Crítica irreverente a mí, en tanto que yo, ahora.

Irreverente es esta PAUSA que no salta. Me la imagino como el botón de un cassette ahora ya antiguo pero que en otro tiempo nos permitía escuchar perlas como Your Song o 37 grados, de un tirón.
Irreverente y larga la espera cuando esperas, como en la canción de Pau Riba, cuando esperas una muerte -simbólica o no- que no llega.
Irreverente el impasse desde el último post de este blog, tan irregular en el ritmo, desordenado en la temática, a veces obtuso, con frecuencia desaprensivo, siempre inacabado, nunca lo suficientemente balsámico para la angustia que me genera la propia ignorancia.
Irreverente es este desierto de palabras, cuando todo a mi alrededor destila interés de conocimiento. Sólo deseo y espero que en breve ese interés se defina de nuevo y me haga disfrutar como antes.
No tan irreverente esta crítica, por ser de uno.

Hasta pronto!

Construcción de diagramas de espaciotiempo (IV)

Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes.

Llegados aquí, no es prudente caer en la euforia. Los diagramas de espaciotiempo se han deducido en base a los postulados de la Relatividad Especial y prometen ser útiles para nuestros propósitos, pero esto no implica que sepamos lo que estamos haciendo. Para abordar con éxito los fenómenos de Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes, debemos proceder paso a paso, midiendo cada uno de los sucesos siguientes del modo correcto y traduciendo las mediciones a la geometría de los diagramas.

LOS SUCESOS

Suceso A: Bacall y su casa se encuentran en el mismo punto del espacio.
Suceso B: Bacall y la casa de Bogart se encuentran en el mismo punto del espacio.

LA DILATACIÓN DEL TIEMPO

Desde O, en reposo, lo que mide Bogart (Δt)

“Pasaré por tu casa sin pararme, a una velocidad de... 0,998c”- asegura Bacall justo antes de colgar.
Y tras convenir ese fugaz encuentro, Bogart observa por la ventana con unos potentes prismáticos el reloj de pared de la casa de Bacall, situada a 9 Km. Curtido en decenas de películas, Bogart tiene en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar esos 9 Km hasta sus prismáticos, efectúa la corrección correspondiente y anota la hora leída: eran las “22h” exactamente cuando Bacall salió de casa según un reloj situado allí mismo, en x = a. Bogart ha medido el tiempo para el suceso A. Más tarde, cuando Bacall pase por delante de su puerta, (suceso B) Bogart observará su propio reloj hiperpreciso y leerá “22h 0min 0,000030s”. Por tanto, el tiempo empleado por Bacall en ir desde su casa -en a- hasta la de Bogart -en b- es ∆t = 0,000030s = 30μs y ha sido medido mediante dos relojes, cada uno en el punto del espacio correspondiente. Las líneas de mundo de los relojes leídos por Bogart se han dibujado como flechas negras, dobles y discontinuas en la figura O.

Estos relojes forman una pequeña red sincronizada, porque se están corrigiendo sus lecturas teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la información. Conforman la línea de simultaneidad de O en nuestro diagrama, el propio eje x, avanzando hacia arriba paralelamente a sí mismo. Para medir ∆t hemos ido a buscar el punto donde se cruza la línea de mundo del reloj b (que es una línea de reposo, perpendicular al eje x) y el eje t', que es la línea de mundo de Bacall –o de su reloj- en movimiento (flecha azul, doble y discontinua de la figura O). Cuando ella pasa fugazmente por su puerta y Bogart lee su reloj estamos en el Suceso B.

Desde O, en reposo, lo que debe medir Bacall (τ)

Bacall, desde el punto de vista de nuestro cómodo sofá, viaja a velocidad v=0,998 desde su casa a la de Bogart, por lo que su línea de mundo puede dibujarse sobrepuesta al eje t' partiendo del origen en a. Evidentemente, ésta será una línea de reposo del punto a en el sistema O'. Ella va a leer dos veces su reloj de pulsera, anotando un tiempo transcurrido ∆t’, que en la figura P es lo que mide el segmento AB sobre el eje t'. En este caso, al tiempo medido sobre la propia línea de mundo de un reloj se le llama tiempo propio o τ (tau).

