Construcción de diagramas de espaciotiempo (y V)

La paradoja de los gemelos

Lauren y Bacall, dos gemelas agraciadas por un físico y una inteligencia envidiables, han construido una nave espacial capaz de alcanzar velocidades cercanas a la luz. Lauren, la gemela más aventurera, toma la nave y se aleja de la Tierra a gran velocidad hasta un planeta extrasolar. Inmediatamente después, emprende el viaje de regreso en dirección contraria, reuniéndose con su hermana Bacall tras un tiempo total  T medido en la Tierra. No obstante, como sabemos, la viajera habrá contabilizado en su reloj de a bordo un tiempo de viaje total diferente T/γ, menor que T, debido al fenómeno de la dilatación del tiempo;  por lo que Lauren habrá envejecido menos que Bacall. Desde el punto de vista de Lauren, por el segundo postulado de la relatividad que indica que no hay ningún sistema de referencia privilegiado, sería igualmente lícito considerar que ella se ha mantenido inmóvil durante un tiempo T' y que fueron la Tierra, Bacall, y todo el Universo los que se alejaron para luego volver a acercarse, por lo que es la gemela de la Tierra la que habrá anotado un tiempo total T'/γ inferior al suyo. Así, las dos consideran que debe ser la otra la más joven. Sin embargo, esto no es posible. ¿Cómo solucionar la paradoja?

  

DIAGRAMAS

Viaje de ida

En primer lugar, construyamos el diagrama espaciotiempo correspondiente a la primera parte del viaje (Fig. T), considerando O como el sistema de referencia de Bacall, inmóvil en la Tierra (ejes t-x) y O' el de Lauren (ejes t'-x') que viaja con una velocidad próxima a c alejándose de la Tierra dirección a G. Como vimos en la última entrega de este apasionante curso (repasar la Figura P), el segmento AB que correspondería al tiempo medido por la viajera mirando dos veces su mismo reloj es igual a AD/γ  y lo llamamos "tiempo propio" τ. Hasta aquí, nada nuevo: τ es menor que AD=T/2, el tiempo transcurrido en la Tierra. Lauren ha llegado al planeta situado en G, alejado una distancia AG de la Tierra, que correspondería a una "longitud propia", aunque para ella el espacio recorrido tan sólo ha sido AH=AG/γ, debido a la contracción de longitudes.

Percatémonos de que, para Lauren, el último instante de tiempo que, según ella, ocurre para su hermana Bacall es C y no D, ya que C comparte con B una misma línea de simultaneidad, paralela al eje x'. También aquí se cumple la dilatación del tiempo, ya que AC=AB/γ.  Por lo que, si llamamos t al tiempo AC -el que parece haber vivido Bacall según Lauren-, tenemos que t=(T/2)/γ². 

Viaje total

La Figura U muestra el viaje completo hasta el suceso F, en el cual las gemelas se reúnen en la Tierra. El punto B marca el cambio de sentido en la nave de Lauren, por lo que debemos usar un nuevo sistema de referencia O'' (ejes t''-x'') en el que Lauren se mantiene inmóvil, volviendo a medir un tiempo τ en el viaje de vuelta. Pero B lo cambia todo, es el nexo de O' y O'', y este hecho hace que concurran en él dos líneas no paralelas de simultaneidad representadas por los segmentos CB y BE, que son paralelos a los ejes x' y x'', respectivamente.

Todos los sucesos contenidos en estos segmentos son igualmente simultáneos para Lauren en el momento de pasar de O' a O''. Así, B, C y E ocurren en el mismo instante de tiempo, de modo que cuando Lauren regrese con Bacall esperará encontrar a su hermana envejecida tan sólo una cantidad AC+EF=2t=T/γ² ya que la zona de sucesos delimitada por el triángulo sombreado CBE se hizo invisible para ella. Aquí se encuentra la asimetría entre los sistemas O y el formado por la sucesión O'+O'', por lo que no es posible comparar los resultados de ambas hermanas en un modo "relativo". La cuestión es que O'+O'' no es un buen marco de referencia en donde aplicar  la relatividad especial porque no forma un sistema de referencia inercial, tal y como requiere la teoría.
Cuando B rompe la simetría, Bacall se encuentra en D (es decir, D y B son simultáneos para Bacall) y proseguirá en su línea de mundo (eje t) envejeciendo un tiempo total AF=T. Ella esperará -acertadamente- que Lauren haya medido sólo un tiempo 2τ=T/γ en su reloj de a bordo, según sus cálculos relativistas, y que sea más joven que ella, aunque de similar belleza.

