Breve historia de la astronomía

¿Se ha planteado usted cuántas lunas llenas verá en su vida? Tenga en cuenta las que no verá por estar demasiado ocupado, las que pasarán desapercibidas, las que querrá ver y las nubes no se lo permitirán. Haga la cuenta. El número resultante es inquietantemente pequeño.
En homenaje a los que pasan frío cada noche espiando los cielos. Esos cielos que ya apenas se ven, a los que nuestro modo de vida comienza a dar la espalda.

Cuando abrió los ojos, pasó un largo tiempo anonadado con la bola de fuego a la que llamó Sol, la misteriosa cara de la Luna y la serenidad fría de las estrellas. Los cielos le parecían majestuosos, tan alejados de la degradación y mortandad propias de la Tierra que los creyó conformados de algún tipo de esencia especial [éter] y cuya presencia controlaba su propio destino. Dudó si dar más importancia al Sol, que parecía proveer de vida a la Tierra, o a la Tierra misma, que la alojaba; duda que le perseguiría durante mucho tiempo.

Por la noche, todas las estrellas parecían girar en una bóveda esférica de Este a Oeste alrededor de un punto fijo [el eje del mundo]. Pronto se percató de que 5 de ellas -al margen del Sol y la Luna- también se movían, pero más lentamente, en relación a las demás y en sentido contrario. Completaban un ciclo -período- de Oeste a Este sobre las estrellas fijas que era de unos 30 años para la más lenta. Debía ser la que controlaba el tiempo, así que la llamó Cronos [Saturno]. Además, esas estrellas errantes [planetas] retrocedían sorprendentemente hacia el Oeste haciendo bucles para proseguir luego hacia el Este [movimiento retrógrado].

El Sol no siempre salía y se ponía por el mismo lugar del horizonte a excepción de dos momentos al año en los que el día duraba exactamente lo mismo que la noche [equinoccios]. Esos dos acontecimientos le ayudaban a saber cuándo sembrar o recoger lo sembrado. Más tarde, se convencería de que en esos días, el punto por donde el Sol salía en relación con el firmamento, también variaba, a la par que variaba el eje del mundo [precesión] completando un ciclo de unos 26000 años [astronomía maya, Hiparco]. Pensó también que los planetas más lentos en su giro de Oeste a Este debían estar más alejados, y que la Luna, grande, rápida y a merced de fases de iluminación solar se hallaría mucho más cerca.

Poco a poco, se obsesionó con tener un modelo general que lo explicase todo. La matemática le pareció una técnica a la altura de los cielos que observaba, pues sus ideas eran también incorruptibles e inmutables [Escuela Pitagórica]. En concreto, la idea de Círculo, con su mágica propiedad de la equidistancia, se le antojó idónea para describir los giros del cielo [Platón]. Estaba seguro de que la Tierra debía ser aproximadamente esférica, aunque dudó entre hacerla girar de Oeste a Este una vez al día (explicando así el movimiento de Este a Oeste del firmamento) o dejarla inmóvil y hacer girar al propio firmamento. Calculó las dimensiones de la Tierra [Eratóstenes], la Luna y el Sol, colocando al Sol en el centro del Universo [Aristarco].

Pero no se sintió cómodo con esta idea. Hacía tiempo que intentaba simplificar la abrumadora variedad que lo rodeaba mediante unos pocos elementos básicos. Agua, aire, tierra y fuego eran buenos candidatos [tradición griega] y quizá también el metal y la madera [tradición china]. Además, parecía que todo lo conformado de un elemento tendía a reunirse con ese elemento, así como las piedras [graves] caían de modo natural hacia la Tierra desde donde estuvieran, pues estaban formadas de tierra. Este hecho reafirmaba la idea de la Tierra como centro del Universo [geocentrismo], pues sólo desde un centro se atrae de igual modo a todas las partes. Además, pensó que si la Tierra se moviese girando o trasladándose todo saldría volando, incluido él mismo.

Por fin, construyó un modelo donde cada movimiento celeste observado se explicaba como el giro de una esfera que arrastra al cuerpo que gira [esferas homocéntricas]. En algunas versiones de su teoría llegó a considerar 27 esferas [Eudoxo], en otras, 34 [Calipo] y a cada nuevo movimiento detectado e inexplicado añadía una o dos nuevas esferas. Al principio, las utilizó como meras hipótesis matemáticas pero se convenció finalmente de su existencia real, llegando a 56 esferas [Aristóteles]. Deberían ser cristalinas pues no se ven, y con un movimiento que provenga de cada una de las demás, en una propagación ordenada desde la esfera más grande y alejada, la de las fijas, que será movida por un algo necesariamente inmóvil [Primer Motor Inmóvil].

Pero el sistema de esferas le creó serias dificultades pues los planetas deberían estar siempre a igual distancia de la Tierra alojados en su esfera. En cambio, su brillo variaba constantemente, pareciendo acercarse y alejarse con frecuencia. Construyó entonces un nuevo modelo geocéntrico sin esferas basado en combinaciones de círculos para cada planeta denominados epiciclos-deferentes o en órbitas excéntricas de centro variable, dependiendo del planeta considerado [Apolonio, Hiparco].

Después, catalogó más de 1000 estrellas, perfeccionó y unificó el modelo [Ptolomeo] y descansó.

Volvió tiempo después a preocuparse por sus datos que, con los siglos, parecían imprecisos. Diversas veces reescribió el catálogo [Tablas alfonsíes] y vio que los errores se amontonaban y nuevos métodos de observación, inventados por él mismo, le hicieron replantearse el modelo.

Recordó la teoría heliocéntrica y vio que se ajustaba a la extraña danza planetaria igual de bien que la geocéntrica, aunque de un modo conceptualmente más simple [Copérnico]. Ahora ya no estaba convencido de la incorruptibilidad del cielo, pues había tenido mucho tiempo para ver nacer y morir estrellas en cuestión de semanas o meses [novas], cometas que parecían situados más allá de la atmósfera, manchas en el Sol, montañas y valles en la Luna, y satélites en Júpiter [Galileo]. Sus refinadas observaciones [Tycho Brahe] le hicieron descartar las órbitas circulares que tanto había idealizado por órbitas elípticas y encontró relaciones matemáticas entre las distancias y los períodos de los planetas [Kepler].

Aun no estaba del todo convencido, porque si la Tierra se movía y no era el centro del mundo, la caída de los graves debería describirse por igual en cualquier planeta. Necesitó entonces una Teoría de Gravitación a la que llamó Universal, es decir, válida para cualquier centro de gravedad [Newton]. Este modelo predijo la existencia de un nuevo planeta [Neptuno], que más tarde sería localizado confirmando la predicción. Sintió entonces una satisfacción colosal: los éxitos y los descubrimientos se multiplicaban.

