¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (I. Derivación)

Todo lo que siempre quiso saber sobre Derivadas e Integrales y nunca se atrevió a preguntar...

Millones de personas las usan constantemente pero sólo unos pocos son conscientes de ello. Sin duda, la ciencia seguiría en pañales sin estas extraordinarias herramientas. Allá por el s. XVII, había dos problemas matemáticos cruciales: obtener las rectas tangentes a una curva y calcular áreas y volúmenes. Leibniz y Newton, independientemente, llegaron a comprender la profunda relación entre ellos... Comenzemos por un enfoque newtoniano de la derivación.

Las tangentes del movimiento

El estudio del movimiento de un cuerpo podía reducirse al estudio de su posición respecto del tiempo. En notación moderna, sería conocer la curva x(t). Y, como diría Newton, esta curva es una magnitud fluyente pues es el resultado de un punto que fluye contínuamente. Ahora bien, más allá de la posición, también querremos conocer la velocidad del cuerpo para estudiar la naturaleza dinámica de lo que está sucediendo (pues la velocidad nos dará información sobre la aceleración, que es la magnitud clave en la dinámica).
Para ello, podríamos calcular el cociente entre las diferencias de posición de dos puntos de la curva A y B y el tiempo entre ellos. Esto nos daría una velocidad, pero sería una velocidad media entre los dos puntos y no aportaría información sobre la velocidad instantánea en cada punto. Fijémonos en la figura 1, donde la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. No sabríamos, por ejemplo, la velocidad real en A. Para conseguirlo, debemos calcular el cociente de esas mismas cantidades para diferencias muy pequeñas de tiempo, tomando dos puntos infinitamente próximos de modo que en el final de esa infinitud sean el mismo punto, en nuestro caso, el A. Así sabremos la velocidad instantánea v(a). Para Newton, esto se reducía a un cociente de dos cantidades que se desvanecen a la vez.
En la figura 2, vemos cómo el acercamiento de B hacia A implica esa disminución ad infinitum de las dos cantidades. Aquí, la recta final es una tangente a la curva en el punto A. En lenguaje moderno: obtenemos la pendiente PA haciendo el límite del cociente de ambas cantidades cuando B -> A ó lo que es igual, cuando b -> a. (Sólo es posible el límite si esa función cociente es continua, lo que no sería problema para Newton, ya que esta curva es el resultado de un punto que se mueve de forma continua, sin sobresaltos)

¡Y aquí entra en juego la famosa tangente! Fijémonos que ese cociente de dos cantidades que tienden a cero a la vez, al final, no es más que la pendiente de la recta tangente -en color rojo- a la curva en el punto A. De este modo, el valor obtenido será mayor cuánto más inclinada sea la recta tangente, cero si la tangente es horizontal (cuando A es un máximo o un mínimo en la curva la pendiente es nula) y positivo o negativo dependiendo de si la curva crece o decrece hacia la derecha.
Por tanto, el problema de hallar las tasas de cambio de una magnitud continua, como la de la posición respecto del tiempo (la velocidad) se reduce al arte de hallar tangentes a una curva. Lo haremos obteniendo la fórmula general para todas las tangentes de la curva posición usando el límite de la figura 2. A este proceso lo llamaremos Derivación o Diferenciación. Y a las cantidades x(b)-x(a) y b-a cuando b->a se las denominará diferenciales dx y dt respectivamente, indicando así que son cantidades infinitesimales o infinítamente pequeñas.

Jugando con las pendientes (de las tangentes)

Muy bien, ya sabemos calcular las velocidades instantáneas en cada posición de un cuerpo en movimiento. Dicho de otro modo, tenemos las tangentes. Representemos ahora esas rectas tangentes con una peculiaridad: serán segmentos de longitud igual al valor de la pendiente de la tangente. Observemos la parte superior de la figura 3 donde hemos dibujado en color rojo esos segmentos. En en el punto C, el segmento de la tangente tiene una determinada longitud, en B es de longitud mayor (mayor inclinación de la tangente, luego mayor pendiente) y en A y D es tan sólo un punto (ya que la pendiente de la recta tangente es nula).