Resumen

En resumen, Bacall mide un tiempo T y calcula que Lauren medirá 2τ=T/γ. Lauren mide 2τ=T/γ y calcula que Bacall medirá un tiempo 2t=T/γ². Pero el cálculo de Lauren no es válido, ya que no está considerando los sucesos sobre el segmento CE. La viajera cambia de marco de referencia en B, mientras que su hermana mantiene el mismo marco a lo largo de la línea de mundo AF.
Además, como T=2t+CE y utilizando la definición de γ, podemos hallar la cantidad de tiempo invisible para Lauren, CE=Tv². Si imaginamos que v=c=1, tendríamos el lado izquierdo del triángulo ocupando todo el tiempo AF. Lauren no compartiría ningún suceso simultáneo con Bacall y creería que ésta no ha envejecido en absoluto y que el tiempo a su alrededor se ha congelado.

Forzando el diagrama: O' en reposo, O en movimiento

Análogamente a lo estudiado en la Figura S, forzemos ahora el diagrama, manteniendo los ejes del sistema O' inclinados respecto de los de O, pero considerándolo en reposo. Para O utilizaremos dos marcos: O₁ y O₂ (Figura V). Ahora, la línea de mundo de Lauren es t' y el tiempo total de viaje será AF=T medido en su reloj de a bordo. Son su hermana y el resto del Universo los que se alejan de la nave (hacia la izquierda) desde A hasta G en un tiempo AD=T/2, aunque Bacall habrá medido τ=(T/2)/γ (segmento AB) en su línea de mundo coincidente con el eje t₁. Obsérvese que la línea que contiene el segmento BG es paralela al eje t', luego es una línea de reposo para el sistema O'. Una vez en G, Bacall y el resto del Universo se desplazan hacia A en el nuevo sistema de referencia de ejes t₂-x₂ que mantienen entre sí el mismo ángulo que los de O₁: 90 grados. Ahora, según el reloj de Bacall, se requiere de nuevo un tiempo BF=τ en cubrir la distancia GA.

Para Bacall, en G, el instante B era simultáneo con el instante C de Lauren, inmóvil en su nave. Bacall creerá que su hermana ha vivido hasta entonces un tiempo AC=τ/γ=(T/2)/γ² durante la mitad de su viaje. Pero, además, debido al cambio de marcos de O₁ a O₂, B también fue simultáneo con E ya que comparten una línea de simultaneidad: el propio eje x₂. Contrariamente al caso anterior, ahora los sucesos contenidos en el triángulo sombreado EBC no sólo no son invisibles sino que serán medidos 2 veces por Bacall. Concretamente habrá un segmento EC repetido para Bacall, (EC)' que dependerá de su velocidad. Para ella, el tiempo total de viaje que debe vivir su hermana en la nave vuelve a  ser -como antes- de AE+EC+(EC)'+CF=T/γ² ya que debe ser igual al doble de AC y es menor al tiempo real medido por Lauren AE+EC+CF=T, ¡aunque parezca mayor a primera vista!. Y es que, ahora, (EC)'= -Tv². De nuevo, tenemos una asimetría debido al punto crítico B, esta vez con medidas de sucesos repetidos. El marco O₁+O₂ no nos sirve para medir tiempos y longitudes totales respecto de O' utilizando la relatividad especial, ya que no conforma un sistema de referencia inercial. Igual que antes, si consideráramos v=c=1, Bacall creería que su hermana ha envejecido un tiempo AE+EC+(EC)'+CF=T-T=0, es decir, el tiempo a su alrededor se congela. En el caso extremo en que no haya viaje y v=0, (EC)'=0 y no hay sucesos medidos repetidos por lo que ambas, en reposo relativo, miden T por igual.

Hasta aquí el Curso de Relatividad especial basado en los diagramas de espaciotiempo (o de Minkowski) tras haber comentado los conceptos más importantes. Si alguien desea tratar algún problema concreto y está en mi mano, se aceptan propuestas.

Construcción de diagramas de espaciotiempo (IV)

Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes.

Llegados aquí, no es prudente caer en la euforia. Los diagramas de espaciotiempo se han deducido en base a los postulados de la Relatividad Especial y prometen ser útiles para nuestros propósitos, pero esto no implica que sepamos lo que estamos haciendo. Para abordar con éxito los fenómenos de Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes, debemos proceder paso a paso, midiendo cada uno de los sucesos siguientes del modo correcto y traduciendo las mediciones a la geometría de los diagramas.

LOS SUCESOS

Suceso A: Bacall y su casa se encuentran en el mismo punto del espacio.
Suceso B: Bacall y la casa de Bogart se encuentran en el mismo punto del espacio.