A pesar de ello, aparecieron algunas discrepancias con la teoría [precesión del perihelio de Mercurio]. Movido por una serie de acontecimientos de diversa índole, llegó al convencimiento de que no podía considerarse a ningún objeto como quieto o en movimiento de una manera absoluta, sino sólo en relación a otro. Esto aparentaba estar reñido con el hecho de que la velocidad de la luz no parecía depender del movimiento del cuerpo que la emitiera. Ambas ideas le hicieron desarrollar una nueva geometría en la que se mezclaban el espacio y el tiempo [Relatividad Especial, Einstein]. El movimiento acelerado tampoco podía ser absoluto y como los centros de gravedad aceleran a los graves, extendió esa geometría al concepto mismo de gravedad, sustituyendo a la anterior Teoría de Gravitación Universal -que hablaba de incómodas fuerzas a distancia- por una Teoría geométrica de la Gravitación [Relatividad General, Einstein]. Ahora, ya no había fuerzas sino un espacio-tiempo que es curvado por los cuerpos que a su vez se desplazan por esas mismas curvaturas. De nuevo, el modelo resultó eficaz para explicar las discrepancias observadas y propició extraños resultados que pronto serían confirmados.

Uno de ellos venía a decir que el Universo no era estático y que se expandía.

Volvió a dudar de su modelo, pero un análisis de las velocidades de las galaxias le reveló que cuanto más alejadas se encontraban a mayor velocidad se alejaban [Hubble]. Entonces pensó que en el pasado, todo el Universo debió estar reducido a un punto singular, de densidad y temperatura enormes, y como el espacio y el tiempo se entendían unidos en una misma geometría, el uno y el otro debieron generarse a partir de aquel punto [Big Bang]. Creyó en poder detectar algún rastro de esa gran temperatura inicial [Radiación cósmica de fondo], y por casualidad un día la encontró sin buscarla [Penzias, Wilson], y pronto se convenció de su importancia.

¿Y de dónde surgió ese punto? ¿Debía reciclar su vieja idea de un Primer Motor Inmóvil? A menudo, la sustituía por una deidad creadora de todo el Universo, pero ya hacía tiempo que estaba acostumbrado a usar métodos experimentales para corroborar sus teorías y la especulación gratuita no le satisfacía del todo. Pronto, calcularía que en el vacío podían generarse partículas siguiendo extrañas leyes que parecían correctas [Energía de vacío cuántica]. Pensó que tal vez ese punto singular apareció sin más, por pura probabilidad. Esta idea, la de la Probabilidad y su relación con lo que él llamaba Realidad le intrigó de nuevo y la guardó en su pensamiento.

Otro de aquellos extraños resultados predecía la existencia de objetos tan pesados que la curvatura que provocaban al espacio-tiempo le hacía doblarse sobre sí mismo, transformándose en un sumidero donde todo era engullido, incluída la luz [Agujero Negro].

Ahora, ya no se dedicaba en exclusiva a la observación del cielo; hacía tiempo que combinaba esa actividad con múltiples estudios de todo tipo, que realimentaban una y otra vez las teorías de cada uno de ellos.

Envió instrumentos al espacio, máquinas exploradoras e incluso él mismo viajó fuera de la Tierra y pisó la Luna legendaria. Fue entonces, observando a la azulada Tierra salir por el horizonte lunar, que recordó maravillado aquella primera noche en la que se irguió más que de costumbre, abrió bien los ojos, miró al cielo y supo que ya nunca más sería el mismo de antes.

Feliz Año Internacional de la Astronomía 2009

PD: En este artículo no encontrará fotografías de la Luna. Mejor, salga a verla.

PPD: El orden de los acontecimientos no es exactamente cronológico en algunos casos y la exagerada linealidad de los mismos se ha utilizado con fines divulgativos... :-)

Elogio a Tycho

Posiblemente, el danés Tycho Brahe fue el más grande observador del firmamento de todos los tiempos, además de un personaje peculiar. Entre otros avatares de la vida, perdió parte de su nariz en un duelo por disputas matemáticas a la edad de 20 años, lo que le obligó a llevar una prótesis metálica de por vida. Su obsesión por la sistematización de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes -antes del uso del telescopio- lo llevó a reunir los datos más precisos y avanzados de su época a lo largo de 30 años, con el margen de error más pequeño jamás conseguido: de 1' de arco en las posiciones planetarias.

A menudo, Tycho es recordado por su negativa a aceptar el modelo heliocéntrico de Copérnico, quizá por una actitud conservadora. Pero es más una cuestión de coherencia experimental la que le impide desechar una Tierra inmóvil en el centro del Universo, hasta el punto de elaborar un nuevo modelo de compromiso, a caballo entre el de Ptolomeo (geocéntrico) y el de Copérnico (heliocéntrico). Pero, para comprender los razonamientos de Tycho, debemos explicar antes lo que es el Paralaje.

Paralaje ocular

Observemos un objeto cercano, tal como un jarrón en el centro de la habitación. Si cerramos alternativamente los dos ojos veremos que la posición del jarrón respecto de la pared del fondo varía. Nuestros dos puntos de observación, los dos ojos, están separados unos pocos centímetros.

Esta distancia es suficientemente grande en comparación con la distancia al jarrón para que influya en la observación. En la figura 1 podemos ver que el ángulo p nos permite encontrar la distancia al jarrón, utilizando la definición de tangente de un ángulo. Este ángulo es denominado Paralaje y nuestra Base para definirlo es B, la mitad de la distancia entre los dos ojos.
Si la pared del fondo fuera una bóveda esférica graduada, podríamos leer rápidamente la diferencia en grados, minutos y segundos entre una localización y otra del jarrón...

Paralaje diurno

Observemos ahora la Luna en la figura 2. Podemos tomar como base el Radio terrestre (Rt = 6378 Km) y de fondo las estrellas del firmamento. Anotamos la posición de la Luna a distintas horas con una diferencia de 12h. De este modo, estamos observándola desde dos posiciones opuestas respecto del firmamento, la 1 y la 2 ¡y sin movernos de casa!. [De hecho, deberíamos corregir aquí el movimiento que habrá efectuado la Luna en esas 12h y el de traslación de la Tierra. Otra opción sería tomar dos medidas simultáneas desde dos observatorios en lados opuestos de la Tierra]

El paralaje p medido de este modo, es aproximadamente de 1º. Así pues, conocido el Radio terrestre, obtenemos una distancia a la Luna de unos D = (Rt / tan 1º) = 365395 Km.
Con este método, también observamos una paralaje diurno de unos 9'' en el Sol, lo que nos da una distancia de unos 146 Millones de Km.

Paralaje anual

Vayamos algo más lejos. Supongamos que la Tierra orbita alrededor del Sol y que, por tanto, se mueve en relación al firmamento. En este caso, observaremos paralaje en una estrella que se encuentre más cerca que el resto si tomamos como base la distancia Tierra-Sol, que es usada como patrón y denominada Unidad Astronómica (149 500 000 Km = 1 UA). Las dos observaciones deberán realizarse ahora con un intervalo de unos 6 meses.

