sábado, noviembre 11, 2006

Solución nº7: Sombras y proporcionalidad

Transcribo:
"Tras medir la distancia al semáforo en UNIDADES DE LONGITUD DE BAROMETROS me entraron unos sudores tremendos. Mi suegra, dice que es que estoy acostumbrado a no pegar ni un palo al agua y un amigo, Pablo, dice que es del subidón que me dio al ver a la peluquera del piso de arriba. Yo creo que fue Juan Luis con lo del BAR o METRO.... pues que va ser al BAR. En definitiva, me fui al bar de enfrente a tomar unas cañas. Allí me encontré con Shin-Chan y no os cuento más... Se pasaron las horas y cuando acabé no sabía por dónde salir. Ya en la calle se me cayo el barómetro al suelo. !Me cago en to! Al ir a recogerlo me di cuenta que se había quedado de canto y que la sombra que proyectaba era igual a la longitud del barómetro. EUREKA!!!! Medí la sombra que proyectaba el edifico en el suelo con la cuerda que antes habia utilizado Francesc para pendulear o pendonear. OHHH LA LA!!! tenía la altura del edifico sin la ayuda de Spiderman. (Cualquier parecido de los personajes con la vida real es real). El Raúl."

La cosa se pone emocionante. ¿Fue a causa del estado de embriaguez o de la casualidad? Porque, si la sombra era igual a la altura, el Sol estaba a 45° respecto del suelo!

[Demostración: Si los catetos c de un triángulo rectángulo son iguales, por el Teorema de Pitágoras, h² = 2c², donde h es la hipotenusa. Así, el coseno de cualquiera de sus ángulos no rectos es cos (a) = c/h = 1/raíz(2). Esto sólo se cumple si a = 45° ]

Bien, en nuestra latitud L = 41° N, que el Sol esté a 45° no sucede todos los días.
En los equinoccios, la altura máxima H (en grados) del Sol respecto del suelo es
H = 90° -L = 49°
En el Solsticio de invierno, sólo llega hasta H = 90°-L -d = 26°
y en el de verano, hasta H = 90° -L +d = 72°
donde d es la desviación del eje de rotación respecto a la perpendicular del plano de la eclíptica, aprox. igual a 23° 27'. (También llamada Oblicuidad)




En conclusión, no podría haber sido en Octubre, Noviembre, Diciembre, Enero ni Febrero.
Así, deduzco que probablemente hacía buen tiempo y la chavala del piso de arriba iba ligerita de ropa... ¡Ahora lo entiendo TODO, querido Watson!
Bien, tu solución es válida, pero, ¿cúal es la solución para el caso general utilizando las sombras del barómetro y del edificio?

Muy fácil:
Colocamos el barómetro en posición vertical y medimos su sombra, SB.
Luego, medimos la sombra del edificio, SE.
La relación entre las sombras y las alturas, dado que las medimos casi en el mismo instante (el Sol se encuentra en la misma posición) debe ser la misma. Así que:
E / SE = B / SB
E = (B / SB) SE

donde E y B son las alturas del edificio y del barómetro respectivamente.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

BlogMaster era en agosto ¿Me podrías decir que hora del día era? (Para el momento en que la altura del edifico coreesponde con la longitud de la sombra o lo que es lo mismo que ambos catetos son iguales).

Ender el Xenocida dijo...

Buena pregunta.
El 1er método es el siguiente:
Definimos la posición de un punto en una superficie esférica mediante 2 sistemas de referencia: Uno, el sistema de coordenadas horizontales (A, azimut y h, altura) cuyo plano es el Horizonte local y el otro, el sistema de coordenadas ecuatoriales (d, declinación y H, ángulo horario) cuyo plano es el Ecuador Celeste.
Por trigonometría esférica se obtienen las ecuaciones de transformación de uno a otro sistema de referencia. La fórmula que nos interesa es:

sin h = sin d sin L + cos d cos A cos L
A = arccos ((sin h - (sin d sin L))/(cos d cos L))

donde L es la Latitud del lugar y d la declinación del Sol pongamos el 15 de Agosto, (aprox. 14º)que podemos considerar constante durante todo un día.
Sustituyendo por L=41º, h=45º, d=14º obtenemos que
A = 41º
A = 0º en el Mediodía Solar, cuando el Sol está en el Sur. Esto quiere decir que a 41º del Sur (tanto hacia el E como hacia el W), es donde hallaríamos el Sol para que h = 45º y d = 14º en una Latitud de 41º.
Bien, como cada 15º de la circunferencia del plano Horizonte equivale a 1 hora de movimiento solar (360º son 24 Horas) tenemos que 41º son 2,7 Horas Solares de diferencia con el Mediodía Solar.
Tenemos pues dos momentos del día que cumplen las condiciones:
H1 = 12 + 2,7 = 14,7 (Hora Solar)
H2 = 12 - 2,7 = 9,3 (Hora Solar)

Ahora bien, la Hora Solar difiere de la Hora Civil (la que nos marca el reloj) debido a 3 factores: la elipticidad de la órbita terrestre, (provoca que la velocidad del movimiento aparente del Sol no sea igual todo el año), la diferencia horaria con el meridiano de referencia (en nuestro caso, el de Greenwitch) y el incremento que añadimos según sea horario de verano o invierno (+2h en verano, en España).
Para el 15 de Agosto, a L=41º, la diferencia entre H.Solar y H.Civil es de unos (5 - 8 + 120) minutos = 117 minutos que son 1,95 horas.
Finalmente:
H1' = 14,7 + 1,95 = 16,65 = 16h 39m
H2' = 9,3 + 1,95 = 11,25 = 11h 15m

Buff, parece coherente.
El 2º método, más rápido, para hallar todo esto, es utilizar cualquier software de cálculo astronómico e introducir todos los datos. Los resultados que he obtenido difieren en unos 5 minutos...:-)
CONCLUSIÓN: No puedo decirte a qué hora del día ocurrió tu reveladora experiencia. Pudo ser por la mañana a las 11 y cuarto o por la tarde a las 5 menos veinte...

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