¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (y III. Ejemplos)

Después de repasar los conceptos de Derivación e Integración y ver la reveladora correspondencia entre ambos mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, comentaremos algunos casos concretos de derivadas y primitivas en el campo de la física y la matemática.

La Fuerza de Newton

Como vimos, Derivación e Integración son procesos que relacionan íntimamente las curvas posición x(t) y velocidad v(t), consideradas como funciones del tiempo. Cuando la velocidad no sea constante, es decir si v=v(t) podremos estudiar también las pendientes de sus tangentes y en tal caso, Derivar de nuevo para obtener una nueva curva: la aceleración a(t)=dv/dt que, como es bien sabido, resulta ser el concepto estrella de la dinámica newtoniana.
En la figura 8 vemos todos estos procesos donde la Derivación d/dt se efectúa hacia la izquierda y la integración ∫ dt hacia la derecha.

Para Sir Isaac -como queda más o menos descrito en sus Principia Mathematica- la cantidad del movimiento o Ímpetu es definida como el producto de la masa por la velocidad p=mv, siendo éste un concepto que diferencia claramente las consecuencias del movimiento de dos cuerpos de diferente masa que se mueven a igual velocidad. Así, más que el movimiento en sí (contabilizado como velocidad), lo importante será la cantidad de ese movimiento (masa x velocidad), también denominada momento y que, como vemos en la figura 9, está relacionada directamente con el concepto de Fuerza. Efectivamente, considerando la derivada de p respecto del tiempo, dp/dt, (las pendientes de las rectas tangentes a la curva p(t)) obtendremos la famosa Fuerza y se dirá que la Fuerza es proporcional al cambio del movimiento, es decir, a la variación de la cantidad del movimiento. Esta fuerza es F=ma, en su expresión más divulgada de la 2ª Ley de Newton. Como vemos, hemos multiplicado por la masa las curvas a(t) y v(t) de la parte superior de la figura 9 para redescubrir la 2ª ley.

Por tanto, conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, podremos encontrar el modo como se moverá por el espacio x(t) simplemente dividiendo entre su masa e integrando respecto del tiempo dos veces F(t)/m -> p(t)/m -> x(t) y, claro está, ajustando las condiciones iniciales correspondientes reflejadas aquí como constantes C del proceso de integración.

Geometría y Metafísica

En la parte superior de la figura 10 hemos partido de la extraña cantidad 2π. De algún modo, 2π representa todo el espacio plano de un modo angularizado. (O quizá no representa nada en términos cotidianos...) Podría interpretarse como una especie de generador de figuras geométricas que son cada una la suma debidamente calculada de la otra. Veamos cómo.
Recordemos la figura 6, donde la cantidad dx evaluada de x_b a x_a tenía que ser justamente la longitud x_b -x_a de algún segmento a lo largo de la dimensión x. En el caso que nos ocupa, al integrar 2π sobre r desde r=0 hasta r=R, obtendremos 2πR: la longitud de una circunferencia de radio R, una longitud radial.
Ahora, sumemos circunferencias de radios que vayan de 0 a R y cuyo grosor radial sea infinitesimal (que tiende a 0 tanto como queramos). En este caso, obtenemos toda la superficie de un círculo de radio R: πR². Es el área en 2 dimensiones generada por la integración de cantidades de 1 dimensión.
Finalmente, ¿qué ocurrirá si sumamos infinitos círculos cuyo radio varíe infinitesimalmente de 0 a R y cuyo grosor sea dr?. Estaremos construyendo un montículo de pastillas circulares resultando un cono sólido de altura igual al radio de su base, h=R. El resultado es efectivamente el Volumen de un cono de este tipo, V = (1/3)πR³.

Pasemos a la parte inferior de la figura 10 e intentemos hallar el análogo a la fila superior, considerando la superficie de la esfera en vez de la del círculo. Parece que, si tuviéramos que generarla mediante algún número similar a 2π, deberíamos cuadruplicarlo y usar 8π. De 8π obtendríamos 8πR, y de 8πr integrado de r=0 a r=R llegaríamos a la famosa superficie de la esfera 4πR². Un misterioso factor 4 hace posible el paso de las figuras de arriba a las de abajo.
Pero, ¿tiene esto algún sentido real más allá de la pura abstracción?¿Podríamos afirmar que con 4 circunferencias podemos hacer una superficie esférica de igual radio? ¿Es 8π una especie de "generador espacial tridimensional angularizado"? Acepto los comentarios pertinentes...
Vayamos ahora más hacia la derecha, es decir, sigamos integrando. Si sumamos infinitas superficies esféricas 4πr² de grosor infinitesimal dr evaluando de 0 a R obtendremos el Volumen total de la esfera (4/3)πR³ así como una cebolla completa es el resultado de unir todas sus capas interiores desde el punto central r=0 hasta la piel más externa r=R.
Fijémonos que de los resultados de la figura 10 podemos concluir lo siguiente:

