jueves, abril 05, 2007

Principio de Equivalencia antes de la Relatividad General

¿Caen todos los cuerpos del mismo modo?

Cuando G.Galilei escribió su libro “Sobre el movimiento naturalmente acelerado”, aun sin tener claro el concepto de aceleración que hoy utilizamos, ya estaba manejando una genial intuición.
La de que todos los cuerpos (graves) caen del mismo modo. Esto se traduce en su frase: los espacios recorridos en la caída [desde el reposo] son como los cuadrados de los tiempos.




Nosotros diríamos que



siendo a la aceleración de la gravedad, unos 9,8 m/s², igual para todos los cuerpos.
Entonces, ¿la caída de un cuerpo no depende de su peso (nosotros diríamos, masa)? ¿No cae más rapido un cuerpo doblemente más pesado que otro? Es decir, observando nuestra fórmula, a es siempre la misma en un punto del espacio?
Veamos por un momento el legendario –por improbable- experimento de dejar caer dos cuerpos desde la torre de Pisa.
Consideremos dos cuerpos de masas m y m’= 2m dejados caer desde igual altura.
Durante su caída lo que va a ocurrir puede explicarse como si existiera una Fuerza de Gravitación (no olvidemos que son graves) que les atrae en dirección al centro de la Tierra (en la práctica cotidiana, hacia el suelo en línea recta). Esta fuerza puede describirse como



Donde M y m son las masa de la Tierra y del grave, r la distancia y G una constante de proporcionalidad.

Ahora bien, toda fuerza aplicada sobre un cuerpo, sea la de Gravitación, eléctrica o de cualquier otro tipo, implica la aparición de una aceleración. Esta aceleración se ve contrarestada por la masa del cuerpo. De modo que, a igual Fuerza aplicada, cuanto mayor sea la masa, menor será la aceleración resultante, ya que su producto debe ser el mismo. Esta es la 2ª Ley de Newton.






Así, podemos entender la masa, como una medida de la resistencia del cuerpo a ser acelerado.

Tras estas consideraciones, veámos cuál es la aceleración que se imprimirá en nuestros dos graves, dejados caer. En este caso, podemos igualar ambas fórmulas, ya que la única fuerza que actúa es la de Gravitación y debe cumplir también la 2ª Ley de Newton.
Así que, vemos que:




Las aceleraciones son iguales. Como el tiempo que tardarán en caer depende de la velocidad y ésta de la aceleración, ambos cuerpos caerán a la vez, independientemente de su masa. Ahora bien, lo que ocurre en la caída de los cuerpos no puede describirse sólo como si se vieran acelerados por una Fuerza Gravitatoria y desacelerados por una 2ª Ley de Newton. La caída acontece en un medio fluído, la atmósfera, que ofrece una resistencia adicional al paso del cuerpo. Esto se ve traducido en una fuerza en sentido contrario de la dirección de caída y que depende de la velocidad de caída, de la forma del cuerpo y de la densidad del aire. En ausencia de atmósfera, por tanto, todos los cuerpos caerían a la vez.

Observemos ahora las fórmulas (1) y (2). No hemos dudado en sustituir una en otra porque estábamos convencidos de que la Fuerza era la misma en ambas. Ahora bien, hemos procedido también de un modo totalmente gratuito pensando que ambas masas, la m de la fórmula (1) y la m de la fórmula (2) se refieren a la misma magnitud física. ¿Debería de serlo, a priori? El actuar así nos ha permitido obtener el resultado final, ya que hemos eliminado las masas de numerador y denominador como si fueran la misma. (De hecho, en nuestro ejemplo hemos simplificado el factor 2 arriba y abajo. Poder hacerlo implica que las masas m de arriba y abajo son la misma)

En verdad, podríamos llamar a la masa de (1) como gravitacional, ya que tiene que ver con la Fuerza de Gravitación, y a la masa de (2) como inercial, ya que actúa como una resistencia a acelerarse, es decir, se resiste a dejar su estado de inercia inicial.
Si admitimos nuestro resultado dando por buenas nuestra ley de caída de graves y nuestras leyes de inercia y Gravitatoria, llegaremos a la conclusión de que, si podemos actuar así, es porque

Masa gravitacional = Masa inercial

Lo que más tarde, A. Einstein describiría como la intuición más maravillosa de mi vida, consistió en la visión de extrapolar este resultado al ámbito de los sistemas de referencia en su teoría de la Relatividad, entre otras consideraciones.