LA DILATACIÓN DEL TIEMPO

Desde O, en reposo, lo que mide Bogart (Δt)

“Pasaré por tu casa sin pararme, a una velocidad de... 0,998c”- asegura Bacall justo antes de colgar.
Y tras convenir ese fugaz encuentro, Bogart observa por la ventana con unos potentes prismáticos el reloj de pared de la casa de Bacall, situada a 9 Km. Curtido en decenas de películas, Bogart tiene en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar esos 9 Km hasta sus prismáticos, efectúa la corrección correspondiente y anota la hora leída: eran las “22h” exactamente cuando Bacall salió de casa según un reloj situado allí mismo, en x = a. Bogart ha medido el tiempo para el suceso A. Más tarde, cuando Bacall pase por delante de su puerta, (suceso B) Bogart observará su propio reloj hiperpreciso y leerá “22h 0min 0,000030s”. Por tanto, el tiempo empleado por Bacall en ir desde su casa -en a- hasta la de Bogart -en b- es ∆t = 0,000030s = 30μs y ha sido medido mediante dos relojes, cada uno en el punto del espacio correspondiente. Las líneas de mundo de los relojes leídos por Bogart se han dibujado como flechas negras, dobles y discontinuas en la figura O.

Estos relojes forman una pequeña red sincronizada, porque se están corrigiendo sus lecturas teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la información. Conforman la línea de simultaneidad de O en nuestro diagrama, el propio eje x, avanzando hacia arriba paralelamente a sí mismo. Para medir ∆t hemos ido a buscar el punto donde se cruza la línea de mundo del reloj b (que es una línea de reposo, perpendicular al eje x) y el eje t', que es la línea de mundo de Bacall –o de su reloj- en movimiento (flecha azul, doble y discontinua de la figura O). Cuando ella pasa fugazmente por su puerta y Bogart lee su reloj estamos en el Suceso B.

Desde O, en reposo, lo que debe medir Bacall (τ)

Bacall, desde el punto de vista de nuestro cómodo sofá, viaja a velocidad v=0,998 desde su casa a la de Bogart, por lo que su línea de mundo puede dibujarse sobrepuesta al eje t' partiendo del origen en a. Evidentemente, ésta será una línea de reposo del punto a en el sistema O'. Ella va a leer dos veces su reloj de pulsera, anotando un tiempo transcurrido ∆t’, que en la figura P es lo que mide el segmento AB sobre el eje t'. En este caso, al tiempo medido sobre la propia línea de mundo de un reloj se le llama tiempo propio o τ (tau).

Tenemos dos medidas: ∆t para Bogart y τ para Bacall. Podríamos usar regla y compás, calibrar los ejes t y t' con las hipérbolas (derivadas de la invariancia del Intervalo ∆s²) y hallar sus valores gráficamente. Pero obtendremos la misma información de un modo algebraico, también gracias al Intervalo ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² , sabiendo que ∆x' = 0 (pues el reloj de Bacall no recorre ningún espacio entre los sucesos A y B, según su propia lectura), sabiendo que v = ∆x/∆t y definiendo γ²=1/(1-v²),

∆x² - ∆t² = - τ²
τ ² = ∆t² - ∆x²
τ²/∆t² = 1 – v² = 1/γ²

por lo que, ∆t = γ τ

Hemos obtenido la fórmula que relaciona ∆t y τ, justamente la relación entre la hipotenusa y el cateto que consideramos en el capítulo anterior y que desafiaban a la geometría euclídea. La relación depende únicamente de v, como era de esperar. En el capítulo anterior, la hipérbola ∆s²= -1 nos permitió comparar ambos segmentos; ahora, confirmamos que la hipotenusa τ siempre va a ser menor que el cateto ∆t, pues γ siempre es mayor que 1, en nuestro caso, γ = 15. Así pues, si Bogart midió ∆t =30μs (segmento AC), entre A y B, Bacall sólo habrá medido un tiempo τ =2μs en su reloj de pulsera (segmento AB). [Ver figura P]

Pero este espectacular fenómeno va a la par de otro no menos extraño. Porque, si es igualmente lícito pensar que Bacall se encuentra en reposo y es el resto del mundo quien avanza hacia ella, entonces, en un tiempo τ=2μs, será Bogart quien recorra los 9Km considerados inicialmente, lo que nos daría una velocidad muy diferente de 0,998, como debería ser por el 1er postulado (de hecho, una v mayor que c). Luego, el único modo de resolver la paradoja es admitiendo que no sólo los tiempo medidos ∆t y τ son diferentes en ambos sistemas, sino también los espacios ∆x y ∆x' entre A y B. En efecto, medir una longitud como la que separa los sucesos A y B es también un ejercicio dependiente de nuestras líneas de simultaneidad pues el método correcto consiste en medir los extremos de la longitud a la vez.