Tenemos dos medidas: ∆t para Bogart y τ para Bacall. Podríamos usar regla y compás, calibrar los ejes t y t' con las hipérbolas (derivadas de la invariancia del Intervalo ∆s²) y hallar sus valores gráficamente. Pero obtendremos la misma información de un modo algebraico, también gracias al Intervalo ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² , sabiendo que ∆x' = 0 (pues el reloj de Bacall no recorre ningún espacio entre los sucesos A y B, según su propia lectura), sabiendo que v = ∆x/∆t y definiendo γ²=1/(1-v²),

∆x² - ∆t² = - τ²
τ ² = ∆t² - ∆x²
τ²/∆t² = 1 – v² = 1/γ²

por lo que, ∆t = γ τ

Hemos obtenido la fórmula que relaciona ∆t y τ, justamente la relación entre la hipotenusa y el cateto que consideramos en el capítulo anterior y que desafiaban a la geometría euclídea. La relación depende únicamente de v, como era de esperar. En el capítulo anterior, la hipérbola ∆s²= -1 nos permitió comparar ambos segmentos; ahora, confirmamos que la hipotenusa τ siempre va a ser menor que el cateto ∆t, pues γ siempre es mayor que 1, en nuestro caso, γ = 15. Así pues, si Bogart midió ∆t =30μs (segmento AC), entre A y B, Bacall sólo habrá medido un tiempo τ =2μs en su reloj de pulsera (segmento AB). [Ver figura P]

Pero este espectacular fenómeno va a la par de otro no menos extraño. Porque, si es igualmente lícito pensar que Bacall se encuentra en reposo y es el resto del mundo quien avanza hacia ella, entonces, en un tiempo τ=2μs, será Bogart quien recorra los 9Km considerados inicialmente, lo que nos daría una velocidad muy diferente de 0,998, como debería ser por el 1er postulado (de hecho, una v mayor que c). Luego, el único modo de resolver la paradoja es admitiendo que no sólo los tiempo medidos ∆t y τ son diferentes en ambos sistemas, sino también los espacios ∆x y ∆x' entre A y B. En efecto, medir una longitud como la que separa los sucesos A y B es también un ejercicio dependiente de nuestras líneas de simultaneidad pues el método correcto consiste en medir los extremos de la longitud a la vez.

LA CONTRACCIÓN DE LONGITUDES

Desde O, en reposo, lo que deben medir Bogart (Lp) y Bacall (Δx’)

Desde O en reposo, Bogart habría medido la distancia que separa a Bacall de su casa a la suya, y es ∆x = 9Km, el cateto sobrepuesto al eje x (segmento AD). En cambio, cuando Bacall mida esa misma distancia, deberá hacerlo intersectando las líneas de mundo de ambas casas –líneas de reposo, verticales- con una línea de simultaneidad de O'. El resultado es el segmento AE de la figura Q. Dada la simetría de los diagramas es fácil percatarse de que los segmentos AD y AE son cateto e hipotenusa de un triángulo semejante al triángulo de tiempos de cateto AC e hipotenusa AB considerado en el punto anterior.

Recuérdese que el ángulo formado por los ejes t y t’ es igual al formado por los ejes x, x’: exactamente arctan(v). Luego, la proporción entre la hipotenusa y cateto en los espacios debe ser la misma que en el caso de los tiempos:

AD = γ AE

Luego, ∆x’= 600 m

Hemos obtenido la fórmula de la Contracción de Longitudes, según la cual la longitud ∆x = AD medida desde un sistema de referencia en reposo respecto de los extremos a y b siempre será mayor que cualquier otra. A esta longitud siempre mayor, se la denomina Longitud propia y la denotamos como Lp (ver figuras P y R). Para Bacall, que mide sólo 600m, la longitud propia de 9Km ha parecido contraerse en la dirección del movimiento.

Nuestra relación queda: Lp = γ ∆x’

Esto no quiere decir que Bacall, desde su sistema de referencia considere que se está moviendo, ya vimos que ∆x’ = 0 entre los sucesos A y B. Pero ella podría considerar que son Bogart, su sofá y el mundo entero los que recorren una distancia ∆x' para ir desde b hasta a viajando a 0,998 veces c en un tiempo τ.

Ahora, los pares de valores de espacio y de tiempo concuerdan: Lp / ∆x’ = ∆t / τ = γ, por lo que las velocidades relativas medidas desde O y O' serán la misma. En la figura R se ha intentado -muy a grosso modo- mostrar las diferentes medidas teniendo en cuenta un punto u tomado como unidad de calibración en O y O'.

