jueves, marzo 27, 2008

Construcción de diagramas de espaciotiempo (III)

¡Los diagramas no son lo que parecen!

Ya hemos dibujado todos los ejes de un diagrama para dos marcos de referencia O, O’. Pero no olvidemos que los ejes de tiempo (o las líneas de mundo) y de espacio (o líneas de simultaneidad) representan situaciones físicas diferentes. No podemos, por ejemplo, usar el teorema de Pitágoras alegremente y aplicarlo a un triángulo rectángulo formado por ejes y líneas de mundo. A pesar de utilizar las ideas de la geometría euclídea en cada marco por separado, hemos advertido ya que los ejes t’-x’ en (m) no eran perpendiculares vistos desde O, pero sí deben serlo para un observador de O’ –por el 1er postulado-. Diremos que t’ es ortogonal a x’, lo que es una generalización del concepto de perpendicularidad para espacios no euclídeos. Pero, entonces, ¿cómo debemos manejar estos diagramas?


Intervalo relativista

Consideremos los sucesos A= “emisión de un rayo de luz en el origen” y B= “llegada posterior del rayo de luz a una localización determinada x, t”. Nos interesa analizar las características de la luz, por tener la misma velocidad para todos los marcos de referencia -2º postulado-, lo que hace que los sucesos A y B sean paradigmáticos en nuestra teoría. Por ello, intentaremos averiguar si hay alguna relación profunda entre las coordenadas x,t de ambos sucesos que podamos generalizar a cualquier otro par de sucesos y entender cómo debemos manejar los diagramas.

¿Qué ecuación relaciona las coordenadas de A con las de B? Apresuradamente podríamos contentarnos con x = t, que nos lleva a x-t = 0, pero pronto advertiríamos que esto no es más que la propia definición que hemos dado de velocidad de la luz, c=1. No obtenemos, pues, ninguna información adicional sobre las relaciones profundas entre coordenadas. Lo que buscamos realmente es la geometría subyacente entre las coordenadas de espacio y de tiempo.

Consideremos, para ello, un rayo de luz propagándose en dos dimensiones x, y. Ahora no estamos ante un diagrama de espaciotiempo. La luz, que parte del origen, alcanzará todos los puntos de un círculo de radio igual al espacio recorrido H en línea recta. Como vemos en la figura (n), podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACB donde H es la hipotenusa y ∆x, ∆y los catetos. Ahora bien, el espacio recorrido es igual a la velocidad c por el tiempo, H = ct donde c=1.

Si nos quedamos sólo con la dimensión x, tendremos:

∆x2 - ∆t2 = 0

Por el 2º postulado, esta ecuación debe ser aplicable en todos los marcos de referencia, propiedad conocida como covariancia. Para O’ , un marco que se mueve a velocidad constante v también se cumplirá:

∆x’2 - ∆t’2 = 0

Así, la diferencia entre los cuadrados de los intervalos de tiempo y de espacio entre dos sucesos es igual para todos los marcos de referencia. A esta diferencia la llamaremos "Intervalo ∆s2"

∆s2 = ∆x2 - ∆t2 = ∆x’2 - ∆t’2 = ∆x''2 - ∆t''2 = ...

Esta sí es una relación matemática entre espacio y tiempo que es válida en todos los sistemas: ∆s2 sólo depende de los sucesos A y B, no del observador, al menos si A y B están unidos por un rayo de luz.

¿Es éste un resultado generalizable para cualquier otro par de sucesos A y B? La respuesta es que sí. También observaremos que el intervalo se define:

  • ∆s2 negativo cuando ∆x < ∆t: para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v menor que c. Estas son las líneas de representan eventos causalmente relacionados como la de color verde de la figura (i). Son las llamadas tipo-tiempo.
  • ∆s2 positivo para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v > c ya que en ese caso, ∆x > ∆t. Un ejemplo es el propio eje x’ o la línea de color rojo de la figura (i). Son las llamadas tipo-espacio.
  • ∆s2 = 0 para la luz, como hemos visto más arriba. Son llamadas tipo-luz.

Calibrado de los ejes.

Esto resulta perfecto porque nos va a permitir calibrar los ejes t, t’ (que son líneas tipo-tiempo) y los ejes x , x’ (que son líneas tipo-espacio). Para hallar los puntos unidad, sólo necesitamos aplicar

∆x2 - ∆t2 = -1 para las primeras y ∆x2 - ∆t2 = 1 para las segundas.

Estas ecuaciones describen una familia de curvas llamadas hipérbolas que van a cortar los ejes t-x, t’-x’, t’’-x’’... justamente por los puntos tomados como unidad ya que el punto de corte con el eje t’, por ejemplo, es igual a hacer ∆x = 0 , (∆x' = 0) con lo que según la primera ecuación de arriba, -∆t2 = -1 => ∆t = ±1. (análogamente, -∆t'2 = -1 => ∆t' = ±1). Obtenemos los dos puntos unidad, +1 en la parte positiva de todos los ejes de tiempo y -1 en la negativa. Ver la figura (ñ) donde las hipérbolas se han trazado en color rojo y cortan a los ejes en el punto unidad. También se han representado las hipérbolas ∆s2=±22 que nos dan los puntos ±2. El Sistema O' representado corresponde a una velocidad v=0,5, es decir, la mitad de c. [Esta última figura se ha realizado con el programa Graph 4.3, de licencia pública GNU. ¡Muy sencillo y recomendable! Clicar encima para ampliar]

En el caso ∆s2 = 0, la familia de hipérbolas se reduce a las dos líneas de mundo de los rayos de luz que pasan por el origen -dibujadas discontinuas en azul -, ya que ∆x2 = ∆t2 => x =± t, tal y como esperábamos.

Como confirmación de nuestras sospechas iniciales, observemos el triángulo rectángulo de color verde en (ñ). Vemos que su hipotenusa –que se trata de un segmento del eje x’- es menor a la unidad, luego es menor que el cateto unidad contenido en el eje x. Esto sería imposible si el diagrama representara una geometría euclídea, donde las hipotenusas son siempre mayores que los catetos, como en (n).
Ahora, ya tenemos las herramientas adecuadas para estudiar el maravilloso mundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

(Continuará)

3 comentarios:

Anónimo dijo...

¡¡Arrrgggg!! Me he quedado con ganas de más. ¿Continuará?

Ender el Xenocida dijo...

Por supuesto
:-)

Anónimo dijo...

¡Ufff! Menos mal, me había asustado ;p.

Muchas gracias por acercar estos peliaguados temas a gente profana como yo.

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