LA CONTRACCIÓN DE LONGITUDES

Desde O, en reposo, lo que deben medir Bogart (Lp) y Bacall (Δx’)

Desde O en reposo, Bogart habría medido la distancia que separa a Bacall de su casa a la suya, y es ∆x = 9Km, el cateto sobrepuesto al eje x (segmento AD). En cambio, cuando Bacall mida esa misma distancia, deberá hacerlo intersectando las líneas de mundo de ambas casas –líneas de reposo, verticales- con una línea de simultaneidad de O'. El resultado es el segmento AE de la figura Q. Dada la simetría de los diagramas es fácil percatarse de que los segmentos AD y AE son cateto e hipotenusa de un triángulo semejante al triángulo de tiempos de cateto AC e hipotenusa AB considerado en el punto anterior.

Recuérdese que el ángulo formado por los ejes t y t’ es igual al formado por los ejes x, x’: exactamente arctan(v). Luego, la proporción entre la hipotenusa y cateto en los espacios debe ser la misma que en el caso de los tiempos:

AD = γ AE

Luego, ∆x’= 600 m

Hemos obtenido la fórmula de la Contracción de Longitudes, según la cual la longitud ∆x = AD medida desde un sistema de referencia en reposo respecto de los extremos a y b siempre será mayor que cualquier otra. A esta longitud siempre mayor, se la denomina Longitud propia y la denotamos como Lp (ver figuras P y R). Para Bacall, que mide sólo 600m, la longitud propia de 9Km ha parecido contraerse en la dirección del movimiento.

Nuestra relación queda: Lp = γ ∆x’

Esto no quiere decir que Bacall, desde su sistema de referencia considere que se está moviendo, ya vimos que ∆x’ = 0 entre los sucesos A y B. Pero ella podría considerar que son Bogart, su sofá y el mundo entero los que recorren una distancia ∆x' para ir desde b hasta a viajando a 0,998 veces c en un tiempo τ.

Ahora, los pares de valores de espacio y de tiempo concuerdan: Lp / ∆x’ = ∆t / τ = γ, por lo que las velocidades relativas medidas desde O y O' serán la misma. En la figura R se ha intentado -muy a grosso modo- mostrar las diferentes medidas teniendo en cuenta un punto u tomado como unidad de calibración en O y O'.

Hemos visto que τ es menor que ∆t, por lo que Bogart lee más cantidad de tiempo entre los sucesos A y B que Bacall. ¿Significa esto que Bacall ha envejecido más lentamente? Debemos tener cuidado con este tipo de afirmaciones pues, por el momento, no hay manera de comparar en un mismo marco de referencia los efectos relativistas de ambos. Bacall se encuentra en movimiento relativo con Bogart y la cuestión de las medidas temporales y espaciales se halla subtendida al hecho que de ambos utilizan diferentes conceptos de simultaneidad. Volveremos a este punto muy pronto. Desde luego, ella no va a disponer de más tiempo en su vida que el que su hermosa biología le conceda. Todos sus relojes, ritmos y latidos avanzan por igual para sí misma.

[Apunte: Pronto entenderemos porqué Ender –protagonista de la saga de O. Scott Card- se hacía multimillonario viajando a grandes velocidades de planeta en planeta. Los intereses de su cuenta de ahorros disponían de más tiempo que él para multiplicarse. Asímismo, la famosa Tau cero, de Poul Anderson , tiene que ver con la tendencia de tau a disminuir si v aumenta, hasta hacerse teóricamente cero si v = 1 (la luz). En tal caso, la línea t’ del sistema O’ se encuentra prácticamente sobre la bisectriz (45º) y el corte con la hipérbola unidad (ver figura ñ) se daría en el infinito]

¿Y SI FORZAMOS EL REPOSO DE O’?

Desde O’, en reposo, lo que deben medir Bacall (∆t’) y Bogart (τ)

Estamos de suerte. Sin necesidad de cambiar de diagrama y aún teniendo los ejes de O’ inclinados, consideremos que es O’ el que está en reposo y O en movimiento. Será una modo gráfico de ver cómo las relaciones entre tiempos y espacios de ambos sistemas son realmente relativas y se dan tanto en un sentido como en otro. Veamos el caso del tiempo. El lector observará que para el espacio la situación es simétrica.

Retomando la figura P y considerando que O’ es ahora el sistema en reposo, cualquier medida de tiempo se efectuará sobre una línea de simultaneidad de O’ (lo contrario que antes). Por lo tanto, ahora Bogart y el mundo viajan desde el punto b al a a lo largo de la línea EB de la figura S pues Bacall sólo comenzará a contar el tiempo de salida a partir del punto E ya que ese punto es el único simultáneo con el Suceso A que coincide con la línea de mundo de Bogart. Por tanto, Bacall medirá un tiempo ∆t’ igual al segmento AB y se convencerá de que Bogart mide τ = EB leyendo dos veces su reloj de pulsera. Este tiempo es menor. ¿Cuánto menor? La relación debe cumplirse por igual, luego ∆t’ = γ τ

Ahora τ es ∆t, pues es el tiempo medido dos veces en un mismo reloj en reposo con el observador, en este caso, Bogart. τ es menor que ∆t’, luego Bacall mide más cantidad de tiempo entre A y B, por lo que Bogart debería envejecer menos que ella entre ambos sucesos. Traslademos ahora el segmento EB hasta el eje t -lo que nos da AF- para compararlo con el caso de la figura P que consideraba O en reposo. Es interesante observar cómo el suceso F -proyección de B sobre el eje t- es el último instante que Bacall va a ser capaz de medir mediante su línea de simultaneidad y tiene un valor muy inferior al C de la figura P.