Fijémonos en la figura 3. Podemos aproximar tan p = p debido al paralaje cada vez más pequeño. Por otro lado, nos daría igual que todas las estrellas del firmamento se encontraran a la misma distancia en una orbe esférica fija. En tal caso, deberíamos observar variaciones entre sus distancias relativas, es decir, ligeras deformaciones en las constelaciones a lo largo del año. Dependiendo de dónde se encuentre la estrella a estudiar, en vez de tomar los puntos 1 y 2 de la órbita terrestre, podríamos tomar dos puntos a medio camino entre ellos, o cualesquiera otro par y trazar la observación en cualquier dirección del firmamento. Nuestra base seguiría siendo, como una aceptable aproximación, de 1 UA.

Se ha definido el parsec (paralaje-segundo, en inglés) como aquella distancia D a una estrella cuyo paralaje es de 1'' de arco cuando éste es medido con una base de 1 UA, es decir, tomando como base el radio medio de la órbita terrestre. 1 parsec (1 pc) equivale a unos 3,24 años luz. Así, la distancia (en pc) vendrá dada por el inverso del paralaje (en segundos de arco).

Vemos cómo la existencia de Paralaje nos permite calcular la distancia al objeto observado. Ahora bien, la no existencia de Paralaje -tomando una base determinada- también nos informa de algo: de que esa base que pretendíamos tomar no es suficiente para medir ninguna distancia porque, o bien es demasiado pequeña en comparación con ella o bien los dos puntos tomados para realizar las medidas (por ejemplo, dos posiciones diferentes de un planeta en una órbita alrededor del Sol) son en realidad el mismo punto (luego, no hay órbita).

El encuentro Tycho-Kepler

Sería un buen guión para una gran película: el año y medio de colaboración entre Tycho Brahe y Johannes Kepler en Praga a petición del primero en 1600. Ésta duraría hasta la muerte de Tycho por explosión e infección de vejiga(!), posiblemente agravada por altas dosis de Mercurio en la sangre, tan aficionado como era a la alquimia. (¿O quizá lo envenenó Kepler para hacerse con sus datos?).
No parece que fuera fácil la relación entre ambos. Kepler, seducido por el modelo heliocéntrico de Copérnico, con una gran capacidad de interpretación matemática y ávido de aplicarla; Tycho, ya consagrado, reacio a aceptar la traslación de la Tierra y a facilitar todos sus datos a un joven colaborador que pretendería tomarlos para demostrar un modelo de Universo que no era el suyo.
Kepler era un convencido platónico, hasta el punto de haber basado su primera obra Mysterium Cosmographicum (1596) en un modelo heliocéntrico donde el encaje de los diversos poliedros regulares en las orbes planetarias pretendía dar fe de las distancias de los 6 planetas al Sol. El alemán anhelaba dar con la causa matemática del orden subyacente del firmamento, ya fuera con poliedros o con la teoría que mejor se acomodase a los datos. Y los Datos estaban en Praga y en posesión de Brahe.
Tras la muerte de Tycho en 1601, Kepler se hace con todas las anotaciones, y promete al danés en su lecho de muerte que aplicará los datos para dilucidar con éxito las cuestiones astronómicas, como el movimiento retrógrado de Marte. Finalmente, cumplirá la promesa, aunque no corroborará el modelo de Universo de Tycho sino el de Copérnico y el suyo propio, donde las órbitas serán elípticas y no circulares, y los períodos planetarios tendrán una relación numérica simple con las distancias al Sol, al más puro estilo pitagórico.

La precisión de Tycho

Tycho es una bisagra que no se abre a la reciente moda heliocéntrica, pero tampoco profesa la geocéntrica de un modo irracional. Es el juez que simboliza lo experimental, con la mayor precisión posible en aquel momento: la del minuto de arco. Es capaz de discutir con autoridad experimental el modelo heliocéntrico, herético para muchos, pues nadie como él ha observado y anotado lo que en realidad está ocurriendo ahí arriba, en el firmamento.

Tycho admira a Copérnico y a Kepler pero es él el que viene escuchando los cielos desde los tiempos del palacio-observatorio Uranienburg, en la isla de Hven, antes de ser acogido por el Rey Rodolfo II en Praga. Y lo que los cielos le decían, con una precisión de hasta 1' es que no había detección alguna de paralaje en las estrellas fijas. Nunca la había habido, y desde tiempos de Aristarco éste fue un argumento de peso contra las teorías heliocéntricas. ¿Cómo puede estar la Tierra en movimiento respecto las estrellas y no detectar paralaje en las posiciones de éstas? Y si tal movimiento diera lugar a un paralaje de menos de 1' de arco -indetectable por Tycho-, eso implicaría que el Universo es increíblemente más grande de lo que el gran Ptolomeo afirmó en el Almagesto, pues la distancia a las estrellas fijas sería entonces enorme. En cambio, una Tierra inmóvil es más coherente con las observaciones de Tycho, que situará a la Luna y al Sol orbitando a su alrededor. Su razonamiento es impecable, anclado en lo experimental y en un argumento basado en la autoridad de Ptolomeo. A pesar de ello, sí aceptará que el resto de planetas orbiten alrededor del Sol. El sistema geocéntrico llevaba ya mucho tiempo enmarañándose con filigranas geométricas (basabas en combinaciones de círculos) para explicar los extraños movimientos planetarios.

Pero, ciertamente, la Tierra se mueve y el Universo es enorme, así que nos encontramos con paralajes en las estrellas de menos de 1'', lo cual es utilizado para medir sus distancias con el patrón del parsec. Podemos calcular que Alfa Centauri, la estrella con el paralaje más grande, 0,76'', y por tanto, la más próxima, se encuentra a tan sólo 4,3 años luz de distancia ya que (1 / 0,76'' )= 1,315 pc.
El paralaje anual estelar no comenzó a medirse hasta 1838, cuando la potencia de los telescopios lo permitió. Otros efectos del movimiento terrestre ya habían sido detectados, como la aberración de la luz, unos 100 años antes.

Resulta irónico que la misma precisión que tanto obsesionó a Tycho, acabe dándole la razón a Kepler y al heliocentrismo. Cuando Kepler aplica el viejo modelo de los ecuantes en órbitas circulares para calcular la órbita de Marte, los datos de Tycho no le cuadran. Obtiene errores en las posiciones de Marte de hasta 8'. Imposible. Si las medidas utilizadas fueran de otro, con errores habituales para la época de justamente 8', este desacuerdo podría ser achacado al error experimental. Pero son las de Tycho, de 1' de error máximo, luego el desacuerdo debe ser fruto del modelo matemático utilizado. Es la premisa de que las órbitas son circulares la que debe estar errada. Kepler probará diferentes modelos de órbitas hasta dar con la elipse, que se ajustó a la perfección. Colocando a la Tierra como un planeta más orbitando también a lo largo de una elipse y el Sol en uno de sus focos, los datos se ajustan correctamente a lo observado y se resuelve, entre otros, el enigma del movimiento marciano, al menos hasta ese error de 1' de arco que sí es experimental.