Atención porque ahora viene lo bueno: tomemos esos segmentos y coloquémoslos en posición vertical en una nueva gráfica, en la parte inferior de la figura 3, construyendo una curva con ellos de modo que cada punto tenga como valor la altura del segmento. Si el segmento tenía un valor negativo de longitud como el del punto E (porque venía de una tangente con inclinación hacia abajo) lo colocaremos también hacia el sentido negativo del eje vertical. Unamos finalmente los puntos obtenidos mediante una curva e imaginemos que hemos procedido escrupulosamente para todos los puntos de la curva anterior, trasladando todas las tangentes. Lo que hemos hecho es Derivar la curva posición. Tenemos ahora una nueva curva que representa la velocidad en función del tiempo, ya que cada valor de la función es justamente la pendiente de las tangentes de la función posición anterior.
Observemos que, de haber dibujado la curva superior x(t) más arriba o más abajo en la gráfica, habríamos obtenido exactamente la misma curva v(t) de abajo, ya que ésta la hemos construido con las pendientes de las tangentes de x(t), y no se ve afectada por posibles desplazamientos verticales en x(t). Podemos entenderlo físicamente si imaginamos que varios corredores que comienzan una carrera desde diferentes posiciones (lo que equivale a sumar una constante a la función posición) tendrán la misma velocidad si corren de igual forma. Pero, mirando la figura 3, ¿qué misteriosa relación tiene esta curva inferior con la anterior?

Un caso imaginario de Derivación

Consideremos el caso imaginario en que la posición de un cuerpo varía con el tiempo según la extraña relación

x(t) = πt²

Es decir, en el instante t=1 segundo estará en la posición x= π metros, para t=2 segundos, en x= 4π metros y así sucesivamente.

Calculemos ahora la fórmula general para la pendiente de las rectas tangentes a la curva posición. Para ello, obtengamos primero la velocidad real en un instante t=a. Según lo visto en la figura 2, haremos:

v(a) = lim [(x(b)-x(a)) /(b-a)] = lim [(πb² - πa²) / (b-a)] = lim [π(b² - a²) / (b-a)] = lim π(b+a) = π(a+a) = 2πa
donde hemos usado que b² - a² = (b+a)(b-a) y donde lim se refiere al límite cuando b -> a

Vemos que en el caso general, para cualquier instante de tiempo t, tomando intervalos infinitesimales para hallar las tangentes,

v(t) = 2πt

Perfecto, ésta es la curva que describe cómo varía la velocidad del cuerpo cuya posición viene dada por πt². Diremos que la Derivada de πt² es 2πt. De hecho, en el caso general, si la curva posición tiene un desplazamiento vertical, -lo que equivale a sumarle una constante C- la curva v(t) será la misma, como hemos comentado en relación a la figura 3. Diremos entonces que las Derivadas de πt² + C son 2πt, para todas las ces. (Y C=0 es el caso particular que considerábamos)
Respecto a la notación, la más divulgada es la de Leibniz, donde dx/dt = v(t) o bien x'(t) = v(t) y en la notación más usada por Newton, x con un punto encima -cosa que no sé hacer con el teclado- significa también derivada respecto del tiempo, aunque él la llamaría fluxión de x. (Asímismo, al diferencial dt lo denota como o)
Bien, ya sabíamos que la derivada de la posición era la velocidad, pero ¿por qué es tan importante esta construcción de la función velocidad? ¿Y qué tiene que ver con el cálculo de áreas y volúmenes? Todo esto podría parecer un mero entretenimiento matemático si no fuera por las sorprendentes propiedades que encierra... pero, hagamos un breve descanso.

(Continuará)