UN ATISBO DE PARADOJA

Igualmente interesante es considerar a Bacall deteniendo su coche en casa de Bogart, cruzando el umbral y cenando tranquilamente con él. Gráficamente, deberíamos dibujar nuevos ejes t'', x'' en el punto B de la figura P pues aquí Bacall cambiará su Sistema de Referencia O’ por O’’, que sería, a todos los efectos, igual al O de Bogart (t'' será paralelo a t y x'' a x). En cualquier caso, cuando comparen sus relojes, aparece la paradoja: si aceptamos el 1er postulado según el cual todos los sistemas son equivalentes y no existe el movimiento absoluto –ni, por tanto, efectos distinguibles de un movimiento relativo- ambos deberían haber envejecido más lentamente que el otro durante esa noche. Pero esto es absurdo. Entonces, ¿cuál de los dos habrá envejecido menos?

Tal pregunta abre la puerta a la famosa Paradoja de los Gemelos que será discutida en la siguiente entrega.

PD: El caso real que ha inspirado lo expuesto aquí es el de los muones, cuyo período de vida media (tiempo de vida promedio en reposo) es τ = 2μs. El proceso sigue una ley estadística de decaimiento exponencial. Su generación en las altas capas de la atmósfera viajando hacia la Tierra a v = 0,998 debería hacerlos desintegrarse tras recorrer una distancia de 600m. En cambio, siguiendo la fórmula de la Dilatación del Tiempo, parecen vivir más desde la Tierra, exactamente un factor γ =15, lo que nos da un ∆t = γ τ = 30μs de vida. El número de muones que sobreviven a una distancia de Lp = γ 600 m = 9 Km es igual al que debería haber si su período de vida media fuera de 30 μs y no de 2μs.

Como si Bacall se esfumase al pasar por delante de la puerta de Bogart. La historia de mi vida.

PPD: Una explicación más detallada del experimento de los muones se encuentra p.e. en RELATIVIDAD ESPECIAL (A. P. FRENCH, Curso del M.I.T.)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (III)

¡Los diagramas no son lo que parecen!

Ya hemos dibujado todos los ejes de un diagrama para dos marcos de referencia O, O’. Pero no olvidemos que los ejes de tiempo (o las líneas de mundo) y de espacio (o líneas de simultaneidad) representan situaciones físicas diferentes. No podemos, por ejemplo, usar el teorema de Pitágoras alegremente y aplicarlo a un triángulo rectángulo formado por ejes y líneas de mundo. A pesar de utilizar las ideas de la geometría euclídea en cada marco por separado, hemos advertido ya que los ejes t’-x’ en (m) no eran perpendiculares vistos desde O, pero sí deben serlo para un observador de O’ –por el 1er postulado-. Diremos que t’ es ortogonal a x’, lo que es una generalización del concepto de perpendicularidad para espacios no euclídeos. Pero, entonces, ¿cómo debemos manejar estos diagramas?

Intervalo relativista

Consideremos los sucesos A= “emisión de un rayo de luz en el origen” y B= “llegada posterior del rayo de luz a una localización determinada x, t”. Nos interesa analizar las características de la luz, por tener la misma velocidad para todos los marcos de referencia -2º postulado-, lo que hace que los sucesos A y B sean paradigmáticos en nuestra teoría. Por ello, intentaremos averiguar si hay alguna relación profunda entre las coordenadas x,t de ambos sucesos que podamos generalizar a cualquier otro par de sucesos y entender cómo debemos manejar los diagramas.

¿Qué ecuación relaciona las coordenadas de A con las de B? Apresuradamente podríamos contentarnos con x = t, que nos lleva a x-t = 0, pero pronto advertiríamos que esto no es más que la propia definición que hemos dado de velocidad de la luz, c=1. No obtenemos, pues, ninguna información adicional sobre las relaciones profundas entre coordenadas. Lo que buscamos realmente es la geometría subyacente entre las coordenadas de espacio y de tiempo.

Consideremos, para ello, un rayo de luz propagándose en dos dimensiones x, y. Ahora no estamos ante un diagrama de espaciotiempo. La luz, que parte del origen, alcanzará todos los puntos de un círculo de radio igual al espacio recorrido H en línea recta. Como vemos en la figura (n), podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACB donde H es la hipotenusa y ∆x, ∆y los catetos. Ahora bien, el espacio recorrido es igual a la velocidad c por el tiempo, H = ct donde c=1.