Sin la precisión de Tycho, no habría habido necesidad de desechar las órbitas circulares. Desde luego, a nadie se le habría ocurrido -y mucho menos a Kepler- poner en tela de juicio la magnificencia del Círculo: hubiera sido como cuestionar al mismísimo Platón. Y es justamente un neoplatónico como él quien relegará al Círculo a la trastienda de la nueva astronomía.

La historia de Brahe y Kepler es un ejemplo de la importancia del error en las medidas y de cómo el juego de los modelos del mundo se vio sometido al juicio -aunque no sumarísimo- de los datos experimentales.

Esperemos que pueda verse pronto en las mejores pantallas.

Todo lo que el sudor puede hacer por usted

Imagine que existe una casa capaz de liberar el calor acumulado. Aumenta peligrosamente la temperatura y sus habitantes no necesitan instalar aire acondicionado, utilizar ventiladores o tomar duchas frías (más allá de lo higiénicamente necesario). Por el contrario, cuando -por la razón que sea- aumenta la energía interna de la casa en forma de calor, éste se conduce inteligentemente desde cada punto del interior hacia las paredes exteriores mediante un sistema de conductos invisibles.
El mecanismo final de expulsión del calor es muy curioso. En la superficie de todo el perímetro de la casa hay unos sensores que detectan la temperatura. Cuando la temperatura supera un determinado umbral, un mecanismo se dispara y de las paredes emana un fluido especial que recubre toda la superficie exterior. (Por supuesto, en versiones posteriores del inmueble todo esto será programable. Nota del Comercial). Esa película fina y viscosa se encarga de absorber el calor allí acumulado; luego, a medida que el fluido va evaporándose, se lo lleva lejos de la casa, dejándola mucho más fresca que antes y, por supuesto, se garantiza que las paredes volverán a quedar perfectamente secas... ¿Quién no querría vivir en una casa así?


"Todo lo que el sudor puede hacer por usted", en tres fases

1ª fase

La sangre, ese increíble sistema de distribución de energía y recogida de desechos, también se encarga de recoger el calor desde todas las células del cuerpo y transportarlo a la superficie, es decir, a la piel, que aumentará sensiblemente de temperatura T. Este no es el único sistema de recogida de calor, que también es transportado directamente a través de los tejidos. Pero la actuación de la sangre es más efectiva y cobra importancia cuando se necesita una disipación rápida de calor. En esos momentos, los vasos se dilatan para facilitar el proceso sanguíneo y la pérdida de agua -por sudor- acelera el ritmo cardíaco y hace a la sangre más viscosa potenciando así la captación de calor. Por supuesto, todos estos cambios fisiológicos tienen un límite.

Pero vayamos paso a paso. La manera en que el calor pasa de una célula -que ha efectuado un proceso de generación trabajo/calor- a la sangre puede imaginarse como un contacto entre moléculas: una celular y otra sanguínea. La del caudal sanguíneo, compuesto en una gran parte por agua -con un alto calor específico c- tiene muchas maneras de vibrar lo que le permite tomar la energía cinética de la molécula celular de muchos modos a la vez. Por lo que, varias moléculas celulares contribuirán a excitar una única molécula sanguínea. Se facilita así la absorción de calor. Una vez en el caudal sanguíneo, cobra importancia la conducción térmica de calor regida por el factor lambda λ del agua, relativamente alto, lo que hace que el ritmo de conducción del calor sea elevado. En el dibujo, la Q con el punto encima denota la derivada de Q respecto el tiempo, es decir, el ritmo de conducción de Q (véase el primer post sobre derivación), la A es el área transversal del conducto (por lo que la dilatación de los vasos aumentará el ritmo de conducción) y el término final es el gradiente de temperatura: una medida sobre cómo varía la T en el espacio. Esta es la llamada fórmula de Fourier.

2ª fase

El calor llega a la superficie de un modo optimizado pues los diferentes vasos arteriales se subdividen muchas veces y abarcan más superficie en la epidermis, de modo similar a un fractal. Todo el calor conducido estará ahora bien distribuido en la piel, que elevará su temperatura. Y la piel está preparada para tal situación, gracias al sistema de glándulas sudorípadas. Éstas se encargan de segregar sudor, -compuesto básicamente de agua (95%), sales minerales y otras sustancias como la urea (responsable del mal olor, para beneficio de los fabricantes de desodorante)- que viaja por pequeños conductos hasta la superficie cubriéndola de una película de fluido que absorverá el calor Q de la piel de un modo mucho más efectivo que si lo hiciera el aire.

3ª fase

El sudor, finalmente, se evaporará, pues las moléculas que tienen una parte en contacto con el aire y no con el fluido tendrán más posibilidades de escapar de las fuerzas que las mantienen unidas al resto del fluido absorbiendo calor para ello. Estas moléculas pueden volver azarosamente del aire al sudor sobre la piel y de nuevo quedar enganchadas a él. Estos procesos alcanzarían un equilibrio mutuo si no hubieran efectos externos, es decir, si el sistema sudor/aire estuviera totalmente aislado. Pero no os preocupéis: el propio viento, aunque leve, se lleva lejos a las moléculas de sudor que ya habían escapado de nosotros, así que ésas ya no podrán volver a ser captadas, escapando para siempre con el calor acumulado y disminuyendo definitivamente la temperatura T de la piel. Por supuesto, si queréis acelerar el proceso, siempre os podéis abanicar o, simplemente, limpiaros de vez en cuando el sudor.

Esta es la razón por la que la ropa puesta a secar en el tendero seca antes si hace viento, las pérdidas por calor aumentan en las placas solares situadas en zonas de alto viento y podemos enfriar la sopa rápidamente soplando sobre el plato.

En fin, hay muchas más cosas que el sudor hace por nosotros como potenciar el olor de ciertas sustancias -que a su vez sirven para enviar señales (perfumes, feromonas, etc...)-, hidratar y lubrificar la piel...

¿Y qué ocurre cuando desciende demasiado la temperatura del cuerpo?

En este caso, ocurre el proceso inverso. Los vasos sanguíneos no se dilatan sino que se contraen cerca de la piel y en las extremidades –que se volverán pálidas- para minimizar el transporte de calor hacia la superficie y evitar pérdidas. Lo importante aquí es conservar el poco calor que nos queda en el interior del cuerpo. Pero si disminuye demasiado la temperatura, corremos el riesgo de congelación en los dedos de manos y pies. El ritmo cardíaco y la viscosidad sanguínea disminuyen y uno tiende a acurrucarse en la cama, o en el suelo, disminuyendo la superficie de contacto para perder menos calor todavía por conducción directa desde la piel.

Pero, ahora, necesito un descanso. Después de tanto escribir, estoy sudando... felizmente.

PD: ¿A algún arquitecto se le ha ocurrido diseñar una casa que sude?

