miércoles, marzo 12, 2008

Construcción de diagramas de espaciotiempo (II)

Postulados relativistas y ejes t’-x’

Vimos cómo en diagramas ct-x los rayos de luz se representan como bisectrices: líneas de mundo a 45º. Además, el eje ct será ahora simplemente t, pues definimos c=1. Representaremos los sucesos del espaciotiempo en distintos sistemas de referencia: el de H. Bogart en reposo, O y el de la atractiva L. Bacall en movimiento -con velocidad constante v- al que llamaremos O’. Las medidas de espacio y de tiempo en O serán x, t y las de O’ serán x’, t’.

Tengamos en mente los postulados relativistas:

1. Principio de Relatividad: No podemos detectar el movimiento absoluto, lo que implica que cualquier sistema de referencia es equivalente para describir las mismas leyes de la física.

2. Invariancia de c: La velocidad de la luz no depende del movimiento del observador.

¿Cómo podemos utilizar estas ideas para construir nuestros diagramas?

Nos interesa que cada punto del diagrama represente un suceso inequívoco del espaciotiempo en cada marco de referencia. Para ello, sería conveniente disponer a la vez de los ejes t-x del marco O y los t’-x’ del marco O’ de modo que la proyección de cada punto en ellos nos dé las diferentes coordenadas medidas en cada marco. Según el 1er. postulado, la misma geometría euclidiana utilizada por Bogart en O puede ser utilizada por Bacall en O’ ya que cualquier sistema puede ser el sistema euclídeo. Entonces, Bogart y Bacall tendrán sus propias líneas de reposo y de simultaneidad paralelas a sus ejes de tiempo y de espacio (ver figuras (f) y (g) del artículo anterior) y en base a ellas podremos proyectar los sucesos para obtener sus coordenadas.

Bien, ¿dónde dibujamos el eje t’?

Eje t’

Este eje no es más que una secuencia de sucesos en reposo para x’=0. Bacall se mantiene en reposo respecto de sí misma en la posición inicial x’=0, pero para Bogart, ella se aleja de él –desgraciadamente- en dirección positiva del eje x con velocidad v=dx/dt. Así pues, el eje t’ ser á la línea de mundo que ya vimos en la figura (b) cuya pendiente es 1/v, y que mantiene un ángulo θ = arctan v con el eje t como puede verse en la figura (j).

Eje x’

Apliquemos el 2º postulado, según el cual Bacall debe observar los rayos de luz con la misma velocidad c que Bogart. Para ello, consideremos la situación inicial en la que Bacall se encuentra en el coche parada conversando con Bogart a través de la ventanilla.

Bacall se encuentran en el centro del coche cuando emite dos rayos de luz mediante dos linternas, uno hacia la parte trasera de la carrocería T y el otro hacia la delantera D. Esos rayos de luz serán representados por Bogart y Bacall mediante líneas de mundo a 45º, (diagrama (k), líneas azules intermitentes). Así, los sucesos A=“la luz llega a T” y B=“la luz llega a D” serán los dos puntos de corte de las líneas de mundo de la luz con las de T y D. Los sucesos A y B son simultáneos para Bogart y para Bacall, que comparten el mismo marco de referencia O. Obsérvese que la línea de puntos negros de (k) es una línea de simultaneidad de las de la figura (f).

Repitamos el experimento con el coche de Bacall en marcha. Tenemos ahora dos marcos: O para Bogart y O’ para Bacall. Observemos las líneas de mundo de T, D y de la propia Bacall inclinadas hacia la derechaen la figura (l). Para todos los sistemas de referencia la luz viaja a velocidad c, por el 2º postulado, así que representamos las líneas de mundo de la luz a 45º. Bacall -que se encuentra en reposo respecto del coche- verá llegar ambos rayos simultáneamente a T y a D en un determinado instante t’. Esos dos sucesos, llamados A’ y B’ definirán para ella una línea de simultaneidad t’ = constante. Para Bogart, en cambio, el rayo de luz llegará antes a T que a D, ya que T se acerca a la luz y D se aleja de ella una vez que fue emitida. Esto es coherente para Bogart ya que la línea que une los puntos A’ y B’ no es paralela al eje x de su marco de referencia, luego nunca podrá unir sucesos simultáneos para O.
Sólo nos queda trasladar paralelamente la línea de puntos negros que une A’ y B’ en (l) –que es una línea de simultaneidad para O’- hasta el origen de coordenadas t’=0 y obtendremos e
l eje x’. Ver figura (m). Parece lógico, por el 1er. postulado, aceptar que el ángulo entre los ejes x, x' debe ser igual a θ, de modo que pueda mantenerse el hecho de que las líneas de mundo de la luz partiendo del origen sigan siendo bisectrices en cualquier sistema de referencia. Visto de otro modo, el 2º postulado mantiene su vigencia si c es invariante siendo dt'=dx' en O' y dt=dx en O para las lineas de mundo de la luz.

Observemos también cómo la adimensionalidad de v nos permite definir los ejes t’ y x’ como x=vt y t=vx respectivamente sin ningún problema de inconsistencia.

Sobre la simultaneidad

Es interesante reflexionar lo siguiente: Los sucesos A’ y B’ que son simultáneos en un sistema O’ no lo son en O. Hemos llegado a esto gráficamente manejando la idea de que la velocidad de la luz es un invariante (líneas de mundo como bisectrices de t-x) y la idea de la no existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por supuesto, hemos podido congeniar ambas ideas eliminando el prejuicio clásico de que el tiempo es absoluto para todos los sistemas de referencia, lo que nos ha permitido buscar inicialmente un nuevo eje t’ para O’.
Así pues, los postulados relativistas cobran sentido si aceptamos que la simultaneidad entre dos sucesos no es absoluta (no es independiente del observador).

Ya sabemos dibujar ejes t-x y t'-x' conociendo únicamente v!
(Continuará)

2 comentarios:

jordi dijo...

jejeje... Una vegada més barrejant física amb poesia... molt bona combinació, sí senyor!

Tacáliz dijo...

Muy bueno, nunca había logrado entender como se representaban los ejes de un sistema en movimiento dentro de otro... gracias por no meterte en asuntos algebraicos.

Seguiré atentamente la triste separación de Bogart y Bacall.

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