Si nos quedamos sólo con la dimensión x, tendremos:

∆x² - ∆t² = 0

Por el 2º postulado, esta ecuación debe ser aplicable en todos los marcos de referencia, propiedad conocida como covariancia. Para O’ , un marco que se mueve a velocidad constante v también se cumplirá:

∆x’² - ∆t’² = 0

Así, la diferencia entre los cuadrados de los intervalos de tiempo y de espacio entre dos sucesos es igual para todos los marcos de referencia. A esta diferencia la llamaremos "Intervalo ∆s²"

∆s² = ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² = ∆x''² - ∆t''² = ...

Esta sí es una relación matemática entre espacio y tiempo que es válida en todos los sistemas: ∆s² sólo depende de los sucesos A y B, no del observador, al menos si A y B están unidos por un rayo de luz.

¿Es éste un resultado generalizable para cualquier otro par de sucesos A y B? La respuesta es que sí. También observaremos que el intervalo se define:

• ∆s² negativo cuando ∆x < ∆t: para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v menor que c. Estas son las líneas de representan eventos causalmente relacionados como la de color verde de la figura (i). Son las llamadas tipo-tiempo.

• ∆s² positivo para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v > c ya que en ese caso, ∆x > ∆t. Un ejemplo es el propio eje x’ o la línea de color rojo de la figura (i). Son las llamadas tipo-espacio.
• ∆s² = 0 para la luz, como hemos visto más arriba. Son llamadas tipo-luz.

Calibrado de los ejes.

Esto resulta perfecto porque nos va a permitir calibrar los ejes t, t’ (que son líneas tipo-tiempo) y los ejes x , x’ (que son líneas tipo-espacio). Para hallar los puntos unidad, sólo necesitamos aplicar

∆x² - ∆t² = -1 para las primeras y ∆x² - ∆t² = 1 para las segundas.

Estas ecuaciones describen una familia de curvas llamadas hipérbolas que van a cortar los ejes t-x, t’-x’, t’’-x’’... justamente por los puntos tomados como unidad ya que el punto de corte con el eje t’, por ejemplo, es igual a hacer ∆x = 0 , (∆x' = 0) con lo que según la primera ecuación de arriba, -∆t² = -1 => ∆t = ±1. (análogamente, -∆t'² = -1 => ∆t' = ±1). Obtenemos los dos puntos unidad, +1 en la parte positiva de todos los ejes de tiempo y -1 en la negativa. Ver la figura (ñ) donde las hipérbolas se han trazado en color rojo y cortan a los ejes en el punto unidad. También se han representado las hipérbolas ∆s²=±2² que nos dan los puntos ±2. El Sistema O' representado corresponde a una velocidad v=0,5, es decir, la mitad de c. [Esta última figura se ha realizado con el programa Graph 4.3, de licencia pública GNU. ¡Muy sencillo y recomendable! Clicar encima para ampliar]

En el caso ∆s² = 0, la familia de hipérbolas se reduce a las dos líneas de mundo de los rayos de luz que pasan por el origen -dibujadas discontinuas en azul -, ya que ∆x² = ∆t² => x =± t, tal y como esperábamos.

Como confirmación de nuestras sospechas iniciales, observemos el triángulo rectángulo de color verde en (ñ). Vemos que su hipotenusa –que se trata de un segmento del eje x’- es menor a la unidad, luego es menor que el cateto unidad contenido en el eje x. Esto sería imposible si el diagrama representara una geometría euclídea, donde las hipotenusas son siempre mayores que los catetos, como en (n).
Ahora, ya tenemos las herramientas adecuadas para estudiar el maravilloso mundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

(Continuará)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (II)

Postulados relativistas y ejes t’-x’

Vimos cómo en diagramas ct-x los rayos de luz se representan como bisectrices: líneas de mundo a 45º. Además, el eje ct será ahora simplemente t, pues definimos c=1. Representaremos los sucesos del espaciotiempo en distintos sistemas de referencia: el de H. Bogart en reposo, O y el de la atractiva L. Bacall en movimiento -con velocidad constante v- al que llamaremos O’. Las medidas de espacio y de tiempo en O serán x, t y las de O’ serán x’, t’.

Tengamos en mente los postulados relativistas:

1. Principio de Relatividad: No podemos detectar el movimiento absoluto, lo que implica que cualquier sistema de referencia es equivalente para describir las mismas leyes de la física.

2. Invariancia de c: La velocidad de la luz no depende del movimiento del observador.

¿Cómo podemos utilizar estas ideas para construir nuestros diagramas?