La vida es compleja (y bella)

Y no me refiero a la canción de Drexler ni a la película de Benigni. La vida es básicamente un conjunto de átomos organizados en macromoléculas muy complejas como las proteínas. No encontramos nada igual en la naturaleza inerte. Ni la aleatoriedad incesante de los gases, ni los patrones cristalinos de los minerales alcanzan el nivel de complejidad inherente a la forma viva, llámese ameba, sequoia o humano. Pero, ¿qué tiene de especial la complejidad?, ¿quiere eso decir que no es posible la vida bajo una forma molecularmente simple o desordenada? Según la termodinámica, no.

Lo posible es importante, al final

Imagine, lector, que ha llegado a la página de entretenimientos del periódico. Sí, es la más leída, no nos engañemos. En ella se nos muestra la foto-finish de un tablero de ajedrez. No se trata de predecir el futuro, del tipo "Blancas juegan y ganan", sino todo lo contrario: debemos reconstruir los movimientos desde el inicio de la partida hasta la situación actual.
En efecto, tras unos momentos de reflexión, veremos que no hay una solución única ya que podemos llegar al mismo final por caminos diversos siempre que respetemos algunas reglas más o menos complejas: según la pieza hay sólo uno o dos movimientos permitidos y las tiradas son alternativas comenzando por las blancas. Además, las piezas no están situadas de cualquier modo en el inicio y desde luego, el tablero es un espacio bien delimitado. Por otro lado, si supiéramos el número de movimientos que se han efectuado acotaríamos más las posibilidades. Vemos que cuantas más reglas tengamos sobre los movimientos posibles más restringimos el número de caminos alternativos. Dicho de otro modo, el número de posibilidades disminuye al aumentar la complejidad subyacente.

La Entropía es simple

Utilicemos términos algo más técnicos. Llamemos microestados a los caminos posibles para llegar a la situación final del tablero. Y a la foto final -lo que en realidad vemos- la llamaremos Macroestado.
Tenemos, pues, un Macroestado de muchos microestados posibles. Ahora, recordemos algo de lo que todos sabemos sobre la Entropía, que es una medida de la aleatoriedad de un sistema. Cuanto más desordenado esté, más entropía tendrá. El hecho de que esté desordenado significa que no es posible aprovechar ese sistema para dirigirlo hacia algo útil, como por ejemplo aplicarlo sobre otro sistema para producir un trabajo. De ahí que la Entropía sea considerada aquella parte no aprovechable de la Energía en un proceso. Y ningún proceso real se salva. En un sistema aislado, debido a la aleatoriedad de las partículas, siempre habrá una cierta parte de energía que no pueda aprovecharse...

Pero volvamos a nuestros micros/Macroestado del tablero y veamos qué tiene que decir la definición estadística de la Entropía, escrita en el epitafio de L. Boltzmann: la Entropía S de un Macroestado es proporcional al número de microestados asociados W. En verdad, no directamente proporcional a W sino al logaritmo de W, lo que implica que si W crece muy rápido, la Entropía lo va a hacer de un modo mucho más amortiguado y para el caso en que sólo haya un camino posible W=1, entonces no hay ninguna aleatoriedad y S=0.

S = k ln W

Aquí, k es una constante de proporcionalidad (sí, la de Boltzmann).

[Apunte opcional: En realidad, W representa el número de microestados en el espacio de fases, algo así como si consideráramos no sólo por qué casillas del tablero han pasado las piezas sino también a qué velocidad lo han hecho. Todas las diferentes combinaciones serían microestados posibles...]

Así que, como vimos, al aumentar la complejidad en el juego de ajedrez disminuimos el número W de microestados posibles... y entonces S disminuye, según la ecuación. La Complejidad debe ser entendida como algo que disminuye la Entropía.
¿Y qué es lo más complejo que conocemos? Permitid que insista en llamarlo forma viva.

Hacia abajo en una escalera que sube

Cosas tales como un gas aislado en un recinto o un trozo de madera ardiendo aumentan su Entropía a lo largo del tiempo, evolucionando incesantemente. Con ello, el sistema formado por todos los átomos que participan en el proceso alcanza el equilibrio termodinámico, eso que llamamos la máxima aleatoriedad. Sólo haría falta, en teoría, disponer de tiempo suficiente.
En cambio, la forma viva se empecina en mantenerse en un estado estacionario lejos del equilibrio, andando en dirección opuesta. Es como si bajara obstinadamente por unas escaleras mecánicas de subida, que hacen subir aburridamente todo lo demás.
Es la ordenación molecular la clave de su éxito, y para sobrellevarla necesita mucha energía: alimentos que puedan combustionarse y transformarse en trabajo para mantener sus procesos internos, pero cuidado, también deben ser alimentos de baja Entropía. La baja Entropía se consigue cuando la complejidad es alta. La ingesta de vegetales y animales (sobretodo proteínas y otras macromoléculas complejas) le permite alcanzar ese objetivo. Después, tendrá que expulsar -defecar- el exceso de masa no energética y deshacerse de la Entropía que inevitablemente se habrá generado en los procesos internos que mantienen toda la estructura. Para ello, expulsa constantemente calor Q y se mantiene a una temperatura interna T alta con respecto al medio (unos 37ºC en el caso de los humanos). De este modo, la entropía S = Q/T se mantiene baja.
(Éste fue el primer enunciado sobre la Entropía, el de Clausius)

La forma viva consigue perdurar en el tiempo flirteando con la 2ª Ley de la Termodinámica, esa que dice que la Entropía de un sistema aislado nunca puede disminuir. Flirtea con ella pero sin violarla, pues la forma viva no es un sistema aislado. El precio a pagar por ese oasis de baja Entropía es el aumento de la Entropía del medio, generada por los procesos que mantienen el metabolismo de la forma viva. Para tal milagro, la forma viva sólo dispone de un tiempo limitado, pues el equilibrio termodinámico acecha bajo la apariencia de aleatoriedad y desorden. Por fin, cuando todos los átomos de la forma viva se reagregen en nuevos compuestos menos ordenados (y por tanto, más entrópicos) se habrá alcanzado la muerte. Una muerte que -como las antiguas filosofías humanas insistían en advertir- es sinónimo de "regreso a la simplicidad".

Pero hay algo más allá -o más acá- de la aparente muerte de esa organización extraordinaria que es la forma viva. Un mecanismo que una y otra vez se repite en el tiempo adaptándose al medio. Se trata de su manual de instrucciones. Un complejísimo conjunto de macromoléculas que generan una y otra vez individuos nuevos, réplicas o semiréplicas de los anteriores, perpetuándose en nuevos pozos de baja entropía: los genes. Si los genes son lo único que perdura realmente a lo largo de la forma viva -independientemente de las formas vivas que nacen y mueren- ¿no sería más correcto hablar de la estructura genética como la auténtica y única forma viva? ¿Somos algo más que un eficiente y provisional envoltorio de nuestro conjunto de genes, los únicos que realmente persisten en la parte baja de la escalera?

