jueves, marzo 27, 2008

Construcción de diagramas de espaciotiempo (III)

¡Los diagramas no son lo que parecen!

Ya hemos dibujado todos los ejes de un diagrama para dos marcos de referencia O, O’. Pero no olvidemos que los ejes de tiempo (o las líneas de mundo) y de espacio (o líneas de simultaneidad) representan situaciones físicas diferentes. No podemos, por ejemplo, usar el teorema de Pitágoras alegremente y aplicarlo a un triángulo rectángulo formado por ejes y líneas de mundo. A pesar de utilizar las ideas de la geometría euclídea en cada marco por separado, hemos advertido ya que los ejes t’-x’ en (m) no eran perpendiculares vistos desde O, pero sí deben serlo para un observador de O’ –por el 1er postulado-. Diremos que t’ es ortogonal a x’, lo que es una generalización del concepto de perpendicularidad para espacios no euclídeos. Pero, entonces, ¿cómo debemos manejar estos diagramas?


Intervalo relativista

Consideremos los sucesos A= “emisión de un rayo de luz en el origen” y B= “llegada posterior del rayo de luz a una localización determinada x, t”. Nos interesa analizar las características de la luz, por tener la misma velocidad para todos los marcos de referencia -2º postulado-, lo que hace que los sucesos A y B sean paradigmáticos en nuestra teoría. Por ello, intentaremos averiguar si hay alguna relación profunda entre las coordenadas x,t de ambos sucesos que podamos generalizar a cualquier otro par de sucesos y entender cómo debemos manejar los diagramas.

¿Qué ecuación relaciona las coordenadas de A con las de B? Apresuradamente podríamos contentarnos con x = t, que nos lleva a x-t = 0, pero pronto advertiríamos que esto no es más que la propia definición que hemos dado de velocidad de la luz, c=1. No obtenemos, pues, ninguna información adicional sobre las relaciones profundas entre coordenadas. Lo que buscamos realmente es la geometría subyacente entre las coordenadas de espacio y de tiempo.

Consideremos, para ello, un rayo de luz propagándose en dos dimensiones x, y. Ahora no estamos ante un diagrama de espaciotiempo. La luz, que parte del origen, alcanzará todos los puntos de un círculo de radio igual al espacio recorrido H en línea recta. Como vemos en la figura (n), podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACB donde H es la hipotenusa y ∆x, ∆y los catetos. Ahora bien, el espacio recorrido es igual a la velocidad c por el tiempo, H = ct donde c=1.

Si nos quedamos sólo con la dimensión x, tendremos:

∆x2 - ∆t2 = 0

Por el 2º postulado, esta ecuación debe ser aplicable en todos los marcos de referencia, propiedad conocida como covariancia. Para O’ , un marco que se mueve a velocidad constante v también se cumplirá:

∆x’2 - ∆t’2 = 0

Así, la diferencia entre los cuadrados de los intervalos de tiempo y de espacio entre dos sucesos es igual para todos los marcos de referencia. A esta diferencia la llamaremos "Intervalo ∆s2"

∆s2 = ∆x2 - ∆t2 = ∆x’2 - ∆t’2 = ∆x''2 - ∆t''2 = ...

Esta sí es una relación matemática entre espacio y tiempo que es válida en todos los sistemas: ∆s2 sólo depende de los sucesos A y B, no del observador, al menos si A y B están unidos por un rayo de luz.

¿Es éste un resultado generalizable para cualquier otro par de sucesos A y B? La respuesta es que sí. También observaremos que el intervalo se define:

  • ∆s2 negativo cuando ∆x < ∆t: para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v menor que c. Estas son las líneas de representan eventos causalmente relacionados como la de color verde de la figura (i). Son las llamadas tipo-tiempo.
  • ∆s2 positivo para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v > c ya que en ese caso, ∆x > ∆t. Un ejemplo es el propio eje x’ o la línea de color rojo de la figura (i). Son las llamadas tipo-espacio.
  • ∆s2 = 0 para la luz, como hemos visto más arriba. Son llamadas tipo-luz.

Calibrado de los ejes.

Esto resulta perfecto porque nos va a permitir calibrar los ejes t, t’ (que son líneas tipo-tiempo) y los ejes x , x’ (que son líneas tipo-espacio). Para hallar los puntos unidad, sólo necesitamos aplicar

∆x2 - ∆t2 = -1 para las primeras y ∆x2 - ∆t2 = 1 para las segundas.

