Construcción de diagramas de espaciotiempo (IV)

Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes.

Llegados aquí, no es prudente caer en la euforia. Los diagramas de espaciotiempo se han deducido en base a los postulados de la Relatividad Especial y prometen ser útiles para nuestros propósitos, pero esto no implica que sepamos lo que estamos haciendo. Para abordar con éxito los fenómenos de Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes, debemos proceder paso a paso, midiendo cada uno de los sucesos siguientes del modo correcto y traduciendo las mediciones a la geometría de los diagramas.

LOS SUCESOS

Suceso A: Bacall y su casa se encuentran en el mismo punto del espacio.
Suceso B: Bacall y la casa de Bogart se encuentran en el mismo punto del espacio.

LA DILATACIÓN DEL TIEMPO

Desde O, en reposo, lo que mide Bogart (Δt)

“Pasaré por tu casa sin pararme, a una velocidad de... 0,998c”- asegura Bacall justo antes de colgar.
Y tras convenir ese fugaz encuentro, Bogart observa por la ventana con unos potentes prismáticos el reloj de pared de la casa de Bacall, situada a 9 Km. Curtido en decenas de películas, Bogart tiene en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar esos 9 Km hasta sus prismáticos, efectúa la corrección correspondiente y anota la hora leída: eran las “22h” exactamente cuando Bacall salió de casa según un reloj situado allí mismo, en x = a. Bogart ha medido el tiempo para el suceso A. Más tarde, cuando Bacall pase por delante de su puerta, (suceso B) Bogart observará su propio reloj hiperpreciso y leerá “22h 0min 0,000030s”. Por tanto, el tiempo empleado por Bacall en ir desde su casa -en a- hasta la de Bogart -en b- es ∆t = 0,000030s = 30μs y ha sido medido mediante dos relojes, cada uno en el punto del espacio correspondiente. Las líneas de mundo de los relojes leídos por Bogart se han dibujado como flechas negras, dobles y discontinuas en la figura O.

Estos relojes forman una pequeña red sincronizada, porque se están corrigiendo sus lecturas teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la información. Conforman la línea de simultaneidad de O en nuestro diagrama, el propio eje x, avanzando hacia arriba paralelamente a sí mismo. Para medir ∆t hemos ido a buscar el punto donde se cruza la línea de mundo del reloj b (que es una línea de reposo, perpendicular al eje x) y el eje t', que es la línea de mundo de Bacall –o de su reloj- en movimiento (flecha azul, doble y discontinua de la figura O). Cuando ella pasa fugazmente por su puerta y Bogart lee su reloj estamos en el Suceso B.

Desde O, en reposo, lo que debe medir Bacall (τ)

Bacall, desde el punto de vista de nuestro cómodo sofá, viaja a velocidad v=0,998 desde su casa a la de Bogart, por lo que su línea de mundo puede dibujarse sobrepuesta al eje t' partiendo del origen en a. Evidentemente, ésta será una línea de reposo del punto a en el sistema O'. Ella va a leer dos veces su reloj de pulsera, anotando un tiempo transcurrido ∆t’, que en la figura P es lo que mide el segmento AB sobre el eje t'. En este caso, al tiempo medido sobre la propia línea de mundo de un reloj se le llama tiempo propio o τ (tau).

Tenemos dos medidas: ∆t para Bogart y τ para Bacall. Podríamos usar regla y compás, calibrar los ejes t y t' con las hipérbolas (derivadas de la invariancia del Intervalo ∆s²) y hallar sus valores gráficamente. Pero obtendremos la misma información de un modo algebraico, también gracias al Intervalo ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² , sabiendo que ∆x' = 0 (pues el reloj de Bacall no recorre ningún espacio entre los sucesos A y B, según su propia lectura), sabiendo que v = ∆x/∆t y definiendo γ²=1/(1-v²),

∆x² - ∆t² = - τ²
τ ² = ∆t² - ∆x²
τ²/∆t² = 1 – v² = 1/γ²

por lo que, ∆t = γ τ

Hemos obtenido la fórmula que relaciona ∆t y τ, justamente la relación entre la hipotenusa y el cateto que consideramos en el capítulo anterior y que desafiaban a la geometría euclídea. La relación depende únicamente de v, como era de esperar. En el capítulo anterior, la hipérbola ∆s²= -1 nos permitió comparar ambos segmentos; ahora, confirmamos que la hipotenusa τ siempre va a ser menor que el cateto ∆t, pues γ siempre es mayor que 1, en nuestro caso, γ = 15. Así pues, si Bogart midió ∆t =30μs (segmento AC), entre A y B, Bacall sólo habrá medido un tiempo τ =2μs en su reloj de pulsera (segmento AB). [Ver figura P]

