¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (II. Integración)

La Integral y el Teorema fundamental del cálculo

Hemos visto cómo hallando las pendientes de las tangentes de x(t) -ayudados por el concepto de límite- conseguimos obtener la fórmula de la velocidad v(t). A este método lo denominamos Derivación y a v(t) "la derivada de x(t)" (figura 3 del post anterior). Pero, ¿cuál es el paso inverso a la Derivación?, ¿cómo pasaríamos de la curva inferior v(t) a la superior x(t) en la figura 3?, ¿sabríamos reconstruir la posición a partir de la velocidad?

A este método inverso lo llamaremos "encontrar la Primitiva de v(t)".(Parece un buen nombre, ya que v(t) debe haberse generado originalmente a partir de x(t))

Tenemos las tangentes, pero no sabemos dónde colocarlas.

Probemos a reconstruir x(t) uniendo todas las tangentes una vez trasladadas desde v(t). Sabemos que las longitudes de los segmentos rojos de v(t) -como el segmento v(a)- son justamente el valor de la pendiente de la tangente de una función x(t) cuando t=a. Para empezar, tomemos ese segmento y llevémoslo a la parte superior de la gráfica en la Figura 4. La inclinación será igual a la longitud del segmento, así que ya sabemos cómo inclinarlo... aunque no dónde ponerlo. Bueno, lo pondremos a la altura que queramos. Al fin y al cabo, ya vimos que infinitos corredores saliendo de diversas posiciones pueden describirse con la misma curva v(t) si corren de la misma forma. Al poner el segmento a una altura determinada estaremos fijando esa constante C de la que hablábamos en el post anterior. Ya tenemos x(a).
Ahora, procedamos igual con el segmento v(b) cuya longitud es menor, luego la pendiente o inclinación de la tangente en b de la curva primitiva será menor. Lo llevamos arriba con la inclinación correcta pero... ¡maldición! ¿Y ahora a qué altura lo debemos colocar respecto de x(a)? Necesitaríamos conocer la distancia vertical al punto conocido, es decir, la cantidad x(b) - x(a). Al tener C fijada, este paso no puede ser arbitrario. ¡Y sin ese dato no podremos reconstruir la curva primitiva x(t) que estamos buscando!

La integral: una suma muy especial.

Cabilemos un poco. Hemos tomado dos segmentos muy separados. Cuanto más juntos los tomemos, más iguales en altura los deberemos situar al trasladarlos arriba. Intuitivamente vemos que un ligero cambio en la curva primitiva x(t) en un pequeño intervalo de tiempo t debe corresponderse con un ligero cambio similar en v(t). Así, dos segmentos de v(t) muy juntos traladados deberían colocarse prácticamente a igual altura uno de otro en la construcción de x(t).
Por tanto, la información de cómo deben situarse las tangentes arriba -sus alturas relativas- debe estar de algún modo contenida en todos los segmentos de abajo muy muy próximos entre un intervalo dado. No podemos dejarnos ni un sólo segmento y deben trasladarse todos en bloque. Pero eso de muy muy próximos, en el límite, querrá decir "separados un intervalo infinitesimal dt", como definimos en el tema de la Derivación. Si están separados dt, conformarán una serie de rectángulos estrechísimos de base dt y altura (*) más o menos v(t), cuyas áreas sumadas nos darán el área total bajo la curva v(t) en ese intervalo. Al fin y al cabo, podemos concebir un área como una suma de líneas verticales muy pegadas, tal y como muchas hileras estrechamente enebradas conforman la superficie de un tapete.
Es a esta área total bajo la curva en un intervalo dado a lo que llamamos Integral. La Integral es una suma especial, de infinitas porciones infinitésimas. Por ello, tomamos la S de Suma y la estiramos por arriba y por abajo para hacer constar que es una suma muy muy larga: la S se convierte entonces en ese símbolo ∫ tan amado y odiado por muchos.
Pero, ¿qué información nos da la integral? Según nuestro razonamiento, debería decirnos dónde colocar los segmentos arriba, es decir, a qué alturas relativas deben estar todos para poder reconstruir nuestra primitiva x(t). Si abajo sumamos rectángulos infinitesimales entre a y b, arriba obtendremos la altura relativa entre x(b) y el x(a), porque eso es justamente la curva x(t): una diferencia de valores en un intervalo dado. De modo que, tomando intervalos [a,b] tan estrechos como queramos abajo, sabremos con exactitud cómo ir colocando todos los segmentos en la zona de x(t). Ver la figura 5.
Este es el llamado Teorema Fundamental del Cálculo, cuyo pomposo nombre es bien merecido, al menos por la increíble síntesis de conceptos que supone.