Hemos visto que τ es menor que ∆t, por lo que Bogart lee más cantidad de tiempo entre los sucesos A y B que Bacall. ¿Significa esto que Bacall ha envejecido más lentamente? Debemos tener cuidado con este tipo de afirmaciones pues, por el momento, no hay manera de comparar en un mismo marco de referencia los efectos relativistas de ambos. Bacall se encuentra en movimiento relativo con Bogart y la cuestión de las medidas temporales y espaciales se halla subtendida al hecho que de ambos utilizan diferentes conceptos de simultaneidad. Volveremos a este punto muy pronto. Desde luego, ella no va a disponer de más tiempo en su vida que el que su hermosa biología le conceda. Todos sus relojes, ritmos y latidos avanzan por igual para sí misma.

[Apunte: Pronto entenderemos porqué Ender –protagonista de la saga de O. Scott Card- se hacía multimillonario viajando a grandes velocidades de planeta en planeta. Los intereses de su cuenta de ahorros disponían de más tiempo que él para multiplicarse. Asímismo, la famosa Tau cero, de Poul Anderson , tiene que ver con la tendencia de tau a disminuir si v aumenta, hasta hacerse teóricamente cero si v = 1 (la luz). En tal caso, la línea t’ del sistema O’ se encuentra prácticamente sobre la bisectriz (45º) y el corte con la hipérbola unidad (ver figura ñ) se daría en el infinito]

¿Y SI FORZAMOS EL REPOSO DE O’?

Desde O’, en reposo, lo que deben medir Bacall (∆t’) y Bogart (τ)

Estamos de suerte. Sin necesidad de cambiar de diagrama y aún teniendo los ejes de O’ inclinados, consideremos que es O’ el que está en reposo y O en movimiento. Será una modo gráfico de ver cómo las relaciones entre tiempos y espacios de ambos sistemas son realmente relativas y se dan tanto en un sentido como en otro. Veamos el caso del tiempo. El lector observará que para el espacio la situación es simétrica.

Retomando la figura P y considerando que O’ es ahora el sistema en reposo, cualquier medida de tiempo se efectuará sobre una línea de simultaneidad de O’ (lo contrario que antes). Por lo tanto, ahora Bogart y el mundo viajan desde el punto b al a a lo largo de la línea EB de la figura S pues Bacall sólo comenzará a contar el tiempo de salida a partir del punto E ya que ese punto es el único simultáneo con el Suceso A que coincide con la línea de mundo de Bogart. Por tanto, Bacall medirá un tiempo ∆t’ igual al segmento AB y se convencerá de que Bogart mide τ = EB leyendo dos veces su reloj de pulsera. Este tiempo es menor. ¿Cuánto menor? La relación debe cumplirse por igual, luego ∆t’ = γ τ

Ahora τ es ∆t, pues es el tiempo medido dos veces en un mismo reloj en reposo con el observador, en este caso, Bogart. τ es menor que ∆t’, luego Bacall mide más cantidad de tiempo entre A y B, por lo que Bogart debería envejecer menos que ella entre ambos sucesos. Traslademos ahora el segmento EB hasta el eje t -lo que nos da AF- para compararlo con el caso de la figura P que consideraba O en reposo. Es interesante observar cómo el suceso F -proyección de B sobre el eje t- es el último instante que Bacall va a ser capaz de medir mediante su línea de simultaneidad y tiene un valor muy inferior al C de la figura P.

UN ATISBO DE PARADOJA

Igualmente interesante es considerar a Bacall deteniendo su coche en casa de Bogart, cruzando el umbral y cenando tranquilamente con él. Gráficamente, deberíamos dibujar nuevos ejes t'', x'' en el punto B de la figura P pues aquí Bacall cambiará su Sistema de Referencia O’ por O’’, que sería, a todos los efectos, igual al O de Bogart (t'' será paralelo a t y x'' a x). En cualquier caso, cuando comparen sus relojes, aparece la paradoja: si aceptamos el 1er postulado según el cual todos los sistemas son equivalentes y no existe el movimiento absoluto –ni, por tanto, efectos distinguibles de un movimiento relativo- ambos deberían haber envejecido más lentamente que el otro durante esa noche. Pero esto es absurdo. Entonces, ¿cuál de los dos habrá envejecido menos?

Tal pregunta abre la puerta a la famosa Paradoja de los Gemelos que será discutida en la siguiente entrega.