Pero este espectacular fenómeno va a la par de otro no menos extraño. Porque, si es igualmente lícito pensar que Bacall se encuentra en reposo y es el resto del mundo quien avanza hacia ella, entonces, en un tiempo τ=2μs, será Bogart quien recorra los 9Km considerados inicialmente, lo que nos daría una velocidad muy diferente de 0,998, como debería ser por el 1er postulado (de hecho, una v mayor que c). Luego, el único modo de resolver la paradoja es admitiendo que no sólo los tiempo medidos ∆t y τ son diferentes en ambos sistemas, sino también los espacios ∆x y ∆x' entre A y B. En efecto, medir una longitud como la que separa los sucesos A y B es también un ejercicio dependiente de nuestras líneas de simultaneidad pues el método correcto consiste en medir los extremos de la longitud a la vez.

LA CONTRACCIÓN DE LONGITUDES

Desde O, en reposo, lo que deben medir Bogart (Lp) y Bacall (Δx’)

Desde O en reposo, Bogart habría medido la distancia que separa a Bacall de su casa a la suya, y es ∆x = 9Km, el cateto sobrepuesto al eje x (segmento AD). En cambio, cuando Bacall mida esa misma distancia, deberá hacerlo intersectando las líneas de mundo de ambas casas –líneas de reposo, verticales- con una línea de simultaneidad de O'. El resultado es el segmento AE de la figura Q. Dada la simetría de los diagramas es fácil percatarse de que los segmentos AD y AE son cateto e hipotenusa de un triángulo semejante al triángulo de tiempos de cateto AC e hipotenusa AB considerado en el punto anterior.

Recuérdese que el ángulo formado por los ejes t y t’ es igual al formado por los ejes x, x’: exactamente arctan(v). Luego, la proporción entre la hipotenusa y cateto en los espacios debe ser la misma que en el caso de los tiempos:

AD = γ AE

Luego, ∆x’= 600 m

Hemos obtenido la fórmula de la Contracción de Longitudes, según la cual la longitud ∆x = AD medida desde un sistema de referencia en reposo respecto de los extremos a y b siempre será mayor que cualquier otra. A esta longitud siempre mayor, se la denomina Longitud propia y la denotamos como Lp (ver figuras P y R). Para Bacall, que mide sólo 600m, la longitud propia de 9Km ha parecido contraerse en la dirección del movimiento.

Nuestra relación queda: Lp = γ ∆x’

Esto no quiere decir que Bacall, desde su sistema de referencia considere que se está moviendo, ya vimos que ∆x’ = 0 entre los sucesos A y B. Pero ella podría considerar que son Bogart, su sofá y el mundo entero los que recorren una distancia ∆x' para ir desde b hasta a viajando a 0,998 veces c en un tiempo τ.

Ahora, los pares de valores de espacio y de tiempo concuerdan: Lp / ∆x’ = ∆t / τ = γ, por lo que las velocidades relativas medidas desde O y O' serán la misma. En la figura R se ha intentado -muy a grosso modo- mostrar las diferentes medidas teniendo en cuenta un punto u tomado como unidad de calibración en O y O'.

Hemos visto que τ es menor que ∆t, por lo que Bogart lee más cantidad de tiempo entre los sucesos A y B que Bacall. ¿Significa esto que Bacall ha envejecido más lentamente? Debemos tener cuidado con este tipo de afirmaciones pues, por el momento, no hay manera de comparar en un mismo marco de referencia los efectos relativistas de ambos. Bacall se encuentra en movimiento relativo con Bogart y la cuestión de las medidas temporales y espaciales se halla subtendida al hecho que de ambos utilizan diferentes conceptos de simultaneidad. Volveremos a este punto muy pronto. Desde luego, ella no va a disponer de más tiempo en su vida que el que su hermosa biología le conceda. Todos sus relojes, ritmos y latidos avanzan por igual para sí misma.