Nos interesa que cada punto del diagrama represente un suceso inequívoco del espaciotiempo en cada marco de referencia. Para ello, sería conveniente disponer a la vez de los ejes t-x del marco O y los t’-x’ del marco O’ de modo que la proyección de cada punto en ellos nos dé las diferentes coordenadas medidas en cada marco. Según el 1er. postulado, la misma geometría euclidiana utilizada por Bogart en O puede ser utilizada por Bacall en O’ ya que cualquier sistema puede ser el sistema euclídeo. Entonces, Bogart y Bacall tendrán sus propias líneas de reposo y de simultaneidad paralelas a sus ejes de tiempo y de espacio (ver figuras (f) y (g) del artículo anterior) y en base a ellas podremos proyectar los sucesos para obtener sus coordenadas.

Bien, ¿dónde dibujamos el eje t’?

Eje t’

Este eje no es más que una secuencia de sucesos en reposo para x’=0. Bacall se mantiene en reposo respecto de sí misma en la posición inicial x’=0, pero para Bogart, ella se aleja de él –desgraciadamente- en dirección positiva del eje x con velocidad v=dx/dt. Así pues, el eje t’ ser á la línea de mundo que ya vimos en la figura (b) cuya pendiente es 1/v, y que mantiene un ángulo θ = arctan v con el eje t como puede verse en la figura (j).

Eje x’

Apliquemos el 2º postulado, según el cual Bacall debe observar los rayos de luz con la misma velocidad c que Bogart. Para ello, consideremos la situación inicial en la que Bacall se encuentra en el coche parada conversando con Bogart a través de la ventanilla.

Bacall se encuentran en el centro del coche cuando emite dos rayos de luz mediante dos linternas, uno hacia la parte trasera de la carrocería T y el otro hacia la delantera D. Esos rayos de luz serán representados por Bogart y Bacall mediante líneas de mundo a 45º, (diagrama (k), líneas azules intermitentes). Así, los sucesos A=“la luz llega a T” y B=“la luz llega a D” serán los dos puntos de corte de las líneas de mundo de la luz con las de T y D. Los sucesos A y B son simultáneos para Bogart y para Bacall, que comparten el mismo marco de referencia O. Obsérvese que la línea de puntos negros de (k) es una línea de simultaneidad de las de la figura (f).

Repitamos el experimento con el coche de Bacall en marcha. Tenemos ahora dos marcos: O para Bogart y O’ para Bacall. Observemos las líneas de mundo de T, D y de la propia Bacall inclinadas hacia la derechaen la figura (l). Para todos los sistemas de referencia la luz viaja a velocidad c, por el 2º postulado, así que representamos las líneas de mundo de la luz a 45º. Bacall -que se encuentra en reposo respecto del coche- verá llegar ambos rayos simultáneamente a T y a D en un determinado instante t’. Esos dos sucesos, llamados A’ y B’ definirán para ella una línea de simultaneidad t’ = constante. Para Bogart, en cambio, el rayo de luz llegará antes a T que a D, ya que T se acerca a la luz y D se aleja de ella una vez que fue emitida. Esto es coherente para Bogart ya que la línea que une los puntos A’ y B’ no es paralela al eje x de su marco de referencia, luego nunca podrá unir sucesos simultáneos para O.
Sólo nos queda trasladar paralelamente la línea de puntos negros que une A’ y B’ en (l) –que es una línea de simultaneidad para O’- hasta el origen de coordenadas t’=0 y obtendremos el eje x’. Ver figura (m). Parece lógico, por el 1er. postulado, aceptar que el ángulo entre los ejes x, x' debe ser igual a θ, de modo que pueda mantenerse el hecho de que las líneas de mundo de la luz partiendo del origen sigan siendo bisectrices en cualquier sistema de referencia. Visto de otro modo, el 2º postulado mantiene su vigencia si c es invariante siendo dt'=dx' en O' y dt=dx en O para las lineas de mundo de la luz.

Observemos también cómo la adimensionalidad de v nos permite definir los ejes t’ y x’ como x=vt y t=vx respectivamente sin ningún problema de inconsistencia.

Sobre la simultaneidad

Es interesante reflexionar lo siguiente: Los sucesos A’ y B’ que son simultáneos en un sistema O’ no lo son en O. Hemos llegado a esto gráficamente manejando la idea de que la velocidad de la luz es un invariante (líneas de mundo como bisectrices de t-x) y la idea de la no existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por supuesto, hemos podido congeniar ambas ideas eliminando el prejuicio clásico de que el tiempo es absoluto para todos los sistemas de referencia, lo que nos ha permitido buscar inicialmente un nuevo eje t’ para O’.
Así pues, los postulados relativistas cobran sentido si aceptamos que la simultaneidad entre dos sucesos no es absoluta (no es independiente del observador).