PD: El caso real que ha inspirado lo expuesto aquí es el de los muones, cuyo período de vida media (tiempo de vida promedio en reposo) es τ = 2μs. El proceso sigue una ley estadística de decaimiento exponencial. Su generación en las altas capas de la atmósfera viajando hacia la Tierra a v = 0,998 debería hacerlos desintegrarse tras recorrer una distancia de 600m. En cambio, siguiendo la fórmula de la Dilatación del Tiempo, parecen vivir más desde la Tierra, exactamente un factor γ =15, lo que nos da un ∆t = γ τ = 30μs de vida. El número de muones que sobreviven a una distancia de Lp = γ 600 m = 9 Km es igual al que debería haber si su período de vida media fuera de 30 μs y no de 2μs.

Como si Bacall se esfumase al pasar por delante de la puerta de Bogart. La historia de mi vida.

PPD: Una explicación más detallada del experimento de los muones se encuentra p.e. en RELATIVIDAD ESPECIAL (A. P. FRENCH, Curso del M.I.T.)

Breve historia de la astronomía

¿Se ha planteado usted cuántas lunas llenas verá en su vida? Tenga en cuenta las que no verá por estar demasiado ocupado, las que pasarán desapercibidas, las que querrá ver y las nubes no se lo permitirán. Haga la cuenta. El número resultante es inquietantemente pequeño.
En homenaje a los que pasan frío cada noche espiando los cielos. Esos cielos que ya apenas se ven, a los que nuestro modo de vida comienza a dar la espalda.

Cuando abrió los ojos, pasó un largo tiempo anonadado con la bola de fuego a la que llamó Sol, la misteriosa cara de la Luna y la serenidad fría de las estrellas. Los cielos le parecían majestuosos, tan alejados de la degradación y mortandad propias de la Tierra que los creyó conformados de algún tipo de esencia especial [éter] y cuya presencia controlaba su propio destino. Dudó si dar más importancia al Sol, que parecía proveer de vida a la Tierra, o a la Tierra misma, que la alojaba; duda que le perseguiría durante mucho tiempo.

Por la noche, todas las estrellas parecían girar en una bóveda esférica de Este a Oeste alrededor de un punto fijo [el eje del mundo]. Pronto se percató de que 5 de ellas -al margen del Sol y la Luna- también se movían, pero más lentamente, en relación a las demás y en sentido contrario. Completaban un ciclo -período- de Oeste a Este sobre las estrellas fijas que era de unos 30 años para la más lenta. Debía ser la que controlaba el tiempo, así que la llamó Cronos [Saturno]. Además, esas estrellas errantes [planetas] retrocedían sorprendentemente hacia el Oeste haciendo bucles para proseguir luego hacia el Este [movimiento retrógrado].

El Sol no siempre salía y se ponía por el mismo lugar del horizonte a excepción de dos momentos al año en los que el día duraba exactamente lo mismo que la noche [equinoccios]. Esos dos acontecimientos le ayudaban a saber cuándo sembrar o recoger lo sembrado. Más tarde, se convencería de que en esos días, el punto por donde el Sol salía en relación con el firmamento, también variaba, a la par que variaba el eje del mundo [precesión] completando un ciclo de unos 26000 años [astronomía maya, Hiparco]. Pensó también que los planetas más lentos en su giro de Oeste a Este debían estar más alejados, y que la Luna, grande, rápida y a merced de fases de iluminación solar se hallaría mucho más cerca.

Poco a poco, se obsesionó con tener un modelo general que lo explicase todo. La matemática le pareció una técnica a la altura de los cielos que observaba, pues sus ideas eran también incorruptibles e inmutables [Escuela Pitagórica]. En concreto, la idea de Círculo, con su mágica propiedad de la equidistancia, se le antojó idónea para describir los giros del cielo [Platón]. Estaba seguro de que la Tierra debía ser aproximadamente esférica, aunque dudó entre hacerla girar de Oeste a Este una vez al día (explicando así el movimiento de Este a Oeste del firmamento) o dejarla inmóvil y hacer girar al propio firmamento. Calculó las dimensiones de la Tierra [Eratóstenes], la Luna y el Sol, colocando al Sol en el centro del Universo [Aristarco].

Pero no se sintió cómodo con esta idea. Hacía tiempo que intentaba simplificar la abrumadora variedad que lo rodeaba mediante unos pocos elementos básicos. Agua, aire, tierra y fuego eran buenos candidatos [tradición griega] y quizá también el metal y la madera [tradición china]. Además, parecía que todo lo conformado de un elemento tendía a reunirse con ese elemento, así como las piedras [graves] caían de modo natural hacia la Tierra desde donde estuvieran, pues estaban formadas de tierra. Este hecho reafirmaba la idea de la Tierra como centro del Universo [geocentrismo], pues sólo desde un centro se atrae de igual modo a todas las partes. Además, pensó que si la Tierra se moviese girando o trasladándose todo saldría volando, incluido él mismo.