[Apunte: Pronto entenderemos porqué Ender –protagonista de la saga de O. Scott Card- se hacía multimillonario viajando a grandes velocidades de planeta en planeta. Los intereses de su cuenta de ahorros disponían de más tiempo que él para multiplicarse. Asímismo, la famosa Tau cero, de Poul Anderson , tiene que ver con la tendencia de tau a disminuir si v aumenta, hasta hacerse teóricamente cero si v = 1 (la luz). En tal caso, la línea t’ del sistema O’ se encuentra prácticamente sobre la bisectriz (45º) y el corte con la hipérbola unidad (ver figura ñ) se daría en el infinito]

¿Y SI FORZAMOS EL REPOSO DE O’?

Desde O’, en reposo, lo que deben medir Bacall (∆t’) y Bogart (τ)

Estamos de suerte. Sin necesidad de cambiar de diagrama y aún teniendo los ejes de O’ inclinados, consideremos que es O’ el que está en reposo y O en movimiento. Será una modo gráfico de ver cómo las relaciones entre tiempos y espacios de ambos sistemas son realmente relativas y se dan tanto en un sentido como en otro. Veamos el caso del tiempo. El lector observará que para el espacio la situación es simétrica.

Retomando la figura P y considerando que O’ es ahora el sistema en reposo, cualquier medida de tiempo se efectuará sobre una línea de simultaneidad de O’ (lo contrario que antes). Por lo tanto, ahora Bogart y el mundo viajan desde el punto b al a a lo largo de la línea EB de la figura S pues Bacall sólo comenzará a contar el tiempo de salida a partir del punto E ya que ese punto es el único simultáneo con el Suceso A que coincide con la línea de mundo de Bogart. Por tanto, Bacall medirá un tiempo ∆t’ igual al segmento AB y se convencerá de que Bogart mide τ = EB leyendo dos veces su reloj de pulsera. Este tiempo es menor. ¿Cuánto menor? La relación debe cumplirse por igual, luego ∆t’ = γ τ

Ahora τ es ∆t, pues es el tiempo medido dos veces en un mismo reloj en reposo con el observador, en este caso, Bogart. τ es menor que ∆t’, luego Bacall mide más cantidad de tiempo entre A y B, por lo que Bogart debería envejecer menos que ella entre ambos sucesos. Traslademos ahora el segmento EB hasta el eje t -lo que nos da AF- para compararlo con el caso de la figura P que consideraba O en reposo. Es interesante observar cómo el suceso F -proyección de B sobre el eje t- es el último instante que Bacall va a ser capaz de medir mediante su línea de simultaneidad y tiene un valor muy inferior al C de la figura P.

UN ATISBO DE PARADOJA

Igualmente interesante es considerar a Bacall deteniendo su coche en casa de Bogart, cruzando el umbral y cenando tranquilamente con él. Gráficamente, deberíamos dibujar nuevos ejes t'', x'' en el punto B de la figura P pues aquí Bacall cambiará su Sistema de Referencia O’ por O’’, que sería, a todos los efectos, igual al O de Bogart (t'' será paralelo a t y x'' a x). En cualquier caso, cuando comparen sus relojes, aparece la paradoja: si aceptamos el 1er postulado según el cual todos los sistemas son equivalentes y no existe el movimiento absoluto –ni, por tanto, efectos distinguibles de un movimiento relativo- ambos deberían haber envejecido más lentamente que el otro durante esa noche. Pero esto es absurdo. Entonces, ¿cuál de los dos habrá envejecido menos?

Tal pregunta abre la puerta a la famosa Paradoja de los Gemelos que será discutida en la siguiente entrega.

PD: El caso real que ha inspirado lo expuesto aquí es el de los muones, cuyo período de vida media (tiempo de vida promedio en reposo) es τ = 2μs. El proceso sigue una ley estadística de decaimiento exponencial. Su generación en las altas capas de la atmósfera viajando hacia la Tierra a v = 0,998 debería hacerlos desintegrarse tras recorrer una distancia de 600m. En cambio, siguiendo la fórmula de la Dilatación del Tiempo, parecen vivir más desde la Tierra, exactamente un factor γ =15, lo que nos da un ∆t = γ τ = 30μs de vida. El número de muones que sobreviven a una distancia de Lp = γ 600 m = 9 Km es igual al que debería haber si su período de vida media fuera de 30 μs y no de 2μs.

Como si Bacall se esfumase al pasar por delante de la puerta de Bogart. La historia de mi vida.

PPD: Una explicación más detallada del experimento de los muones se encuentra p.e. en RELATIVIDAD ESPECIAL (A. P. FRENCH, Curso del M.I.T.)