Ratones, electrones y la paradoja de De Broglie

¿Cuál es el sentido de la Probabilidad en Mecánica Cuántica?

La paradoja de De Broglie fue un intento de mostrar la necesaria incompletitud de la Mecánica Cuántica. Es decir, evidenciar que la función de onda de un sistema no puede contener toda la información del mismo, a no ser que estemos dispuestos a renunciar a la realidad objetiva de los sistemas cuánticos. Para entender esta paradoja y la solución dada por la escuela de Copenhague, en mi opinión, primero debemos entender el concepto de Probabilidad de los mundos clásico y cuántico… y para ello nos va a ayudar el mismísimo Trotsky!

Un ratón escurridizo...

Consideremos a Trotsky, un ratoncito inquieto que puede moverse a lo largo de una caja grande cerrada introducida en una bolsa. La situación inicial es clara: si abrimos la caja en cualquier instante de tiempo, hallaremos a Trotsky dentro de ella el 100% de las veces. Esto puede expresarse así:

P (caja grande) = 1

Pero ésta es una caja especial, ya que podemos dividirla en dos partes cerrando una compuerta intermedia cuidadosamente (¡para evitar lastimar al ratón!)
De este modo, Iván y Edu (persuadidos por Stalin) introducen sus manos en la bolsa y dividen la caja inicial en las dos mitades A y B, siempre mediante el cierre de la compuerta con sumo cuidado. Iván se lleva la caja A a su casa y Edu hace lo propio con la B.
¿Qué probabilidad hay de encontrar al ratón en cualquiera de las dos cajas? Como hay 2 cajas posibles en las que puede hallarse, la Probabilidad en cada una es del 50%. Es decir:

P(A) = P(B) = ½

Ahora, Iván abre su caja A en un instante de tiempo t y encuentra allí a Trotsky (ver foto!). ¿Qué ha ocurrido con las Probabilidades? El conocimiento adquirido de que Trotsky se halla en A hace que la probabilidad de hallarlo en B a partir de ahora sea nula. Por lo tanto,

P(A) = 1
P(B) = 0
para todo tiempo posterior a t

Es importante ver que las Probabilidades han cambiado a partir del instante t, en el que hemos efectuado una observación y hemos obtenido más información sobre la ubicación de Trotsky. (El lector podría objetar que estamos hablando sólo desde el punto de vista de Iván, que es el que obtiene el conocimiento al efectuar la observación. Desde luego, el envío de esa información a Edu requeriría de un tiempo, a priori, no nulo.)

Y a todo esto, ¿qué podemos decir de Trotsky? Trotsky es un animalillo feliz cuya existencia no depende en absoluto del hecho de que hayan cambiado las Probabilidades P(A) y P(B), es decir, no depende de que nuestros amigos hallan efectuado alguna observación para localizarlo en sus respectivas cajas…

Un electrón aún más escurridizo...

Veamos qué ocurre cuando el objeto de estudio en este mismo ejemplo es un objeto cuántico (por ejemplo, una partícula atómica como un electrón) Ésta es la paradoja de De Broglie.

Según la Mecánica Cuántica, todo el conocimiento que podemos tener de un electrón nos viene dado por una función § llamada función de onda. [En el esquema hay otro símbolo, la letra griega phi que no pude escribir en el texto. Phi es la letra habitual]. Esta función no es directamente observable ni contrastable mediante medidas ya que se trata de una función compleja. No obstante, efectuando una determinada operación con §, en concreto, "integrando a todo un volumen el cuadrado de su módulo", sí obtenemos un número real y éste es interpretado como la Probabilidad de presencia de dicho electrón en ese volumen. Para simplificar, diremos que:

P = │§│²

Como en el caso del ratón Trotsky, supongamos un electrón en una caja de volumen V susceptible de ser dividida en dos partes. Inicialmente, la Probabilidad de encontrar al electrón en la caja tras efectuar una observación, es del 100%

P(caja grande) = 1

Ahora, dividimos la caja en dos mitades, A y B. Podemos hacerlo con menos escrúpulos que antes! Como en el caso de Trotsky, la probabilidad de hallar al electrón en cualquiera de ellas es del 50% o tal vez no, depende de si el proceso de división de la caja introdujo alguna variación inesperada. Pero eso no importa, la cuestión es que ambas probabilidades,

P(A) y P(B) deben sumar 1.