Por fin, construyó un modelo donde cada movimiento celeste observado se explicaba como el giro de una esfera que arrastra al cuerpo que gira [esferas homocéntricas]. En algunas versiones de su teoría llegó a considerar 27 esferas [Eudoxo], en otras, 34 [Calipo] y a cada nuevo movimiento detectado e inexplicado añadía una o dos nuevas esferas. Al principio, las utilizó como meras hipótesis matemáticas pero se convenció finalmente de su existencia real, llegando a 56 esferas [Aristóteles]. Deberían ser cristalinas pues no se ven, y con un movimiento que provenga de cada una de las demás, en una propagación ordenada desde la esfera más grande y alejada, la de las fijas, que será movida por un algo necesariamente inmóvil [Primer Motor Inmóvil].

Pero el sistema de esferas le creó serias dificultades pues los planetas deberían estar siempre a igual distancia de la Tierra alojados en su esfera. En cambio, su brillo variaba constantemente, pareciendo acercarse y alejarse con frecuencia. Construyó entonces un nuevo modelo geocéntrico sin esferas basado en combinaciones de círculos para cada planeta denominados epiciclos-deferentes o en órbitas excéntricas de centro variable, dependiendo del planeta considerado [Apolonio, Hiparco].

Después, catalogó más de 1000 estrellas, perfeccionó y unificó el modelo [Ptolomeo] y descansó.

Volvió tiempo después a preocuparse por sus datos que, con los siglos, parecían imprecisos. Diversas veces reescribió el catálogo [Tablas alfonsíes] y vio que los errores se amontonaban y nuevos métodos de observación, inventados por él mismo, le hicieron replantearse el modelo.

Recordó la teoría heliocéntrica y vio que se ajustaba a la extraña danza planetaria igual de bien que la geocéntrica, aunque de un modo conceptualmente más simple [Copérnico]. Ahora ya no estaba convencido de la incorruptibilidad del cielo, pues había tenido mucho tiempo para ver nacer y morir estrellas en cuestión de semanas o meses [novas], cometas que parecían situados más allá de la atmósfera, manchas en el Sol, montañas y valles en la Luna, y satélites en Júpiter [Galileo]. Sus refinadas observaciones [Tycho Brahe] le hicieron descartar las órbitas circulares que tanto había idealizado por órbitas elípticas y encontró relaciones matemáticas entre las distancias y los períodos de los planetas [Kepler].

Aun no estaba del todo convencido, porque si la Tierra se movía y no era el centro del mundo, la caída de los graves debería describirse por igual en cualquier planeta. Necesitó entonces una Teoría de Gravitación a la que llamó Universal, es decir, válida para cualquier centro de gravedad [Newton]. Este modelo predijo la existencia de un nuevo planeta [Neptuno], que más tarde sería localizado confirmando la predicción. Sintió entonces una satisfacción colosal: los éxitos y los descubrimientos se multiplicaban.

A pesar de ello, aparecieron algunas discrepancias con la teoría [precesión del perihelio de Mercurio]. Movido por una serie de acontecimientos de diversa índole, llegó al convencimiento de que no podía considerarse a ningún objeto como quieto o en movimiento de una manera absoluta, sino sólo en relación a otro. Esto aparentaba estar reñido con el hecho de que la velocidad de la luz no parecía depender del movimiento del cuerpo que la emitiera. Ambas ideas le hicieron desarrollar una nueva geometría en la que se mezclaban el espacio y el tiempo [Relatividad Especial, Einstein]. El movimiento acelerado tampoco podía ser absoluto y como los centros de gravedad aceleran a los graves, extendió esa geometría al concepto mismo de gravedad, sustituyendo a la anterior Teoría de Gravitación Universal -que hablaba de incómodas fuerzas a distancia- por una Teoría geométrica de la Gravitación [Relatividad General, Einstein]. Ahora, ya no había fuerzas sino un espacio-tiempo que es curvado por los cuerpos que a su vez se desplazan por esas mismas curvaturas. De nuevo, el modelo resultó eficaz para explicar las discrepancias observadas y propició extraños resultados que pronto serían confirmados.

Uno de ellos venía a decir que el Universo no era estático y que se expandía.