Estas ecuaciones describen una familia de curvas llamadas hipérbolas que van a cortar los ejes t-x, t’-x’, t’’-x’’... justamente por los puntos tomados como unidad ya que el punto de corte con el eje t’, por ejemplo, es igual a hacer ∆x = 0 , (∆x' = 0) con lo que según la primera ecuación de arriba, -∆t2 = -1 => ∆t = ±1. (análogamente, -∆t'2 = -1 => ∆t' = ±1). Obtenemos los dos puntos unidad, +1 en la parte positiva de todos los ejes de tiempo y -1 en la negativa. Ver la figura (ñ) donde las hipérbolas se han trazado en color rojo y cortan a los ejes en el punto unidad. También se han representado las hipérbolas ∆s2=±22 que nos dan los puntos ±2. El Sistema O' representado corresponde a una velocidad v=0,5, es decir, la mitad de c. [Esta última figura se ha realizado con el programa Graph 4.3, de licencia pública GNU. ¡Muy sencillo y recomendable! Clicar encima para ampliar]

En el caso ∆s2 = 0, la familia de hipérbolas se reduce a las dos líneas de mundo de los rayos de luz que pasan por el origen -dibujadas discontinuas en azul -, ya que ∆x2 = ∆t2 => x =± t, tal y como esperábamos.

Como confirmación de nuestras sospechas iniciales, observemos el triángulo rectángulo de color verde en (ñ). Vemos que su hipotenusa –que se trata de un segmento del eje x’- es menor a la unidad, luego es menor que el cateto unidad contenido en el eje x. Esto sería imposible si el diagrama representara una geometría euclídea, donde las hipotenusas son siempre mayores que los catetos, como en (n).
Ahora, ya tenemos las herramientas adecuadas para estudiar el maravilloso mundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

(Continuará)

miércoles, marzo 12, 2008

Construcción de diagramas de espaciotiempo (II)

Postulados relativistas y ejes t’-x’

Vimos cómo en diagramas ct-x los rayos de luz se representan como bisectrices: líneas de mundo a 45º. Además, el eje ct será ahora simplemente t, pues definimos c=1. Representaremos los sucesos del espaciotiempo en distintos sistemas de referencia: el de H. Bogart en reposo, O y el de la atractiva L. Bacall en movimiento -con velocidad constante v- al que llamaremos O’. Las medidas de espacio y de tiempo en O serán x, t y las de O’ serán x’, t’.

Tengamos en mente los postulados relativistas:

1. Principio de Relatividad: No podemos detectar el movimiento absoluto, lo que implica que cualquier sistema de referencia es equivalente para describir las mismas leyes de la física.

2. Invariancia de c: La velocidad de la luz no depende del movimiento del observador.

¿Cómo podemos utilizar estas ideas para construir nuestros diagramas?

Nos interesa que cada punto del diagrama represente un suceso inequívoco del espaciotiempo en cada marco de referencia. Para ello, sería conveniente disponer a la vez de los ejes t-x del marco O y los t’-x’ del marco O’ de modo que la proyección de cada punto en ellos nos dé las diferentes coordenadas medidas en cada marco. Según el 1er. postulado, la misma geometría euclidiana utilizada por Bogart en O puede ser utilizada por Bacall en O’ ya que cualquier sistema puede ser el sistema euclídeo. Entonces, Bogart y Bacall tendrán sus propias líneas de reposo y de simultaneidad paralelas a sus ejes de tiempo y de espacio (ver figuras (f) y (g) del artículo anterior) y en base a ellas podremos proyectar los sucesos para obtener sus coordenadas.

Bien, ¿dónde dibujamos el eje t’?

Eje t’

Este eje no es más que una secuencia de sucesos en reposo para x’=0. Bacall se mantiene en reposo respecto de sí misma en la posición inicial x’=0, pero para Bogart, ella se aleja de él –desgraciadamente- en dirección positiva del eje x con velocidad v=dx/dt. Así pues, el eje t’ ser á la línea de mundo que ya vimos en la figura (b) cuya pendiente es 1/v, y que mantiene un ángulo θ = arctan v con el eje t como puede verse en la figura (j).