V_esf = 4 V_con

Este interesante resultado puede visualizarse en la figura 11 donde vemos -o deberíamos ver- que la suma de dos conos incluidos en una esfera sólo alcanzaría la mitad del volumen total. Así que las partes sobrantes de cada semiesfera deben ser igual al volumen del cono que las ha delimitado.

Reto

Esto me recuerda al célebre resultado de Arquímedes, inscrito en su legendario epitafio, de que el volumen de la esfera contenida en un cilindro de altura y diámetro iguales a los de la esfera es:

V_esf = (2/3)V_cil

Así que con una esfera y media, rellenaríamos todo el cilindro.
Introduciendo nuestro cono de altura h=R dentro de la esfera de Arquímedes -figura 12- veríamos que necesitaremos 6 conos para rellenar el cilindro:

V_cil = (3/2)V_esf = 6V_con

¿Se esconde tras esto algún tipo de progresión? Si es así, ¿cuál es la siguiente figura que podemos contener dentro del cono?

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (II. Integración)

La Integral y el Teorema fundamental del cálculo

Hemos visto cómo hallando las pendientes de las tangentes de x(t) -ayudados por el concepto de límite- conseguimos obtener la fórmula de la velocidad v(t). A este método lo denominamos Derivación y a v(t) "la derivada de x(t)" (figura 3 del post anterior). Pero, ¿cuál es el paso inverso a la Derivación?, ¿cómo pasaríamos de la curva inferior v(t) a la superior x(t) en la figura 3?, ¿sabríamos reconstruir la posición a partir de la velocidad?

A este método inverso lo llamaremos "encontrar la Primitiva de v(t)".(Parece un buen nombre, ya que v(t) debe haberse generado originalmente a partir de x(t))

Tenemos las tangentes, pero no sabemos dónde colocarlas.

Probemos a reconstruir x(t) uniendo todas las tangentes una vez trasladadas desde v(t). Sabemos que las longitudes de los segmentos rojos de v(t) -como el segmento v(a)- son justamente el valor de la pendiente de la tangente de una función x(t) cuando t=a. Para empezar, tomemos ese segmento y llevémoslo a la parte superior de la gráfica en la Figura 4. La inclinación será igual a la longitud del segmento, así que ya sabemos cómo inclinarlo... aunque no dónde ponerlo. Bueno, lo pondremos a la altura que queramos. Al fin y al cabo, ya vimos que infinitos corredores saliendo de diversas posiciones pueden describirse con la misma curva v(t) si corren de la misma forma. Al poner el segmento a una altura determinada estaremos fijando esa constante C de la que hablábamos en el post anterior. Ya tenemos x(a).
Ahora, procedamos igual con el segmento v(b) cuya longitud es menor, luego la pendiente o inclinación de la tangente en b de la curva primitiva será menor. Lo llevamos arriba con la inclinación correcta pero... ¡maldición! ¿Y ahora a qué altura lo debemos colocar respecto de x(a)? Necesitaríamos conocer la distancia vertical al punto conocido, es decir, la cantidad x(b) - x(a). Al tener C fijada, este paso no puede ser arbitrario. ¡Y sin ese dato no podremos reconstruir la curva primitiva x(t) que estamos buscando!

La integral: una suma muy especial.

