Solución nº7: Sombras y proporcionalidad

Transcribo:
"Tras medir la distancia al semáforo en UNIDADES DE LONGITUD DE BAROMETROS me entraron unos sudores tremendos. Mi suegra, dice que es que estoy acostumbrado a no pegar ni un palo al agua y un amigo, Pablo, dice que es del subidón que me dio al ver a la peluquera del piso de arriba. Yo creo que fue Juan Luis con lo del BAR o METRO.... pues que va ser al BAR. En definitiva, me fui al bar de enfrente a tomar unas cañas. Allí me encontré con Shin-Chan y no os cuento más... Se pasaron las horas y cuando acabé no sabía por dónde salir. Ya en la calle se me cayo el barómetro al suelo. !Me cago en to! Al ir a recogerlo me di cuenta que se había quedado de canto y que la sombra que proyectaba era igual a la longitud del barómetro. EUREKA!!!! Medí la sombra que proyectaba el edifico en el suelo con la cuerda que antes habia utilizado Francesc para pendulear o pendonear. OHHH LA LA!!! tenía la altura del edifico sin la ayuda de Spiderman. (Cualquier parecido de los personajes con la vida real es real). El Raúl."

La cosa se pone emocionante. ¿Fue a causa del estado de embriaguez o de la casualidad? Porque, si la sombra era igual a la altura, el Sol estaba a 45° respecto del suelo!

[Demostración: Si los catetos c de un triángulo rectángulo son iguales, por el Teorema de Pitágoras, h² = 2c², donde h es la hipotenusa. Así, el coseno de cualquiera de sus ángulos no rectos es cos (a) = c/h = 1/raíz(2). Esto sólo se cumple si a = 45° ]

Bien, en nuestra latitud L = 41° N, que el Sol esté a 45° no sucede todos los días.
En los equinoccios, la altura máxima H (en grados) del Sol respecto del suelo es
H = 90° -L = 49°
En el Solsticio de invierno, sólo llega hasta H = 90°-L -d = 26°
y en el de verano, hasta H = 90° -L +d = 72°
donde d es la desviación del eje de rotación respecto a la perpendicular del plano de la eclíptica, aprox. igual a 23° 27'. (También llamada Oblicuidad)




En conclusión, no podría haber sido en Octubre, Noviembre, Diciembre, Enero ni Febrero.
Así, deduzco que probablemente hacía buen tiempo y la chavala del piso de arriba iba ligerita de ropa... ¡Ahora lo entiendo TODO, querido Watson!
Bien, tu solución es válida, pero, ¿cúal es la solución para el caso general utilizando las sombras del barómetro y del edificio?

Muy fácil:
Colocamos el barómetro en posición vertical y medimos su sombra, SB.
Luego, medimos la sombra del edificio, SE.
La relación entre las sombras y las alturas, dado que las medimos casi en el mismo instante (el Sol se encuentra en la misma posición) debe ser la misma. Así que:
E / SE = B / SB
E = (B / SB) SE
donde E y B son las alturas del edificio y del barómetro respectivamente.

Solución nº6: El semáforo y los triángulos rectángulos semejantes...

Transcribo:
"Como no sabía qué edificio era me he ido a verlo. Miré haca arriba y me iluminó Pitágoras. Me puse de manera que un semáforo estuviera entre yo y el edificio y me retiré hasta que la parte de arriba del semáforo coincidiera con la parte de arriba del edificio. La solución de la áltura D del edificio estaba clara por triángulos rectángulos semejantes.
Sabiendo que mi altura es h y que A es la distancia al semáforo, B la altura del semáforo y C la distancia al edificio, y todo ello medido en una unidades de medida nueva: LA LONGITUD DEL BARÓMETRO.

La fórmula final se halla de la siguiente manera:
Cos a = A / y1
además sabemos que (por el Teorema de Pitágoras)
y1= raíz(A²+(B-h)²)
Si sustituimos,
Cos a = A / (raíz(A²+(B-h)²)), de donde,
a = arc cos (A / (raíz(A²+(B-h)²)))
Una vez tenemos el ángulo, repetimos los cálculos para el triángulo semejante. Es decir:
a = arc cos (C / (raíz(C²+(D-h)²)))
Como ya tenemos el ángulo, al sustituir ya tenemos la solución:
arc cos (A / (raíz(A²+(B-h)²)))= arc cos (C / (raíz(C²+(D-h)²)))"
(Enviado por Raúl Mateo)

Cojonudo, Raúl. Veo que te gusta el jamón!
Despejando de tu ecuación final, hallaríamos la altura D del edificio:
A / (raíz(A²+(B-h)²))= C / (raíz(C²+(D-h)²))
A² / (A²+(B-h)²)= C² / (C²+(D-h)²)
(D-h) A = (B-h) C
Finalmente, la altura del edificio es:
D = (C/A) (B-h) + h

el resultado se da en longitudes de barómetro, donde A, B, C y h se han medido utilizando la longitud del barómetro.