Eje x’

Apliquemos el 2º postulado, según el cual Bacall debe observar los rayos de luz con la misma velocidad c que Bogart. Para ello, consideremos la situación inicial en la que Bacall se encuentra en el coche parada conversando con Bogart a través de la ventanilla.

Bacall se encuentran en el centro del coche cuando emite dos rayos de luz mediante dos linternas, uno hacia la parte trasera de la carrocería T y el otro hacia la delantera D. Esos rayos de luz serán representados por Bogart y Bacall mediante líneas de mundo a 45º, (diagrama (k), líneas azules intermitentes). Así, los sucesos A=“la luz llega a T” y B=“la luz llega a D” serán los dos puntos de corte de las líneas de mundo de la luz con las de T y D. Los sucesos A y B son simultáneos para Bogart y para Bacall, que comparten el mismo marco de referencia O. Obsérvese que la línea de puntos negros de (k) es una línea de simultaneidad de las de la figura (f).

Repitamos el experimento con el coche de Bacall en marcha. Tenemos ahora dos marcos: O para Bogart y O’ para Bacall. Observemos las líneas de mundo de T, D y de la propia Bacall inclinadas hacia la derechaen la figura (l). Para todos los sistemas de referencia la luz viaja a velocidad c, por el 2º postulado, así que representamos las líneas de mundo de la luz a 45º. Bacall -que se encuentra en reposo respecto del coche- verá llegar ambos rayos simultáneamente a T y a D en un determinado instante t’. Esos dos sucesos, llamados A’ y B’ definirán para ella una línea de simultaneidad t’ = constante. Para Bogart, en cambio, el rayo de luz llegará antes a T que a D, ya que T se acerca a la luz y D se aleja de ella una vez que fue emitida. Esto es coherente para Bogart ya que la línea que une los puntos A’ y B’ no es paralela al eje x de su marco de referencia, luego nunca podrá unir sucesos simultáneos para O.
Sólo nos queda trasladar paralelamente la línea de puntos negros que une A’ y B’ en (l) –que es una línea de simultaneidad para O’- hasta el origen de coordenadas t’=0 y obtendremos e
l eje x’. Ver figura (m). Parece lógico, por el 1er. postulado, aceptar que el ángulo entre los ejes x, x' debe ser igual a θ, de modo que pueda mantenerse el hecho de que las líneas de mundo de la luz partiendo del origen sigan siendo bisectrices en cualquier sistema de referencia. Visto de otro modo, el 2º postulado mantiene su vigencia si c es invariante siendo dt'=dx' en O' y dt=dx en O para las lineas de mundo de la luz.

Observemos también cómo la adimensionalidad de v nos permite definir los ejes t’ y x’ como x=vt y t=vx respectivamente sin ningún problema de inconsistencia.

Sobre la simultaneidad

Es interesante reflexionar lo siguiente: Los sucesos A’ y B’ que son simultáneos en un sistema O’ no lo son en O. Hemos llegado a esto gráficamente manejando la idea de que la velocidad de la luz es un invariante (líneas de mundo como bisectrices de t-x) y la idea de la no existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por supuesto, hemos podido congeniar ambas ideas eliminando el prejuicio clásico de que el tiempo es absoluto para todos los sistemas de referencia, lo que nos ha permitido buscar inicialmente un nuevo eje t’ para O’.
Así pues, los postulados relativistas cobran sentido si aceptamos que la simultaneidad entre dos sucesos no es absoluta (no es independiente del observador).

Ya sabemos dibujar ejes t-x y t'-x' conociendo únicamente v!
(Continuará)

viernes, marzo 07, 2008

Construcción de diagramas de espaciotiempo (I)

Introducción

La Dilatación del Tiempo y la Contracción de Longitudes son los dos resultados más famosos e interesantes de la cinemática relativista (Relatividad Especial). Intentaremos deducirlos de un modo estrictamente gráfico –utilizando ejes al estilo cartesiano- partiendo de diversos experimentos mentales, introduciendo los postulados de la Relatividad pero eludiendo el álgebra asociada. Comenzaremos por introducir diagramas sencillos de espacio y tiempo.

