sábado, noviembre 19, 2011

Construcción de diagramas de espaciotiempo (y V)

La paradoja de los gemelos

Lauren y Bacall, dos gemelas agraciadas por un físico y una inteligencia envidiables, han construido una nave espacial capaz de alcanzar velocidades cercanas a la luz. Lauren, la gemela más aventurera, toma la nave y se aleja de la Tierra a gran velocidad hasta un planeta extrasolar. Inmediatamente después, emprende el viaje de regreso en dirección contraria, reuniéndose con su hermana Bacall tras un tiempo total  T medido en la Tierra. No obstante, como sabemos, la viajera habrá contabilizado en su reloj de a bordo un tiempo de viaje total diferente T/γ, menor que T, debido al fenómeno de la dilatación del tiempo;  por lo que Lauren habrá envejecido menos que Bacall. Desde el punto de vista de Lauren, por el segundo postulado de la relatividad que indica que no hay ningún sistema de referencia privilegiado, sería igualmente lícito considerar que ella se ha mantenido inmóvil durante un tiempo T' y que fueron la Tierra, Bacall, y todo el Universo los que se alejaron para luego volver a acercarse, por lo que es la gemela de la Tierra la que habrá anotado un tiempo total T'/γ inferior al suyo. Así, las dos consideran que debe ser la otra la más joven. Sin embargo, esto no es posible. ¿Cómo solucionar la paradoja?
  
DIAGRAMAS

Viaje de ida

En primer lugar, construyamos el diagrama espaciotiempo correspondiente a la primera parte del viaje (Fig. T), considerando O como el sistema de referencia de Bacall, inmóvil en la Tierra (ejes t-x) y O' el de Lauren (ejes t'-x') que viaja con una velocidad próxima a c alejándose de la Tierra dirección a G. Como vimos en la última entrega de este apasionante curso (repasar la Figura P), el segmento AB que correspondería al tiempo medido por la viajera mirando dos veces su mismo reloj es igual a AD/γ  y lo llamamos "tiempo propio" τ. Hasta aquí, nada nuevo: τ es menor que AD=T/2, el tiempo transcurrido en la Tierra. Lauren ha llegado al planeta situado en G, alejado una distancia AG de la Tierra, que correspondería a una "longitud propia", aunque para ella el espacio recorrido tan sólo ha sido AH=AG/γ, debido a la contracción de longitudes.
Percatémonos de que, para Lauren, el último instante de tiempo que, según ella, ocurre para su hermana Bacall es C y no D, ya que C comparte con B una misma línea de simultaneidad, paralela al eje x'. También aquí se cumple la dilatación del tiempo, ya que AC=AB/γ.  Por lo que, si llamamos t al tiempo AC -el que parece haber vivido Bacall según Lauren-, tenemos que t=(T/2)/γ2. 

Viaje total

La Figura U muestra el viaje completo hasta el suceso F, en el cual las gemelas se reúnen en la Tierra. El punto B marca el cambio de sentido en la nave de Lauren, por lo que debemos usar un nuevo sistema de referencia O'' (ejes t''-x'') en el que Lauren se mantiene inmóvil, volviendo a medir un tiempo τ en el viaje de vuelta. Pero B lo cambia todo, es el nexo de O' y O'', y este hecho hace que concurran en él dos líneas no paralelas de simultaneidad representadas por los segmentos CB y BE, que son paralelos a los ejes x' y x'', respectivamente.

Todos los sucesos contenidos en estos segmentos son igualmente simultáneos para Lauren en el momento de pasar de O' a O''. Así, B, C y E ocurren en el mismo instante de tiempo, de modo que cuando Lauren regrese con Bacall esperará encontrar a su hermana envejecida tan sólo una cantidad AC+EF=2t=T/γ2 ya que la zona de sucesos delimitada por el triángulo sombreado CBE se hizo invisible para ella. Aquí se encuentra la asimetría entre los sistemas O y el formado por la sucesión O'+O'', por lo que no es posible comparar los resultados de ambas hermanas en un modo "relativo". La cuestión es que O'+O'' no es un buen marco de referencia en donde aplicar  la relatividad especial porque no forma un sistema de referencia inercial, tal y como requiere la teoría.
Cuando B rompe la simetría, Bacall se encuentra en D (es decir, D y B son simultáneos para Bacall) y proseguirá en su línea de mundo (eje t) envejeciendo un tiempo total AF=T. Ella esperará -acertadamente- que Lauren haya medido sólo un tiempo 2τ=T/γ en su reloj de a bordo, según sus cálculos relativistas, y que sea más joven que ella, aunque de similar belleza.