Relacionado con el tema, os puede interesar:

Un físico en la calle, de Eduardo Battaner.
El camino a la realidad, de Roger Penrose (en especial, el capítulo 27)
Ilya Prigogine, al orden por el azar, del blog La bella teoría

PD: La primera imagen se ha tomado del blog Problemas de Ajedrez

Crítica irreverente a El Manifiesto comunista de K. Marx y F. Engels

Una lectura recomendada, reveladora y crucial, aunque mejor sin dogmatismos ni preconcepciones (cosa difícil). Mucho queda en el tintero, espero que los comentarios lo mejoren y aporten nuevas reflexiones.

¡Unos fantasmas recorren Europa... los fantasmas de los comunistas !

La cosa está muy mala, hijo mío.

S. XIX. Condiciones de trabajo insalubres, largas jornadas laborales, hombres, mujeres y niños al servicio exclusivo de las fábricas. Míseros sueldos que sólo permiten subsistir para poder seguir trabajando. Mientras, la burguesía, los nuevos amos surgidos del comercio de las primeras ciudades de la Edad Media, se alían para defender sus intereses frente a la aristocracia, aún con cierto poder en Europa. La burguesía expande el comercio y aumenta sus beneficios internacionalizando los productos. Los trabajadores sólo tienen una cosa que les pertenezca: su prole. Son proletarios por encima de todo, nada mejor que eso les caracteriza. Pero ellos también comienzan a organizarse para defender lo que consideran sus derechos: básicamente, mejores condiciones de trabajo.

Con todo, hay una idea que ronda por ahí, un concepto, una casi-realidad que ha ido recorriendo los países europeos como un fantasma: el comunismo, un movimiento político/filosófico/revolucionario que va más allá de una simple mejora local de los trabajadores...

¡Hazte comunista!: la Revolución es guay

El comunismo no sólo pretende -como hacen otros- mejorar las condiciones del trabajador. Lo que busca es la eliminación de las propias clases proletaria y burguesa, que son antagónicas y se encuentran en lucha de intereses. Y en este momento histórico la única capaz de llevarlo a cabo es la clase mayoritaria y sometida: el proletariado. Porque cuanto más se engrosa el capital burgués, mejores son las condiciones sociales para que el proletariado se organize y reaccione. Sólo mediante una acción violenta se puede abolir este sistema, el capitalismo, de modo que sean los trabajadores, organizados políticamente, los que controlen los medios de producción. Esta fase de socialización (socialismo) se caracterizaría por un sometimiento de la clase burguesa. Más tarde, cuando ya se hubiera abolido cualquier antagonismo de clase, se habrá llegado al ideal comunista. (¿Una especie de estado dionisíaco, a lo Nietzsche?)

Lo que no se reflexiona aquí es si es viable la existencia de una gran masa social organizada políticamente con un objetivo común. (Si habeis estado en alguna reunión de vecinos, entendereis por dónde voy). Porque, si no es viable, ¿de qué serviría montar todo este sarao?

Tampoco se apunta si el sistema debe ser asambleario, jerarquizado, en forma de red, de estrella (roja) o a dedo (este es del que tenemos más experiencia). Marx y Engels no entran en el tema y de hecho dejan claro que cada país debe hallar su propio sistema debido a sus características particulares. Pero, ¿y después?, ¿cómo lo internacionalizamos?. Abolida la injusta ley de oferta/demanda burguesa, ¿quién decidirá cuánto vale entonces el trabajo?, ¿la cúpula del partido comunista?, ¿un dirigente puesto a dedo por la vanguardia intelectual bolchevique?

Ah! se me olvidaba: la HISTORIA -con mayúsculas y negrita- está por encima de esos detalles sin importancia y seguro que viene en nuestra ayuda.

Pero, ¿qué no es el comunismo?

Algunas acusaciones de la burguesía sobre el comunismo, ante las que el Manifiesto responde:

1. El comunismo busca la abolición de la propiedad. Sí, pero la abolición de la propiedad... burguesa. El capital no es una propiedad que pertenezca a la burguesía sino un producto social. Luego, su abolición es una redistribución de algo que nunca fue realmente propiedad de nadie.

2. El comunismo busca la abolición de la individualidad y de la libertad. Sí, pero la abolición de la libertad e individualidad... burguesas. Abolir la libertad de libre comercio a costa de la explotación del proletariado.

3. El comunismo quiere abolir a la familia. Lo que quiere es abolir la explotación de los hijos por los padres y cambiar el carácter capitalista de la educación de la clase dominante.

4. El comunismo quiere abolir a la patria. Los trabajadores no tienen patria, pues comparten iguales intereses de clase con sus vecinos. "Abolid la explotación del hombre por el hombre y abolireis la explotación de una nación por otra".

5. El comunismo quiere abolir verdades eternas: la religión, la moral, la justicia... La conciencia social de todos los períodos de la historia es similar pues comparte el fenómeno de lucha de clases, así que hay ideas que parecen eternas pero que dejarán de serlo cuando se acaben todos los antagonismos de clase.

Necesidad e Inevitabilidad del Comunismo

El carácter necesario del comunismo se va destilando sutil pero incipientemente a lo largo de El Manifiesto.

El comunismo es una consecuencia necesaria del antagonismo burguesía/proletariado. La Historia nos ha traído hasta aquí siguiendo la lógica de la lucha de clases. Pero ¡arriba los corazones, camaradas, porque hay final Made in Hollywood!: surgirá una asociación donde el libre desarrollo de cada uno será la condición para el libre desarrollo de todos. ¿No recuerda al final feliz del Espíritu -o del estado prusiano- predicho por Hegel?

La Inevitabilidad de todo este proceso resulta evidente en frases como: La burguesía produce, sobre todo, sus propios sepultureros. Su decadencia y la victoria del proletariado son igualmente inevitables. Pero, entonces, ¿nos sentamos a esperar?, ¿el destino está de nuestro lado?

Parece que aunque no militemos en el movimiento comunista, inevitablemente otros lo harán y al final el éxito estará asegurado. La Historia es como una máquina bien engrasada que pasa por encima del hombre y de sus caprichos azarosos, nos va pasando de nivel mediante revoluciones, pantalla tras pantalla hasta el Game Over. Es una pena que más de un siglo después de esta visión ni siquiera vislumbremos ese final feliz Universal. De todos modos, parece que Marx suavizó posteriormente esta visión mesiánica del comunismo, sutileza que no todos los comunistas han entendido.

Materialismo histórico... ¿lo qué?

Las ideas, los conceptos, la intelectualidad a lo largo de la Historia sólo pueden entenderse supeditados a las condiciones de vida de los que las tuvieron. La verdad es que a Platón se le fue bastante la olla con eso de que las ideas son eternas y simplemente las vamos recordando desde nuestro mundo imperfecto de apariencias. Ni mucho menos: toda la producción intelectual se transforma con la producción material. He aquí la frase que podría resumir el carácter materialista de Marx. Evidentemente, la necesidad de una descripción de lucha de clases para explicar la Historia sólo es posible si admitimos que hay algo real/físico/tangible que condiciona aquello que pensamos.

El proletario piensa como proletario (sobretodo cuando toma conciencia de que lo es, conciencia de clase) y el burgués, por vivir y relacionarse en la sociedad del modo concreto como lo hace, pensará y verá el mundo como burgués. Ambas visiones son antagónicas; ambos defenderán intereses enfrentados.