Volvió a dudar de su modelo, pero un análisis de las velocidades de las galaxias le reveló que cuanto más alejadas se encontraban a mayor velocidad se alejaban [Hubble]. Entonces pensó que en el pasado, todo el Universo debió estar reducido a un punto singular, de densidad y temperatura enormes, y como el espacio y el tiempo se entendían unidos en una misma geometría, el uno y el otro debieron generarse a partir de aquel punto [Big Bang]. Creyó en poder detectar algún rastro de esa gran temperatura inicial [Radiación cósmica de fondo], y por casualidad un día la encontró sin buscarla [Penzias, Wilson], y pronto se convenció de su importancia.

¿Y de dónde surgió ese punto? ¿Debía reciclar su vieja idea de un Primer Motor Inmóvil? A menudo, la sustituía por una deidad creadora de todo el Universo, pero ya hacía tiempo que estaba acostumbrado a usar métodos experimentales para corroborar sus teorías y la especulación gratuita no le satisfacía del todo. Pronto, calcularía que en el vacío podían generarse partículas siguiendo extrañas leyes que parecían correctas [Energía de vacío cuántica]. Pensó que tal vez ese punto singular apareció sin más, por pura probabilidad. Esta idea, la de la Probabilidad y su relación con lo que él llamaba Realidad le intrigó de nuevo y la guardó en su pensamiento.

Otro de aquellos extraños resultados predecía la existencia de objetos tan pesados que la curvatura que provocaban al espacio-tiempo le hacía doblarse sobre sí mismo, transformándose en un sumidero donde todo era engullido, incluída la luz [Agujero Negro].

Ahora, ya no se dedicaba en exclusiva a la observación del cielo; hacía tiempo que combinaba esa actividad con múltiples estudios de todo tipo, que realimentaban una y otra vez las teorías de cada uno de ellos.

Envió instrumentos al espacio, máquinas exploradoras e incluso él mismo viajó fuera de la Tierra y pisó la Luna legendaria. Fue entonces, observando a la azulada Tierra salir por el horizonte lunar, que recordó maravillado aquella primera noche en la que se irguió más que de costumbre, abrió bien los ojos, miró al cielo y supo que ya nunca más sería el mismo de antes.

Feliz Año Internacional de la Astronomía 2009

PD: En este artículo no encontrará fotografías de la Luna. Mejor, salga a verla.

PPD: El orden de los acontecimientos no es exactamente cronológico en algunos casos y la exagerada linealidad de los mismos se ha utilizado con fines divulgativos... :-)

Elogio a Tycho

Posiblemente, el danés Tycho Brahe fue el más grande observador del firmamento de todos los tiempos, además de un personaje peculiar. Entre otros avatares de la vida, perdió parte de su nariz en un duelo por disputas matemáticas a la edad de 20 años, lo que le obligó a llevar una prótesis metálica de por vida. Su obsesión por la sistematización de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes -antes del uso del telescopio- lo llevó a reunir los datos más precisos y avanzados de su época a lo largo de 30 años, con el margen de error más pequeño jamás conseguido: de 1' de arco en las posiciones planetarias.

A menudo, Tycho es recordado por su negativa a aceptar el modelo heliocéntrico de Copérnico, quizá por una actitud conservadora. Pero es más una cuestión de coherencia experimental la que le impide desechar una Tierra inmóvil en el centro del Universo, hasta el punto de elaborar un nuevo modelo de compromiso, a caballo entre el de Ptolomeo (geocéntrico) y el de Copérnico (heliocéntrico). Pero, para comprender los razonamientos de Tycho, debemos explicar antes lo que es el Paralaje.

Paralaje ocular

Observemos un objeto cercano, tal como un jarrón en el centro de la habitación. Si cerramos alternativamente los dos ojos veremos que la posición del jarrón respecto de la pared del fondo varía. Nuestros dos puntos de observación, los dos ojos, están separados unos pocos centímetros.

Esta distancia es suficientemente grande en comparación con la distancia al jarrón para que influya en la observación. En la figura 1 podemos ver que el ángulo p nos permite encontrar la distancia al jarrón, utilizando la definición de tangente de un ángulo. Este ángulo es denominado Paralaje y nuestra Base para definirlo es B, la mitad de la distancia entre los dos ojos.
Si la pared del fondo fuera una bóveda esférica graduada, podríamos leer rápidamente la diferencia en grados, minutos y segundos entre una localización y otra del jarrón...