Familiarizémonos con los diagramas al estilo clásico, en donde dibujábamos las trayectorias de cuerpos en movimiento. Utilizaremos, sin embargo, un eje vertical para el tiempo t y otro horizontal para el espacio x, simplificando así los movimientos para una sola dimensión e invirtiendo la habitual manera de utilizar los ejes en la mecánica clásica. En estos diagramas cada punto representará un suceso tal como “un coche existe en una determinada posición” o “el agente Smith aprieta el gatillo de su revólver”. La consecución de sucesos en el tiempo nos dibujará una línea -que denominaremos línea de mundo- en la que sucesos anteriores serán causa de los posteriores. Por el momento, nos situaremos en el punto de vista de un observador situado en el origen de coordenadas, en reposo, autodenominado H. Bogart. Este marco de referencia lo denotaremos a menudo como O.

Veamos algunas de estas líneas de mundo:

(a) Un coche estacionado en un vado momentos antes de ser denunciado.

(b) El mismo coche llevado por la grúa alejándose hacia la derecha.

(c) El mismo coche alejándose hacia la izquierda.

(d) Una pelota de frontón rebotando en una pared.

(e) Un rayo de luz, cuya velocidad c es muy grande.


Todos los movimientos parten de t=0 aunque la posición en el eje x es arbitraria. Las velocidades son constantes, por ello, tenemos líneas escrupulosamente rectas.
Las pendientes de estas líneas de mundo son dt/dx = 1/v, por lo que serán menores cuanto mayor sea la velocidad v. De ahí que el caso (e) sea una línea muy horizontal.

Advirtamos también que Bogart utiliza la geometría euclídea y hace uso de todas las reglas que de ella se derivan. En especial, puede trasladar paralelamente el eje de tiempo y superponerlo a la línea de mundo del caso (a).

De este modo, se sitúa x=0 en la posición del coche estacionado y simplemente habrá efectuado una traslación en las coordenadas del espacio. De igual modo, si Bogart mueve el eje horizontal x paralelamente hasta otro valor del tiempo, trasladará el origen del tiempo t=0 a cualquier otro punto.
De hecho, todas las infinitas paralelas a los ejes espacio y tiempo son líneas de simultaneidad y de reposo respectivamente, como muestran las figuras (f) y (g).

Dos modificaciones y un límite gráfico a la Causalidad

Por último, preparemos el terreno para nuestras próximas consideraciones. Llevaremos a cabo dos modificaciones:

1ª MODIFICACIÓN: El eje t pasa a ser ct

Escalamos el eje del tiempo con la velocidad de la luz c. El espacio recorrido por la luz siempre será igual a su velocidad c multiplicada por el tiempo empleado. Ahora, la representación del rayo de luz de (e) será una línea de mundo de pendiente cdt/dx = c/c = 1 y, por tanto está a 45º del eje x. Ninguna otra velocidad podrá superar a c, por lo que cualquier línea de mundo que no sea de luz estará a un ángulo mayor de 45º como puede verse en el diagrama (h). Esto tiene algunas implicaciones para las relaciones gráficas de Causalidad: sólo podremos unir dos sucesos causa-efecto por líneas de mundo con inclinaciones mayores de 45º.

Así, en la figura (i) los sucesos A y B pueden unirse por una línea de mundo pero la Relatividad prohibiría hacerlo entre A y C, de modo que A nunca podría ser causa de C en ningún sistema de referencia. En esta figura, se han representado dos líneas de mundo -en azul- para un rayo de luz más general que sale del origen de coordenadas, propagándose en los dos sentidos de la dimensión espacial x. Todo el espaciotiempo subtendido por las dos líneas de mundo de la luz sería el posible "Futuro" de A, mientras que las zonas a derecha e izquierda contendrían sucesos que no estarían ligados causalmente con A, con lo que, a menudo, a esa zona se la denomina simplemente "otra parte".

2ª MODIFICACIÓN: c=1

Definiremos una nueva unidad de tiempo: "el metro de tiempo". 1 m de tiempo será el tiempo que tarda la luz en recorrer 1 m. De modo que, con esta nueva unidad,
c = (espacio recorrido en un cierto intervalo de tiempo / ese intervalo de tiempo) = (1 m / 1 m) = 1 [sin dimensiones]

Cualquier otra velocidad la expresaremos como una fracción de c.
(Continuará)

LinkWithin

g