Resumen

En resumen, Bacall mide un tiempo T y calcula que Lauren medirá 2τ=T/γ. Lauren mide 2τ=T/γ y calcula que Bacall medirá un tiempo 2t=T/γ2. Pero el cálculo de Lauren no es válido, ya que no está considerando los sucesos sobre el segmento CE. La viajera cambia de marco de referencia en B, mientras que su hermana mantiene el mismo marco a lo largo de la línea de mundo AF.
Además, como T=2t+CE y utilizando la definición de γ, podemos hallar la cantidad de tiempo invisible para Lauren, CE=Tv2. Si imaginamos que v=c=1, tendríamos el lado izquierdo del triángulo ocupando todo el tiempo AF. Lauren no compartiría ningún suceso simultáneo con Bacall y creería que ésta no ha envejecido en absoluto y que el tiempo a su alrededor se ha congelado.

Forzando el diagrama: O' en reposo, O en movimiento

Análogamente a lo estudiado en la Figura S, forzemos ahora el diagrama, manteniendo los ejes del sistema O' inclinados respecto de los de O, pero considerándolo en reposo. Para O utilizaremos dos marcos: O1 y O2 (Figura V). Ahora, la línea de mundo de Lauren es t' y el tiempo total de viaje será AF=T medido en su reloj de a bordo. Son su hermana y el resto del Universo los que se alejan de la nave (hacia la izquierda) desde A hasta G en un tiempo AD=T/2, aunque Bacall habrá medido τ=(T/2)/γ (segmento AB) en su línea de mundo coincidente con el eje t1. Obsérvese que la línea que contiene el segmento BG es paralela al eje t', luego es una línea de reposo para el sistema O'. Una vez en G, Bacall y el resto del Universo se desplazan hacia A en el nuevo sistema de referencia de ejes t2-x2 que mantienen entre sí el mismo ángulo que los de O1: 90 grados. Ahora, según el reloj de Bacall, se requiere de nuevo un tiempo BF=τ en cubrir la distancia GA.

Para Bacall, en G, el instante B era simultáneo con el instante C de Lauren, inmóvil en su nave. Bacall creerá que su hermana ha vivido hasta entonces un tiempo AC=τ/γ=(T/2)/γ2 durante la mitad de su viaje. Pero, además, debido al cambio de marcos de O1 a O2, B también fue simultáneo con E ya que comparten una línea de simultaneidad: el propio eje x2. Contrariamente al caso anterior, ahora los sucesos contenidos en el triángulo sombreado EBC no sólo no son invisibles sino que serán medidos 2 veces por Bacall. Concretamente habrá un segmento EC repetido para Bacall, (EC)' que dependerá de su velocidad. Para ella, el tiempo total de viaje que debe vivir su hermana en la nave vuelve a  ser -como antes- de AE+EC+(EC)'+CF=T/γ2 ya que debe ser igual al doble de AC y es menor al tiempo real medido por Lauren AE+EC+CF=T, ¡aunque parezca mayor a primera vista!. Y es que, ahora, (EC)'= -Tv2. De nuevo, tenemos una asimetría debido al punto crítico B, esta vez con medidas de sucesos repetidos. El marco O1+O2 no nos sirve para medir tiempos y longitudes totales respecto de O' utilizando la relatividad especial, ya que no conforma un sistema de referencia inercial. Igual que antes, si consideráramos v=c=1, Bacall creería que su hermana ha envejecido un tiempo AE+EC+(EC)'+CF=T-T=0, es decir, el tiempo a su alrededor se congela. En el caso extremo en que no haya viaje y v=0, (EC)'=0 y no hay sucesos medidos repetidos por lo que ambas, en reposo relativo, miden T por igual.


Hasta aquí el Curso de Relatividad especial basado en los diagramas de espaciotiempo (o de Minkowski) tras haber comentado los conceptos más importantes. Si alguien desea tratar algún problema concreto y está en mi mano, se aceptan propuestas.

1 comentario:

Ramiro dijo...

It is actually a great and useful piece of information. Thanks for sharing!!

Greetings from Pamplona

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