Paralaje diurno

Observemos ahora la Luna en la figura 2. Podemos tomar como base el Radio terrestre (Rt = 6378 Km) y de fondo las estrellas del firmamento. Anotamos la posición de la Luna a distintas horas con una diferencia de 12h. De este modo, estamos observándola desde dos posiciones opuestas respecto del firmamento, la 1 y la 2 ¡y sin movernos de casa!. [De hecho, deberíamos corregir aquí el movimiento que habrá efectuado la Luna en esas 12h y el de traslación de la Tierra. Otra opción sería tomar dos medidas simultáneas desde dos observatorios en lados opuestos de la Tierra]

El paralaje p medido de este modo, es aproximadamente de 1º. Así pues, conocido el Radio terrestre, obtenemos una distancia a la Luna de unos D = (Rt / tan 1º) = 365395 Km.
Con este método, también observamos una paralaje diurno de unos 9'' en el Sol, lo que nos da una distancia de unos 146 Millones de Km.

Paralaje anual

Vayamos algo más lejos. Supongamos que la Tierra orbita alrededor del Sol y que, por tanto, se mueve en relación al firmamento. En este caso, observaremos paralaje en una estrella que se encuentre más cerca que el resto si tomamos como base la distancia Tierra-Sol, que es usada como patrón y denominada Unidad Astronómica (149 500 000 Km = 1 UA). Las dos observaciones deberán realizarse ahora con un intervalo de unos 6 meses.

Fijémonos en la figura 3. Podemos aproximar tan p = p debido al paralaje cada vez más pequeño. Por otro lado, nos daría igual que todas las estrellas del firmamento se encontraran a la misma distancia en una orbe esférica fija. En tal caso, deberíamos observar variaciones entre sus distancias relativas, es decir, ligeras deformaciones en las constelaciones a lo largo del año. Dependiendo de dónde se encuentre la estrella a estudiar, en vez de tomar los puntos 1 y 2 de la órbita terrestre, podríamos tomar dos puntos a medio camino entre ellos, o cualesquiera otro par y trazar la observación en cualquier dirección del firmamento. Nuestra base seguiría siendo, como una aceptable aproximación, de 1 UA.

Se ha definido el parsec (paralaje-segundo, en inglés) como aquella distancia D a una estrella cuyo paralaje es de 1'' de arco cuando éste es medido con una base de 1 UA, es decir, tomando como base el radio medio de la órbita terrestre. 1 parsec (1 pc) equivale a unos 3,24 años luz. Así, la distancia (en pc) vendrá dada por el inverso del paralaje (en segundos de arco).

Vemos cómo la existencia de Paralaje nos permite calcular la distancia al objeto observado. Ahora bien, la no existencia de Paralaje -tomando una base determinada- también nos informa de algo: de que esa base que pretendíamos tomar no es suficiente para medir ninguna distancia porque, o bien es demasiado pequeña en comparación con ella o bien los dos puntos tomados para realizar las medidas (por ejemplo, dos posiciones diferentes de un planeta en una órbita alrededor del Sol) son en realidad el mismo punto (luego, no hay órbita).

El encuentro Tycho-Kepler

Sería un buen guión para una gran película: el año y medio de colaboración entre Tycho Brahe y Johannes Kepler en Praga a petición del primero en 1600. Ésta duraría hasta la muerte de Tycho por explosión e infección de vejiga(!), posiblemente agravada por altas dosis de Mercurio en la sangre, tan aficionado como era a la alquimia. (¿O quizá lo envenenó Kepler para hacerse con sus datos?).
No parece que fuera fácil la relación entre ambos. Kepler, seducido por el modelo heliocéntrico de Copérnico, con una gran capacidad de interpretación matemática y ávido de aplicarla; Tycho, ya consagrado, reacio a aceptar la traslación de la Tierra y a facilitar todos sus datos a un joven colaborador que pretendería tomarlos para demostrar un modelo de Universo que no era el suyo.
Kepler era un convencido platónico, hasta el punto de haber basado su primera obra Mysterium Cosmographicum (1596) en un modelo heliocéntrico donde el encaje de los diversos poliedros regulares en las orbes planetarias pretendía dar fe de las distancias de los 6 planetas al Sol. El alemán anhelaba dar con la causa matemática del orden subyacente del firmamento, ya fuera con poliedros o con la teoría que mejor se acomodase a los datos. Y los Datos estaban en Praga y en posesión de Brahe.
Tras la muerte de Tycho en 1601, Kepler se hace con todas las anotaciones, y promete al danés en su lecho de muerte que aplicará los datos para dilucidar con éxito las cuestiones astronómicas, como el movimiento retrógrado de Marte. Finalmente, cumplirá la promesa, aunque no corroborará el modelo de Universo de Tycho sino el de Copérnico y el suyo propio, donde las órbitas serán elípticas y no circulares, y los períodos planetarios tendrán una relación numérica simple con las distancias al Sol, al más puro estilo pitagórico.

