¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (y III. Ejemplos)

Después de repasar los conceptos de Derivación e Integración y ver la reveladora correspondencia entre ambos mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, comentaremos algunos casos concretos de derivadas y primitivas en el campo de la física y la matemática.

La Fuerza de Newton

Como vimos, Derivación e Integración son procesos que relacionan íntimamente las curvas posición x(t) y velocidad v(t), consideradas como funciones del tiempo. Cuando la velocidad no sea constante, es decir si v=v(t) podremos estudiar también las pendientes de sus tangentes y en tal caso, Derivar de nuevo para obtener una nueva curva: la aceleración a(t)=dv/dt que, como es bien sabido, resulta ser el concepto estrella de la dinámica newtoniana.
En la figura 8 vemos todos estos procesos donde la Derivación d/dt se efectúa hacia la izquierda y la integración ∫ dt hacia la derecha.

Para Sir Isaac -como queda más o menos descrito en sus Principia Mathematica- la cantidad del movimiento o Ímpetu es definida como el producto de la masa por la velocidad p=mv, siendo éste un concepto que diferencia claramente las consecuencias del movimiento de dos cuerpos de diferente masa que se mueven a igual velocidad. Así, más que el movimiento en sí (contabilizado como velocidad), lo importante será la cantidad de ese movimiento (masa x velocidad), también denominada momento y que, como vemos en la figura 9, está relacionada directamente con el concepto de Fuerza. Efectivamente, considerando la derivada de p respecto del tiempo, dp/dt, (las pendientes de las rectas tangentes a la curva p(t)) obtendremos la famosa Fuerza y se dirá que la Fuerza es proporcional al cambio del movimiento, es decir, a la variación de la cantidad del movimiento. Esta fuerza es F=ma, en su expresión más divulgada de la 2ª Ley de Newton. Como vemos, hemos multiplicado por la masa las curvas a(t) y v(t) de la parte superior de la figura 9 para redescubrir la 2ª ley.

Por tanto, conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, podremos encontrar el modo como se moverá por el espacio x(t) simplemente dividiendo entre su masa e integrando respecto del tiempo dos veces F(t)/m -> p(t)/m -> x(t) y, claro está, ajustando las condiciones iniciales correspondientes reflejadas aquí como constantes C del proceso de integración.

Geometría y Metafísica

En la parte superior de la figura 10 hemos partido de la extraña cantidad 2π. De algún modo, 2π representa todo el espacio plano de un modo angularizado. (O quizá no representa nada en términos cotidianos...) Podría interpretarse como una especie de generador de figuras geométricas que son cada una la suma debidamente calculada de la otra. Veamos cómo.
Recordemos la figura 6, donde la cantidad dx evaluada de x_b a x_a tenía que ser justamente la longitud x_b -x_a de algún segmento a lo largo de la dimensión x. En el caso que nos ocupa, al integrar 2π sobre r desde r=0 hasta r=R, obtendremos 2πR: la longitud de una circunferencia de radio R, una longitud radial.
Ahora, sumemos circunferencias de radios que vayan de 0 a R y cuyo grosor radial sea infinitesimal (que tiende a 0 tanto como queramos). En este caso, obtenemos toda la superficie de un círculo de radio R: πR². Es el área en 2 dimensiones generada por la integración de cantidades de 1 dimensión.
Finalmente, ¿qué ocurrirá si sumamos infinitos círculos cuyo radio varíe infinitesimalmente de 0 a R y cuyo grosor sea dr?. Estaremos construyendo un montículo de pastillas circulares resultando un cono sólido de altura igual al radio de su base, h=R. El resultado es efectivamente el Volumen de un cono de este tipo, V = (1/3)πR³.

Pasemos a la parte inferior de la figura 10 e intentemos hallar el análogo a la fila superior, considerando la superficie de la esfera en vez de la del círculo. Parece que, si tuviéramos que generarla mediante algún número similar a 2π, deberíamos cuadruplicarlo y usar 8π. De 8π obtendríamos 8πR, y de 8πr integrado de r=0 a r=R llegaríamos a la famosa superficie de la esfera 4πR². Un misterioso factor 4 hace posible el paso de las figuras de arriba a las de abajo.
Pero, ¿tiene esto algún sentido real más allá de la pura abstracción?¿Podríamos afirmar que con 4 circunferencias podemos hacer una superficie esférica de igual radio? ¿Es 8π una especie de "generador espacial tridimensional angularizado"? Acepto los comentarios pertinentes...
Vayamos ahora más hacia la derecha, es decir, sigamos integrando. Si sumamos infinitas superficies esféricas 4πr² de grosor infinitesimal dr evaluando de 0 a R obtendremos el Volumen total de la esfera (4/3)πR³ así como una cebolla completa es el resultado de unir todas sus capas interiores desde el punto central r=0 hasta la piel más externa r=R.
Fijémonos que de los resultados de la figura 10 podemos concluir lo siguiente:

V_esf = 4 V_con

Este interesante resultado puede visualizarse en la figura 11 donde vemos -o deberíamos ver- que la suma de dos conos incluidos en una esfera sólo alcanzaría la mitad del volumen total. Así que las partes sobrantes de cada semiesfera deben ser igual al volumen del cono que las ha delimitado.

Reto

Esto me recuerda al célebre resultado de Arquímedes, inscrito en su legendario epitafio, de que el volumen de la esfera contenida en un cilindro de altura y diámetro iguales a los de la esfera es:

V_esf = (2/3)V_cil

Así que con una esfera y media, rellenaríamos todo el cilindro.
Introduciendo nuestro cono de altura h=R dentro de la esfera de Arquímedes -figura 12- veríamos que necesitaremos 6 conos para rellenar el cilindro:

V_cil = (3/2)V_esf = 6V_con

¿Se esconde tras esto algún tipo de progresión? Si es así, ¿cuál es la siguiente figura que podemos contener dentro del cono?