Abracadabra.

Veamos ahora porqué los seguidores de Leibniz describían su cálculo diferencial como cosa de magia. Otro modo de obtener este último resultado es aplicar que v(t)=dx/dt y cancelar los dt de numerador y denominador dentro de la integral. De este modo nos quedará el resultado metafísico de "suma de infinitésimas equis en el intervalo [a,b]", dibujado entre llaves rojas en la figura 6. Podemos interpretar esto como una suma infinita de valores de equis tan próximos entre sí como queramos; y si sumamos puntos entre un intervalo dado lo que obtenemos es la longitud del propio intervalo, es decir, la diferencia de valores entre sus extremos: x(b) - x(a). ¡Tachán!



Un ejemplo del Teorema.

¿Cómo?, ¿aún no estáis sorprendidos? Entonces no me he explicado bien.
Veamos un ejemplo de la potencia de cálculo que todo esto supone: tomemos la curva de la velocidad del post anterior v(t)=2πt que habíamos obtenido derivando x(t). Pero cambiemos ahora la variable t por r. Ahora sí que nos resulta más familiar. Justamente, v(r)=2πr es la longitud de una circunferencia de radio r. Imaginemos que queremos conocer el área contenida dentro de una circunferencia de radio R. Es decir, queremos hallar la fórmula para el área de un círculo. Para ello, integramos v(r) en el intervalo de r=0 hasta r=R, y estaremos sumando infinitésimos rectángulos circulares de longitud circular 2πr y grueso dr. (Ver figura 7).
Bien, ¿cuánto vale esa integral ∫ v(r) dr de 0 a R?. Ni idea. Tal vez sea un cálculo muy complicado. Pero lo que sí sabemos es que la curva v(r) tiene como primitiva x(r)=πr² porque, dada la facilidad de hallar pendientes a una curva (mediante el concepto de límite), habíamos calculado anteriormente que 2πr era la Derivada de πr².
Así, que, por el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫ v(r) dr = x(R) - x(0) = πR²

Ya tenemos el área del círculo!

Fijaos que no ha sido necesario tratar con series infinitas ni hacer interminables cálculos geométricos al estilo de los antiguos griegos... Acabamos de obtener una superficie basándonos sólo en el conocimiento de que la Derivada de πr² es 2πr.

Como hemos visto, el T. F. del Cálculo relaciona la Derivación (hallar pendientes de tangentes) con la Integración (sumar infinitas áreas infinitésimas). Y esto, de repente, se traduce en diferenciales que se cancelan por aquí y por allá y en tener bien a mano una serie de resultados de Derivación -más fáciles de calcular- para obtener primitivas de cualquier función. Bueno, pero no todo es tan bonito como parece, ya que podemos encontrar funciones que no puedan ser integradas por este método o toparnos al derivar con límites que no existan pero... ese ya es otro tema.
Por el momento, disfrutemos del éxito obtenido porque ésta es posiblemente la herramienta utilizada en el 99% de los problemas habituales de la ciencia moderna. Próximamente, veremos algunas disquisiciones más sobre ello. :-)

(Continuará)

(*): Esto de más o menos se hace evidente observando los rectángulos rojos de la figura 5. De hecho, al dividir en porciones cada vez más pequeñas la suma de todos se aproxima cada vez más al área total. Ésta es la llamada integral de Riemann. Sólo al final, la altura de cada rectángulo es realmente v(t). Que me perdonen los matemáticos... :-) Para ver el proceso con más rigor, véase por ejemplo esto.