Cabilemos un poco. Hemos tomado dos segmentos muy separados. Cuanto más juntos los tomemos, más iguales en altura los deberemos situar al trasladarlos arriba. Intuitivamente vemos que un ligero cambio en la curva primitiva x(t) en un pequeño intervalo de tiempo t debe corresponderse con un ligero cambio similar en v(t). Así, dos segmentos de v(t) muy juntos traladados deberían colocarse prácticamente a igual altura uno de otro en la construcción de x(t).
Por tanto, la información de cómo deben situarse las tangentes arriba -sus alturas relativas- debe estar de algún modo contenida en todos los segmentos de abajo muy muy próximos entre un intervalo dado. No podemos dejarnos ni un sólo segmento y deben trasladarse todos en bloque. Pero eso de muy muy próximos, en el límite, querrá decir "separados un intervalo infinitesimal dt", como definimos en el tema de la Derivación. Si están separados dt, conformarán una serie de rectángulos estrechísimos de base dt y altura (*) más o menos v(t), cuyas áreas sumadas nos darán el área total bajo la curva v(t) en ese intervalo. Al fin y al cabo, podemos concebir un área como una suma de líneas verticales muy pegadas, tal y como muchas hileras estrechamente enebradas conforman la superficie de un tapete.
Es a esta área total bajo la curva en un intervalo dado a lo que llamamos Integral. La Integral es una suma especial, de infinitas porciones infinitésimas. Por ello, tomamos la S de Suma y la estiramos por arriba y por abajo para hacer constar que es una suma muy muy larga: la S se convierte entonces en ese símbolo ∫ tan amado y odiado por muchos.
Pero, ¿qué información nos da la integral? Según nuestro razonamiento, debería decirnos dónde colocar los segmentos arriba, es decir, a qué alturas relativas deben estar todos para poder reconstruir nuestra primitiva x(t). Si abajo sumamos rectángulos infinitesimales entre a y b, arriba obtendremos la altura relativa entre x(b) y el x(a), porque eso es justamente la curva x(t): una diferencia de valores en un intervalo dado. De modo que, tomando intervalos [a,b] tan estrechos como queramos abajo, sabremos con exactitud cómo ir colocando todos los segmentos en la zona de x(t). Ver la figura 5.
Este es el llamado Teorema Fundamental del Cálculo, cuyo pomposo nombre es bien merecido, al menos por la increíble síntesis de conceptos que supone.

Abracadabra.

Veamos ahora porqué los seguidores de Leibniz describían su cálculo diferencial como cosa de magia. Otro modo de obtener este último resultado es aplicar que v(t)=dx/dt y cancelar los dt de numerador y denominador dentro de la integral. De este modo nos quedará el resultado metafísico de "suma de infinitésimas equis en el intervalo [a,b]", dibujado entre llaves rojas en la figura 6. Podemos interpretar esto como una suma infinita de valores de equis tan próximos entre sí como queramos; y si sumamos puntos entre un intervalo dado lo que obtenemos es la longitud del propio intervalo, es decir, la diferencia de valores entre sus extremos: x(b) - x(a). ¡Tachán!



Un ejemplo del Teorema.

¿Cómo?, ¿aún no estáis sorprendidos? Entonces no me he explicado bien.
Veamos un ejemplo de la potencia de cálculo que todo esto supone: tomemos la curva de la velocidad del post anterior v(t)=2πt que habíamos obtenido derivando x(t). Pero cambiemos ahora la variable t por r. Ahora sí que nos resulta más familiar. Justamente, v(r)=2πr es la longitud de una circunferencia de radio r. Imaginemos que queremos conocer el área contenida dentro de una circunferencia de radio R. Es decir, queremos hallar la fórmula para el área de un círculo. Para ello, integramos v(r) en el intervalo de r=0 hasta r=R, y estaremos sumando infinitésimos rectángulos circulares de longitud circular 2πr y grueso dr. (Ver figura 7).
Bien, ¿cuánto vale esa integral ∫ v(r) dr de 0 a R?. Ni idea. Tal vez sea un cálculo muy complicado. Pero lo que sí sabemos es que la curva v(r) tiene como primitiva x(r)=πr² porque, dada la facilidad de hallar pendientes a una curva (mediante el concepto de límite), habíamos calculado anteriormente que 2πr era la Derivada de πr².
Así, que, por el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫ v(r) dr = x(R) - x(0) = πR²

Ya tenemos el área del círculo!

Fijaos que no ha sido necesario tratar con series infinitas ni hacer interminables cálculos geométricos al estilo de los antiguos griegos... Acabamos de obtener una superficie basándonos sólo en el conocimiento de que la Derivada de πr² es 2πr.