La igualdad entre ambas masas podía hacer pensar que no hay manera de diferenciar -localmente- un sistema en un campo gravitatorio de otro que esté acelerado en dirección opuesta, sea cual sea la causa de la aceleración. Hay por tanto una equivalencia entre esos sistemas. Esta intuición dotaría de sentido la anterior igualdad entre masas, de modo que podríamos concebir una teoría que incorporase esta nueva relatividad entre sistemas de referencia. Será la Teoría de la Relatividad General, en la cual el espaciotiempo plano Minkowskyano de la Relatividad Especial se ve curvado como consecuencia de los campos gravitatorios. La gravedad (antes, la tendencia de los graves a caer) no requiere ya ser descrita como una fuerza a distancia sino como una deformación de la geometría del espaciotiempo. Y ahora, es la caída libre la que define al sistema inercial, libre de fuerzas y con el campo gravitatorio anulado. Así que, como la equivalencia es local, podemos aproximar el espaciotiempo curvado por el espaciotiempo plano de minkowsky, de igual forma a como podemos colocar un plano sobre el punto de una esfera y aproximar la descripción de los alrededores de ese punto a un mapa o carta local plana...

10 comentarios:

Ivan dijo...

Una pluma de gallina tardará lo mismo en caer al suelo que una pluma (com la misma forma aerodinámica) de hierro?

Ender el Xenocida dijo...

Sí. Exactamente, Iván. Aunque parezca contrario a la intuición.

Imagina el siguiente experimento mental. Supongamos que cae más rápido el más pesado y la aceleración depende de la masa. Dejamos caer una bola de hierro y una bola igual de un material la mitad de pesado. La más liviana cae más lenta. Ahora, busquemos una bola 4 veces más liviana que la de hierro: caerá mucho más lentamente.
Si seguimos así, podríamos encontrar un material tan liviano, cuya bola prácticamente no cayera nunca, o lo hiciera tan lentamente que pareciera levitar... ¿No es esto también contrario a la intuición?

Saludos.

Ivan dijo...

Tu ejemplo me recuerda a las paradojas de Zenón, no creo que sea válido.

Edmundo V dijo...

Muy didáctico.

Por cierto Galileo dio con estas intuiciones después de ser condenado y retractarse... no deja de ser curioso...

Ivan, explica eso de Zenon...

Ender el Xenocida dijo...

Bueno, si no te gusta, puedes reflexionar sobre otros dilemas.
Si la aceleración no fuera constante podrían pasar varias cosas:

Que creciera proporcionalmente con la masa
Con lo cual, podemos imaginar un cuerpo tan pesado, que alcanzara (en el vacío) una velocidad enorme. Por ejemplo, mayor que la de la luz.
Que creciera exponencialmente con la masa
Peor todavía.
Que el crecimiento con la masa fuera acotado
En este caso, los cuerpos que tuvieran una masa mayor a un valor determinado, caerían igual, y los de menor valor caerían de un modo proporcional a la masa.

En fin, habría más posibilidades. Pero, como ves, lo que en apariencia parece lógico deja de serlo cuando se lleva al terreno de la reflexión...

Saludos!

Ivan dijo...

"Si seguimos así, podríamos encontrar un material tan liviano, cuya bola prácticamente no cayera nunca, o lo hiciera tan lentamente que pareciera levitar..."

De hecho, el aire está formado por materia, y no cae ;)

Ender el Xenocida dijo...

No sólo cae sino que ejerce sobre ti una presión considerable: la presión atmosférica, debida a su peso.
El aire sí cae, está cayendo continuamente, como la Luna o los satélites estacionales, pero es más o menos incompresible, es decir, la propia repulsión entre sus moléculas hace que no colapse en sí mismo y que se distribuya de un modo estratificado sobre la Tierra. Los gases menos pesados están arriba, porque los pesados ya han caído más abajo y ocupan un lugar que no pueden ocupar otros.
Debes pensar en la atmósfera como un fluído complejo.
Estarás de acuerdo en que el agua cae por su peso, pero una vez llega al suelo o a un recipiente no se aplasta a sí misma.

Anónimo dijo...

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