Así que la lucha tiene una raíz en lo material (las condiciones de vida) y se da a lo largo de la historia forjándola y alimentándose retroactivamente de ella (dialécticamente) a base de revoluciones. De ahí el llamado materialismo histórico (también dialéctico).

Sobre el individualismo

Pero, ¿quiere esto decir que todos los proletarios piensan de la misma manera y todos los burgueses de otra?, ¿dónde queda la individualidad?

Considero que la descripción que da el manifiesto del mundo es una visión sociológica sobre cómo se mueven grandes masas de población en función de sus relaciones económicas. La individualidad no ha desaparecido, hay que buscarla a pequeña escala.

Por eso es tan patético escuchar al típico pseudo-comunista criticar de un modo "personal" a un empresario desconocido con frases como "te está robando para hacerse un chalet en la sierra, sólo busca su beneficio"... Creo que Marx no aprobaría esa personificación de la cuestión. Es el sistema capitalista -alimentado tanto por ese jefe como por el propio trabajador que lo critica- el que está "robando" de un sitio para ponerlo en otro. Y si pudiéramos evitar el contenido moral de robar como algo necesariamente malo, mejor todavía. Puede que ese jefe sea más buena persona que Santa Teresa de Jesús, y puede que el trabajador explotado sea un ser despreciable. Aunque esto no invalida lo contrario, es sólo a gran escala donde cobra sentido la descripción comunista, sin personalismos.

Porque sino, todo este debate es análogo a las generalizaciones sexuales. tan odiadas por muchos. Imaginemos que decimos "los hombres tienen más visión espacial y las mujeres más capacidad comunicativa". Esta visión global de ambos sexos es útil para explicar ciertos parámetros históricos, evolutivos y biológicos pero siempre como masa social, en cambio, si individualizamos sistemáticamente hombre por hombre y mujer por mujer, caeremos de nuevo en contradicciones y discusiones absurdas.

Apunte final

A pesar de la ingenuidad y del mesianismo del texto, es una pena que el Manifiesto no sea de lectura obligada en las escuelas. Es un documento imprescindible para entender el sistema de partidos políticos de los estados actuales así como la situación del s. XIX. La vigencia de su análisis social debe tomarse muy en cuenta pues, aunque el lobo vista a veces piel de cordero, es exactamente el mismo lobo del que hablan Marx y Engels el que controla actualmente el poder social.

Qué cierta sigue siendo la siguiente cita del El Manifiesto: El gobierno moderno es tan sólo un comité que administra los negocios comunes de la clase burguesa.

Crítica irreverente a El crepúsculo de los ídolos de F. Nietzsche

Tras leer El crepúsculo de los ídolos, a uno -que no esté muy contaminado por un estudio previo del autor, y eso es lo que yo busco- le rondan básicamente tres ideas generales sobre el tema.

Tres ideas generales

1. La historia de la filosofía está llena de malentendidos hasta que el bueno de Nietzsche entra en escena e ilumina nuestras decadentes consciencias.

2. Sócrates y Platón eran unos moralistas patéticos que traicionaron el auténtico espíritu griego basado en entregarse a los instintos, en un estado superior de orgía permanente. (Vaya, ¡ya sabíamos que ese estado era superior!)

3. La Iglesia (cristianismo y derivados) es lo peor de lo peor, mientras que la filosofía de Nietzsche es la number one y además mola mogollón.
--> Corolario del 3. Según el propio Nietzsche: Nietzsche es el primer maestro alemán de los aforismos y Así habló Zaratustra es el libro más profundo dado nunca a la Humanidad.

Paso a desarrollar los puntos anteriores:

1. La lista de malentendidos que Nietzsche no comete son: la filosofía de Sócrates, el espíritu griego antiguo, la moral de la mejora, la moral cristiana, el error del ser, la necesidad de Dios, la distinción mundo aparente/verdadero, la paz del alma, la necesidad causal, la confusión causa/consecuencia, la necesidad de finalidad, la voluntad libre, los hechos morales, la idealización, el sistema educativo alemán... y cada dos páginas uno más.
La mayoría de malentendidos lo son porque no existen, los hemos inventado a nuestra imagen y semejanza. Otros, en cambio, son malas interpretaciones de algo que nunca fue así.

2. Sócrates era muy feo, pero eso no era lo peor, además utilizó su dialéctica para aplacar la anarquía que imperaba entre los griegos en un estado tiranizado por los instintos. Y su contratirana es, justamente, la Razón. Este ídolo griego -junto con Platón- es algo así como un precristiano en lo moral pues comienza a alejarse del estado dionisíaco de los antiguos para ensalzar la razón, la dialéctica y de rebote, los conceptos morales, que confluirán con la moral cristiana. Esa idea de que Razón=Virtud=Felicidad es falaz. La moral (la que permita esa Virtud) es la moral de los débiles, de los que ya no tienen otro recurso para defenderse. Por ello, la imposición general de esa moral es el comienzo de la decadencia.
No es que el Virtuoso encuentre la Felicidad, más bien al contrario: el Feliz suele actuar de un modo en apariencia Virtuoso pues no necesita actuar de otro modo. Este sería un ejemplo de otro de los malentendidos históricos: el de confundir las causas con las consecuencias.

3. La Iglesia, el cristianismo y derivados, la institucionalización de la moral, el altruismo, Dios... todo se alza en un paisaje de decadencia donde el hombre ha sido domesticado y pasó a ser engañosamente libre. Esa libertad es una trampa pues nos hace responsable de los actos según una moral dominante, de modo que somos susceptibles de ser culpables de ellos. El cristianismo es una metafísica del verdugo.
La Iglesia es lo contrario de la auténtica vida y su moral es castradora de los instintos y del cuerpo. En otro aforismo hipermegaguay: La vida termina allí donde empieza el Reino de Dios.
¡Por supuesto! ¡Por fin alguien que habla claro! Después de San Anselmo y de Kant, encontramos a quien no tiene pelos en la lengua y no se deja engañar.

Reflexiones a propósito de...

Su discurso es en algunos momentos increíblemente actual. Ahora, liberados en parte de la Iglesia de otros tiempos -aunque no totalmente- somos esclavos de una moral sutil, de lo que es políticamente correcto según la moda de turno y donde el que se sale del guión es señalado por los moralistas institucionales; como decía Serrat en aquella célebre canción: por los macarras de la moral. Vivimos en la Hipocresía y el Autoengaño permanentes.

Este es nuestro estado de decadencia absoluta. Condenamos y legislamos la más mínima acción a golpe de titular. Tachamos de terroristas, de violentos, de delincuentes y de piratas a cualquiera que se salga de lo establecido, a cualquiera que perjudique al stablishment mientras guardamos nuestro mísero dinero en bancos que invierten en empresas de armamento que alimentan las guerras que tanto rechazamos. Con una mano alimentamos a los perros de la moral para que nos muerdan la otra cuando sea conveniente. Y durante el proceso encendemos la televisión y asistimos a maratones altruistas de campañas que lavan la consciencia que no tenemos. ¿Y que nunca nadie tuvo?