Como hemos visto, el T. F. del Cálculo relaciona la Derivación (hallar pendientes de tangentes) con la Integración (sumar infinitas áreas infinitésimas). Y esto, de repente, se traduce en diferenciales que se cancelan por aquí y por allá y en tener bien a mano una serie de resultados de Derivación -más fáciles de calcular- para obtener primitivas de cualquier función. Bueno, pero no todo es tan bonito como parece, ya que podemos encontrar funciones que no puedan ser integradas por este método o toparnos al derivar con límites que no existan pero... ese ya es otro tema.
Por el momento, disfrutemos del éxito obtenido porque ésta es posiblemente la herramienta utilizada en el 99% de los problemas habituales de la ciencia moderna. Próximamente, veremos algunas disquisiciones más sobre ello. :-)

(Continuará)

(*): Esto de más o menos se hace evidente observando los rectángulos rojos de la figura 5. De hecho, al dividir en porciones cada vez más pequeñas la suma de todos se aproxima cada vez más al área total. Ésta es la llamada integral de Riemann. Sólo al final, la altura de cada rectángulo es realmente v(t). Que me perdonen los matemáticos... :-) Para ver el proceso con más rigor, véase por ejemplo esto.

¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (I. Derivación)

Todo lo que siempre quiso saber sobre Derivadas e Integrales y nunca se atrevió a preguntar...

Millones de personas las usan constantemente pero sólo unos pocos son conscientes de ello. Sin duda, la ciencia seguiría en pañales sin estas extraordinarias herramientas. Allá por el s. XVII, había dos problemas matemáticos cruciales: obtener las rectas tangentes a una curva y calcular áreas y volúmenes. Leibniz y Newton, independientemente, llegaron a comprender la profunda relación entre ellos... Comenzemos por un enfoque newtoniano de la derivación.

Las tangentes del movimiento

El estudio del movimiento de un cuerpo podía reducirse al estudio de su posición respecto del tiempo. En notación moderna, sería conocer la curva x(t). Y, como diría Newton, esta curva es una magnitud fluyente pues es el resultado de un punto que fluye contínuamente. Ahora bien, más allá de la posición, también querremos conocer la velocidad del cuerpo para estudiar la naturaleza dinámica de lo que está sucediendo (pues la velocidad nos dará información sobre la aceleración, que es la magnitud clave en la dinámica).
Para ello, podríamos calcular el cociente entre las diferencias de posición de dos puntos de la curva A y B y el tiempo entre ellos. Esto nos daría una velocidad, pero sería una velocidad media entre los dos puntos y no aportaría información sobre la velocidad instantánea en cada punto. Fijémonos en la figura 1, donde la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. No sabríamos, por ejemplo, la velocidad real en A. Para conseguirlo, debemos calcular el cociente de esas mismas cantidades para diferencias muy pequeñas de tiempo, tomando dos puntos infinitamente próximos de modo que en el final de esa infinitud sean el mismo punto, en nuestro caso, el A. Así sabremos la velocidad instantánea v(a). Para Newton, esto se reducía a un cociente de dos cantidades que se desvanecen a la vez.
En la figura 2, vemos cómo el acercamiento de B hacia A implica esa disminución ad infinitum de las dos cantidades. Aquí, la recta final es una tangente a la curva en el punto A. En lenguaje moderno: obtenemos la pendiente PA haciendo el límite del cociente de ambas cantidades cuando B -> A ó lo que es igual, cuando b -> a. (Sólo es posible el límite si esa función cociente es continua, lo que no sería problema para Newton, ya que esta curva es el resultado de un punto que se mueve de forma continua, sin sobresaltos)

¡Y aquí entra en juego la famosa tangente! Fijémonos que ese cociente de dos cantidades que tienden a cero a la vez, al final, no es más que la pendiente de la recta tangente -en color rojo- a la curva en el punto A. De este modo, el valor obtenido será mayor cuánto más inclinada sea la recta tangente, cero si la tangente es horizontal (cuando A es un máximo o un mínimo en la curva la pendiente es nula) y positivo o negativo dependiendo de si la curva crece o decrece hacia la derecha.
Por tanto, el problema de hallar las tasas de cambio de una magnitud continua, como la de la posición respecto del tiempo (la velocidad) se reduce al arte de hallar tangentes a una curva. Lo haremos obteniendo la fórmula general para todas las tangentes de la curva posición usando el límite de la figura 2. A este proceso lo llamaremos Derivación o Diferenciación. Y a las cantidades x(b)-x(a) y b-a cuando b->a se las denominará diferenciales dx y dt respectivamente, indicando así que son cantidades infinitesimales o infinítamente pequeñas.

Jugando con las pendientes (de las tangentes)

Muy bien, ya sabemos calcular las velocidades instantáneas en cada posición de un cuerpo en movimiento. Dicho de otro modo, tenemos las tangentes. Representemos ahora esas rectas tangentes con una peculiaridad: serán segmentos de longitud igual al valor de la pendiente de la tangente. Observemos la parte superior de la figura 3 donde hemos dibujado en color rojo esos segmentos. En en el punto C, el segmento de la tangente tiene una determinada longitud, en B es de longitud mayor (mayor inclinación de la tangente, luego mayor pendiente) y en A y D es tan sólo un punto (ya que la pendiente de la recta tangente es nula).