NOTA 1: Ya he descubierto cómo hacer el cuadrado (²): Alt + 253 :-)

NOTA 2: Hacia el 400 a.C. (época de Pitágoras), en la obra matemática China "Chou Pei Suan Ching" (周髀算经) , ya se da una demostración del Teorema. Parece que Pitágoras no tuvo acceso a esta obra. Un ejemplo más del eurocentrismo en la ciencia. :-(

Solución nº5: Fuerza bruta

Nos dirigimos al conserge/arquitecto del edificio con el barómetro en posición ofensiva y le gritamos:
"¡Si no me dices cuál es la altura exacta del edificio te abro la cabeza!"

(Yo mismo ;-))

Solución nº4: Medir con una plomada

"Si se dispone de un metro, se cuelga el barómetro de un cordel hasta que llega al suelo, se recoge el cordel y se mide. " (Francesc Casanellas)
A lo que yo anadiría -si me permites, Francesc-: Cuando el barómetro toque el suelo marcamos la cuerda. Tras medirla, deberemos sumarle la longitud del barómetro...

Solución nº3: Usar un péndulo

Transcribo: "El sistema seguramente más preciso sería colgar el barómetro de un hilo y usarlo como péndulo. El período se puede medir con mucha precisión, por ejemplo contando 100 pulsaciones. Entonces se aplica la conocida ecuación del péndulo para deducir la longitud del hilo: l = g.(T/(2·pi))²"
(Francesc Casanellas, donde T es el período y g la aceleración 9,8 m/s²)



Efectivamente, deberíamos colgar el barómetro de un hilo de longitud igual a la altura del edificio, desde la azotea del mismo hasta el suelo, elevarlo un poco y hacerlo pendular.
Ahora bien, el valor que debemos introducir en g depende de nuestra posición geográfica...

Nota: Esta es una solución gravitatoria que deriva de la 2ª Ley de Newton F = ma y es válida para un Movimiento Armónico Simple. Esto es, para oscilaciones de ángulo pequeño, donde pueda aproximarse que sin(a) = a

Uno de los primeros en estudiar el movimiento del péndulo, su isocronismo (el período no depende de la ampitud de oscilación si es pequeña) y su dependencia con la gravedad, fue Galileo Galilei.

Solución nº2: Tirar el barómetro desde arriba

Cronometrar el tiempo de caída t del barómetro, hasta que se estrella contra el suelo. Usaremos la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que deriva del Cálculo diferencial de Newton y Leibnitz aplicado a los conceptos de aceleración, velocidad y posición. Llamemos y al eje del movimiento. Lo dejamos caer desde arriba (velocidad inicial nula, vo = 0). Nos quedaremos sin barómetro, pero hallamos la altura del edificio según

y = yo + vo t +(½) g t²

Como yo = vo = 0

y = (½) g t²

donde g = 9,8 m/s², la aceleración del campo gravitatorio.
Una caída de 3 s, nos dará una altura de unos 45 m...
(Francesc Casanellas, aunque comenta que es muy impreciso debido a la resistencia del aire)

Solución nº1: Diferencia de presiones

Bien, la añado en primer lugar porque es la más obvia:
Con el barómetro, leemos la presión atmosférica en la azotea del edificio y abajo, en la calle.




La presión atmosférica disminuye con la altitud. Para pequeñas alturas, la variación es aproximadamente lineal...
Por ejemplo, una diferencia de presiones de 100 hPa equivaldrá a una altura de unos 1000 m...

Bases del concurso

"Hallar la altura de un edificio con un barómetro"


Éste es un clásico en la enseñanza de la física. Aunque siempre se explica la historia de que tal o cual físico de renombre, en su adolescencia, dio respuestas inesperadas al problema ante el asombro de sus profesores, en mi opinión no es más que una leyenda urbana...
Bien, espero que os animeis a enviar vuestras soluciones. No importa que sean extravagantes siempre que tengan cierto rigor científico. Deberían ir acompañadas de fórmulas si es que son requeridas para entender mejor vuestro razonamiento. Si no recibo propuestas, yo mismo iré añadiendo soluciones... así me entretengo :-)

Reglas:
Podeis enviar las soluciones como comentarios a este Post. Posteriormente, las que sean válidas las añadiré como nuevos Post haciendo constar al autor de la misma.

Por supuesto, podeis escribir comentarios en cada una de las soluciones, si os parecen erróneas o incompletas...

Premio:
Ah! Se me olvidaba. Al que envíe la mejor solución -según mi criterio, que es totalmente subjetivo y parcial- le regalaré un jamón pata negra. ¿No está mal, eh?

Nota: En la imagen superior, pariente lejano del autor de este blog, meditando sobre la cuestión. En la inferior, una prueba.