No sólo eso, sino que ahora el estado del sistema cuántico electrón se describe mediante dos funciones de onda, §a y §b, cada una de ellas definidas en los volúmenes de A y B. A priori, estas funciones no nos aportan información sobre dónde está el electrón, de modo que no podemos afirmar nada de su localización a partir exclusivamente de ellas.

Si Iván abre su caja A en un tiempo t y halla al electrón, ocurre algo aparentemente inexplicable si aceptamos nuestras premisas iniciales. Es evidente que ahora,

P(A) = 1
P(B) = 0

para todo instante posterior a t.

Podemos hallar esas probabilidades según la integral de volumen del módulo al cuadrado de §a y §b, y sabemos ahora que P(B) = 0. Entonces, P(B) =│§b│² = 0, y esto implica que §b debe anularse también para todo instante posterior a t. ¿Pero cómo hemos definido a la función de onda en general? ¿No contiene toda la información del electrón en un volumen, en este caso el volumen B?

Podríamos pensar que §b se anulaba también para todo instante anterior a t. De modo que el electrón estaba realmente en A durante todo el tiempo tras la separación de la caja. Si adoptamos este modo de pensar, -que es el que teníamos con el ratoncito Trotsky-, llegaremos a la conclusión de que la información de dónde se hallaba el electrón debía de estar contenida de algún modo en las funciones §a y §b mediante alguna variable desconocida u oculta para nosotros.

He aquí la paradoja: La función de onda contiene toda la información sobre el electrón pero ahora hemos llegamos a la conclusión de que debía de faltar algo más que desconocíamos si pretendemos afirmar que el electrón estaba realmente en un lugar u otro antes de la observación.

Dicho de otro modo, la noción de existencia del electrón (como en el ejemplo del ratón) en el espacio y el tiempo no es compatible con la premisa de que § contiene toda la información del sistema. Sólo podemos hablar de localización del electrón si éste fue observado. No es que no podamos hablar de su localización porque desconozcamos aún dónde está, sino que el concepto mismo de localización antes de la observación es incompatible con el formalismo cuántico. Debemos pues decir que el concepto real de electrón se difumina y admitir que éste existía tanto en A como en B antes del instante t, y sólo tras la observación hemos fijado su posición en A ó en B.

Por el contrario, si negamos esto y nos empeñamos en mantener una posición realista, debemos decir que la teoría cuántica es incompleta ya que § no contiene toda la información del sistema.

¿Pero, cómo demonios hemos llegado a esto?

La base de estas diferencias entre el mundo clásico y cuántico radica en nuestra definición de probabilidad. Habitualmente calculamos probabilidades según la regla

P(A) = Casos favorables / Casos posibles

Esto no tiene ninguna implicación sobre A, el suceso mismo que estamos estudiando. Aquí P(A) es un peso estadístico clásico, no es nada real y como vimos, no le suponía ningún trastorno al pobrecito Trotsky.

En cambio, en el mundo cuántico, P(A) depende de §a, por lo que un cambio en P(A) sí implica un cambio en el valor de §a, que es por definición toda la descripción del sistema mismo que estamos observando en el volumen de A. Aunque la suma de probabilidades cuánticas sea 1 y estén construidas de un modo coherente desde el punto de vista matemático, no son probabilidades al estilo clásico, sino otra cosa más profunda que roza el límite de lo real con aquello que no podemos definir...

NOTA 1: │§│² es en realidad una densidad de probabilidad, ya que si la multiplicamos por el volumen, obtenemos la Probabilidad de presencia en todo el volumen, en analogía con la densidad de masa habitual, cuyo producto con el volumen nos devuelve la masa.