Porque, ¿existe o existió realmente esa consciencia moral -pseudocristiana, en nuestro caso-?, ¿o es, como dice Nietzsche, un malentendido más, una ilusión sólo útil para los débiles, un estado de decadencia de quien se ha alejado de los instintos y la voluntad de poder, del espíritu dionisíaco?. ¿Nos creemos realmente eso de la democracia, la igualdad social y el bienestar de la mayoría como final feliz o somos tan ciegos, estúpidos o hipócritas que preferimos vivir en ese estado de engaño dialéctico iniciado -quizá- por Sócrates?
Sin duda, aunque individualmente puedan apuntarse cientos de argumentos a favor o en contra, como rebaño parece que, efectivamente, el envolvernos de moral es un acto flagrante de decadencia...

En resumen, leer a Nietzsche es un soplo de aire fresco, a pesar de su egocentrismo, a pesar de su inquietante discurso, a pesar de todo, a pesar de que...

¡estaba como una puta cabra!

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (y III. Ejemplos)

Después de repasar los conceptos de Derivación e Integración y ver la reveladora correspondencia entre ambos mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, comentaremos algunos casos concretos de derivadas y primitivas en el campo de la física y la matemática.

La Fuerza de Newton

Como vimos, Derivación e Integración son procesos que relacionan íntimamente las curvas posición x(t) y velocidad v(t), consideradas como funciones del tiempo. Cuando la velocidad no sea constante, es decir si v=v(t) podremos estudiar también las pendientes de sus tangentes y en tal caso, Derivar de nuevo para obtener una nueva curva: la aceleración a(t)=dv/dt que, como es bien sabido, resulta ser el concepto estrella de la dinámica newtoniana.
En la figura 8 vemos todos estos procesos donde la Derivación d/dt se efectúa hacia la izquierda y la integración ∫ dt hacia la derecha.

Para Sir Isaac -como queda más o menos descrito en sus Principia Mathematica- la cantidad del movimiento o Ímpetu es definida como el producto de la masa por la velocidad p=mv, siendo éste un concepto que diferencia claramente las consecuencias del movimiento de dos cuerpos de diferente masa que se mueven a igual velocidad. Así, más que el movimiento en sí (contabilizado como velocidad), lo importante será la cantidad de ese movimiento (masa x velocidad), también denominada momento y que, como vemos en la figura 9, está relacionada directamente con el concepto de Fuerza. Efectivamente, considerando la derivada de p respecto del tiempo, dp/dt, (las pendientes de las rectas tangentes a la curva p(t)) obtendremos la famosa Fuerza y se dirá que la Fuerza es proporcional al cambio del movimiento, es decir, a la variación de la cantidad del movimiento. Esta fuerza es F=ma, en su expresión más divulgada de la 2ª Ley de Newton. Como vemos, hemos multiplicado por la masa las curvas a(t) y v(t) de la parte superior de la figura 9 para redescubrir la 2ª ley.

Por tanto, conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, podremos encontrar el modo como se moverá por el espacio x(t) simplemente dividiendo entre su masa e integrando respecto del tiempo dos veces F(t)/m -> p(t)/m -> x(t) y, claro está, ajustando las condiciones iniciales correspondientes reflejadas aquí como constantes C del proceso de integración.

Geometría y Metafísica

En la parte superior de la figura 10 hemos partido de la extraña cantidad 2π. De algún modo, 2π representa todo el espacio plano de un modo angularizado. (O quizá no representa nada en términos cotidianos...) Podría interpretarse como una especie de generador de figuras geométricas que son cada una la suma debidamente calculada de la otra. Veamos cómo.
Recordemos la figura 6, donde la cantidad dx evaluada de x_b a x_a tenía que ser justamente la longitud x_b -x_a de algún segmento a lo largo de la dimensión x. En el caso que nos ocupa, al integrar 2π sobre r desde r=0 hasta r=R, obtendremos 2πR: la longitud de una circunferencia de radio R, una longitud radial.
Ahora, sumemos circunferencias de radios que vayan de 0 a R y cuyo grosor radial sea infinitesimal (que tiende a 0 tanto como queramos). En este caso, obtenemos toda la superficie de un círculo de radio R: πR². Es el área en 2 dimensiones generada por la integración de cantidades de 1 dimensión.
Finalmente, ¿qué ocurrirá si sumamos infinitos círculos cuyo radio varíe infinitesimalmente de 0 a R y cuyo grosor sea dr?. Estaremos construyendo un montículo de pastillas circulares resultando un cono sólido de altura igual al radio de su base, h=R. El resultado es efectivamente el Volumen de un cono de este tipo, V = (1/3)πR³.

Pasemos a la parte inferior de la figura 10 e intentemos hallar el análogo a la fila superior, considerando la superficie de la esfera en vez de la del círculo. Parece que, si tuviéramos que generarla mediante algún número similar a 2π, deberíamos cuadruplicarlo y usar 8π. De 8π obtendríamos 8πR, y de 8πr integrado de r=0 a r=R llegaríamos a la famosa superficie de la esfera 4πR². Un misterioso factor 4 hace posible el paso de las figuras de arriba a las de abajo.
Pero, ¿tiene esto algún sentido real más allá de la pura abstracción?¿Podríamos afirmar que con 4 circunferencias podemos hacer una superficie esférica de igual radio? ¿Es 8π una especie de "generador espacial tridimensional angularizado"? Acepto los comentarios pertinentes...
Vayamos ahora más hacia la derecha, es decir, sigamos integrando. Si sumamos infinitas superficies esféricas 4πr² de grosor infinitesimal dr evaluando de 0 a R obtendremos el Volumen total de la esfera (4/3)πR³ así como una cebolla completa es el resultado de unir todas sus capas interiores desde el punto central r=0 hasta la piel más externa r=R.
Fijémonos que de los resultados de la figura 10 podemos concluir lo siguiente:

V_esf = 4 V_con

Este interesante resultado puede visualizarse en la figura 11 donde vemos -o deberíamos ver- que la suma de dos conos incluidos en una esfera sólo alcanzaría la mitad del volumen total. Así que las partes sobrantes de cada semiesfera deben ser igual al volumen del cono que las ha delimitado.

Reto

Esto me recuerda al célebre resultado de Arquímedes, inscrito en su legendario epitafio, de que el volumen de la esfera contenida en un cilindro de altura y diámetro iguales a los de la esfera es:

V_esf = (2/3)V_cil

Así que con una esfera y media, rellenaríamos todo el cilindro.
Introduciendo nuestro cono de altura h=R dentro de la esfera de Arquímedes -figura 12- veríamos que necesitaremos 6 conos para rellenar el cilindro:

V_cil = (3/2)V_esf = 6V_con

¿Se esconde tras esto algún tipo de progresión? Si es así, ¿cuál es la siguiente figura que podemos contener dentro del cono?