La precisión de Tycho

Tycho es una bisagra que no se abre a la reciente moda heliocéntrica, pero tampoco profesa la geocéntrica de un modo irracional. Es el juez que simboliza lo experimental, con la mayor precisión posible en aquel momento: la del minuto de arco. Es capaz de discutir con autoridad experimental el modelo heliocéntrico, herético para muchos, pues nadie como él ha observado y anotado lo que en realidad está ocurriendo ahí arriba, en el firmamento.

Tycho admira a Copérnico y a Kepler pero es él el que viene escuchando los cielos desde los tiempos del palacio-observatorio Uranienburg, en la isla de Hven, antes de ser acogido por el Rey Rodolfo II en Praga. Y lo que los cielos le decían, con una precisión de hasta 1' es que no había detección alguna de paralaje en las estrellas fijas. Nunca la había habido, y desde tiempos de Aristarco éste fue un argumento de peso contra las teorías heliocéntricas. ¿Cómo puede estar la Tierra en movimiento respecto las estrellas y no detectar paralaje en las posiciones de éstas? Y si tal movimiento diera lugar a un paralaje de menos de 1' de arco -indetectable por Tycho-, eso implicaría que el Universo es increíblemente más grande de lo que el gran Ptolomeo afirmó en el Almagesto, pues la distancia a las estrellas fijas sería entonces enorme. En cambio, una Tierra inmóvil es más coherente con las observaciones de Tycho, que situará a la Luna y al Sol orbitando a su alrededor. Su razonamiento es impecable, anclado en lo experimental y en un argumento basado en la autoridad de Ptolomeo. A pesar de ello, sí aceptará que el resto de planetas orbiten alrededor del Sol. El sistema geocéntrico llevaba ya mucho tiempo enmarañándose con filigranas geométricas (basabas en combinaciones de círculos) para explicar los extraños movimientos planetarios.

Pero, ciertamente, la Tierra se mueve y el Universo es enorme, así que nos encontramos con paralajes en las estrellas de menos de 1'', lo cual es utilizado para medir sus distancias con el patrón del parsec. Podemos calcular que Alfa Centauri, la estrella con el paralaje más grande, 0,76'', y por tanto, la más próxima, se encuentra a tan sólo 4,3 años luz de distancia ya que (1 / 0,76'' )= 1,315 pc.
El paralaje anual estelar no comenzó a medirse hasta 1838, cuando la potencia de los telescopios lo permitió. Otros efectos del movimiento terrestre ya habían sido detectados, como la aberración de la luz, unos 100 años antes.

Resulta irónico que la misma precisión que tanto obsesionó a Tycho, acabe dándole la razón a Kepler y al heliocentrismo. Cuando Kepler aplica el viejo modelo de los ecuantes en órbitas circulares para calcular la órbita de Marte, los datos de Tycho no le cuadran. Obtiene errores en las posiciones de Marte de hasta 8'. Imposible. Si las medidas utilizadas fueran de otro, con errores habituales para la época de justamente 8', este desacuerdo podría ser achacado al error experimental. Pero son las de Tycho, de 1' de error máximo, luego el desacuerdo debe ser fruto del modelo matemático utilizado. Es la premisa de que las órbitas son circulares la que debe estar errada. Kepler probará diferentes modelos de órbitas hasta dar con la elipse, que se ajustó a la perfección. Colocando a la Tierra como un planeta más orbitando también a lo largo de una elipse y el Sol en uno de sus focos, los datos se ajustan correctamente a lo observado y se resuelve, entre otros, el enigma del movimiento marciano, al menos hasta ese error de 1' de arco que sí es experimental.

Sin la precisión de Tycho, no habría habido necesidad de desechar las órbitas circulares. Desde luego, a nadie se le habría ocurrido -y mucho menos a Kepler- poner en tela de juicio la magnificencia del Círculo: hubiera sido como cuestionar al mismísimo Platón. Y es justamente un neoplatónico como él quien relegará al Círculo a la trastienda de la nueva astronomía.

La historia de Brahe y Kepler es un ejemplo de la importancia del error en las medidas y de cómo el juego de los modelos del mundo se vio sometido al juicio -aunque no sumarísimo- de los datos experimentales.

Esperemos que pueda verse pronto en las mejores pantallas.