 45º. Bacall -que se encuentra en reposo respecto del coche- verá llegar ambos rayos simultáneamente a T y a D en un determinado instante t’. Esos dos sucesos, llamados A’ y B’ definirán para ella una línea de simultaneidad t’ = constante. Para Bogart, en cambio, el rayo de luz llegará antes a T que a D, ya que T se acerca a la luz y D se aleja de ella una vez que fue emitida. Esto es coherente para Bogart ya que la línea que une los puntos A’ y B’ no es paralela al eje x de su marco de referencia, luego nunca podrá unir sucesos simultáneos para O.
Sólo nos queda trasladar paralelamente la línea de puntos negros que une A’ y B’ en (l) –que es una línea de simultaneidad para O’- hasta el origen de coordenadas t’=0 y obtendremos el eje x’. Ver figura (m). Parece lógico, por el 1er. postulado, aceptar que el ángulo entre los ejes x, x' debe ser igual a θ, de modo que pueda mantenerse el hecho de que las líneas de mundo de la luz partiendo del origen sigan siendo bisectrices en cualquier sistema de referencia. Visto de otro modo, el 2º postulado mantiene su vigencia si c es invariante siendo dt'=dx' en O' y dt=dx en O para las lineas de mundo de la luz.

Observemos también cómo la adimensionalidad de v nos permite definir los ejes t’ y x’ como x=vt y t=vx respectivamente sin ningún problema de inconsistencia.

Sobre la simultaneidad

Es interesante reflexionar lo siguiente: Los sucesos A’ y B’ que son simultáneos en un sistema O’ no lo son en O. Hemos llegado a esto gráficamente manejando la idea de que la velocidad de la luz es un invariante (líneas de mundo como bisectrices de t-x) y la idea de la no existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por supuesto, hemos podido congeniar ambas ideas eliminando el prejuicio clásico de que el tiempo es absoluto para todos los sistemas de referencia, lo que nos ha permitido buscar inicialmente un nuevo eje t’ para O’.
Así pues, los postulados relativistas cobran sentido si aceptamos que la simultaneidad entre dos sucesos no es absoluta (no es independiente del observador).

Ya sabemos dibujar ejes t-x y t'-x' conociendo únicamente v!
(Continuará)