Ya sabemos dibujar ejes t-x y t'-x' conociendo únicamente v!
(Continuará)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (I)

Introducción

La Dilatación del Tiempo y la Contracción de Longitudes son los dos resultados más famosos e interesantes de la cinemática relativista (Relatividad Especial). Intentaremos deducirlos de un modo estrictamente gráfico –utilizando ejes al estilo cartesiano- partiendo de diversos experimentos mentales, introduciendo los postulados de la Relatividad pero eludiendo el álgebra asociada. Comenzaremos por introducir diagramas sencillos de espacio y tiempo.

Familiarizémonos con los diagramas al estilo clásico, en donde dibujábamos las trayectorias de cuerpos en movimiento. Utilizaremos, sin embargo, un eje vertical para el tiempo t y otro horizontal para el espacio x, simplificando así los movimientos para una sola dimensión e invirtiendo la habitual manera de utilizar los ejes en la mecánica clásica. En estos diagramas cada punto representará un suceso tal como “un coche existe en una determinada posición” o “el agente Smith aprieta el gatillo de su revólver”. La consecución de sucesos en el tiempo nos dibujará una línea -que denominaremos línea de mundo- en la que sucesos anteriores serán causa de los posteriores. Por el momento, nos situaremos en el punto de vista de un observador situado en el origen de coordenadas, en reposo, autodenominado H. Bogart. Este marco de referencia lo denotaremos a menudo como O.

Veamos algunas de estas líneas de mundo:

(a) Un coche estacionado en un vado momentos antes de ser denunciado.

(b) El mismo coche llevado por la grúa alejándose hacia la derecha.

(c) El mismo coche alejándose hacia la izquierda.

(d) Una pelota de frontón rebotando en una pared.

(e) Un rayo de luz, cuya velocidad c es muy grande.

Todos los movimientos parten de t=0 aunque la posición en el eje x es arbitraria. Las velocidades son constantes, por ello, tenemos líneas escrupulosamente rectas.
Las pendientes de estas líneas de mundo son dt/dx = 1/v, por lo que serán menores cuanto mayor sea la velocidad v. De ahí que el caso (e) sea una línea muy horizontal.

Advirtamos también que Bogart utiliza la geometría euclídea y hace uso de todas las reglas que de ella se derivan. En especial, puede trasladar paralelamente el eje de tiempo y superponerlo a la línea de mundo del caso (a).

De este modo, se sitúa x=0 en la posición del coche estacionado y simplemente habrá efectuado una traslación en las coordenadas del espacio. De igual modo, si Bogart mueve el eje horizontal x paralelamente hasta otro valor del tiempo, trasladará el origen del tiempo t=0 a cualquier otro punto.
De hecho, todas las infinitas paralelas a los ejes espacio y tiempo son líneas de simultaneidad y de reposo respectivamente, como muestran las figuras (f) y (g).

Dos modificaciones y un límite gráfico a la Causalidad

Por último, preparemos el terreno para nuestras próximas consideraciones. Llevaremos a cabo dos modificaciones:

1ª MODIFICACIÓN: El eje t pasa a ser ct

Escalamos el eje del tiempo con la velocidad de la luz c. El espacio recorrido por la luz siempre será igual a su velocidad c multiplicada por el tiempo empleado. Ahora, la representación del rayo de luz de (e) será una línea de mundo de pendiente cdt/dx = c/c = 1 y, por tanto está a 45º del eje x. Ninguna otra velocidad podrá superar a c, por lo que cualquier línea de mundo que no sea de luz estará a un ángulo mayor de 45º como puede verse en el diagrama (h). Esto tiene algunas implicaciones para las relaciones gráficas de Causalidad: sólo podremos unir dos sucesos causa-efecto por líneas de mundo con inclinaciones mayores de 45º.

Así, en la figura (i) los sucesos A y B pueden unirse por una línea de mundo pero la Relatividad prohibiría hacerlo entre A y C, de modo que A nunca podría ser causa de C en ningún sistema de referencia. En esta figura, se han representado dos líneas de mundo -en azul- para un rayo de luz más general que sale del origen de coordenadas, propagándose en los dos sentidos de la dimensión espacial x. Todo el espaciotiempo subtendido por las dos líneas de mundo de la luz sería el posible "Futuro" de A, mientras que las zonas a derecha e izquierda contendrían sucesos que no estarían ligados causalmente con A, con lo que, a menudo, a esa zona se la denomina simplemente "otra parte".

2ª MODIFICACIÓN: c=1

Definiremos una nueva unidad de tiempo: "el metro de tiempo". 1 m de tiempo será el tiempo que tarda la luz en recorrer 1 m. De modo que, con esta nueva unidad,
c = (espacio recorrido en un cierto intervalo de tiempo / ese intervalo de tiempo) = (1 m / 1 m) = 1 [sin dimensiones]

Cualquier otra velocidad la expresaremos como una fracción de c.
(Continuará)