Atención porque ahora viene lo bueno: tomemos esos segmentos y coloquémoslos en posición vertical en una nueva gráfica, en la parte inferior de la figura 3, construyendo una curva con ellos de modo que cada punto tenga como valor la altura del segmento. Si el segmento tenía un valor negativo de longitud como el del punto E (porque venía de una tangente con inclinación hacia abajo) lo colocaremos también hacia el sentido negativo del eje vertical. Unamos finalmente los puntos obtenidos mediante una curva e imaginemos que hemos procedido escrupulosamente para todos los puntos de la curva anterior, trasladando todas las tangentes. Lo que hemos hecho es Derivar la curva posición. Tenemos ahora una nueva curva que representa la velocidad en función del tiempo, ya que cada valor de la función es justamente la pendiente de las tangentes de la función posición anterior.
Observemos que, de haber dibujado la curva superior x(t) más arriba o más abajo en la gráfica, habríamos obtenido exactamente la misma curva v(t) de abajo, ya que ésta la hemos construido con las pendientes de las tangentes de x(t), y no se ve afectada por posibles desplazamientos verticales en x(t). Podemos entenderlo físicamente si imaginamos que varios corredores que comienzan una carrera desde diferentes posiciones (lo que equivale a sumar una constante a la función posición) tendrán la misma velocidad si corren de igual forma. Pero, mirando la figura 3, ¿qué misteriosa relación tiene esta curva inferior con la anterior?

Un caso imaginario de Derivación

Consideremos el caso imaginario en que la posición de un cuerpo varía con el tiempo según la extraña relación

x(t) = πt²

Es decir, en el instante t=1 segundo estará en la posición x= π metros, para t=2 segundos, en x= 4π metros y así sucesivamente.

Calculemos ahora la fórmula general para la pendiente de las rectas tangentes a la curva posición. Para ello, obtengamos primero la velocidad real en un instante t=a. Según lo visto en la figura 2, haremos:

v(a) = lim [(x(b)-x(a)) /(b-a)] = lim [(πb² - πa²) / (b-a)] = lim [π(b² - a²) / (b-a)] = lim π(b+a) = π(a+a) = 2πa
donde hemos usado que b² - a² = (b+a)(b-a) y donde lim se refiere al límite cuando b -> a

Vemos que en el caso general, para cualquier instante de tiempo t, tomando intervalos infinitesimales para hallar las tangentes,

v(t) = 2πt

Perfecto, ésta es la curva que describe cómo varía la velocidad del cuerpo cuya posición viene dada por πt². Diremos que la Derivada de πt² es 2πt. De hecho, en el caso general, si la curva posición tiene un desplazamiento vertical, -lo que equivale a sumarle una constante C- la curva v(t) será la misma, como hemos comentado en relación a la figura 3. Diremos entonces que las Derivadas de πt² + C son 2πt, para todas las ces. (Y C=0 es el caso particular que considerábamos)
Respecto a la notación, la más divulgada es la de Leibniz, donde dx/dt = v(t) o bien x'(t) = v(t) y en la notación más usada por Newton, x con un punto encima -cosa que no sé hacer con el teclado- significa también derivada respecto del tiempo, aunque él la llamaría fluxión de x. (Asímismo, al diferencial dt lo denota como o)
Bien, ya sabíamos que la derivada de la posición era la velocidad, pero ¿por qué es tan importante esta construcción de la función velocidad? ¿Y qué tiene que ver con el cálculo de áreas y volúmenes? Todo esto podría parecer un mero entretenimiento matemático si no fuera por las sorprendentes propiedades que encierra... pero, hagamos un breve descanso.

(Continuará)

Cuerdas, música y matemáticas

¿Qué hace que una combinación particular de sonidos nos resulte agradable (con-sonante) o desagradable (a-sonante)? ¿La cultura?¿La ideología?.

Desde luego, hay una mezcla inseparable de muchas cosas, pero a un nivel profundo, una esencia parece regir nuestro placer auditivo…¡una esencia matemática!

Armónicos y Pitagóricos

Nuestra cultura occidental atribuye a Pitágoras (o más bien, a su escuela) el descubrimiento de que el sonido obtenido tras pulsar una cuerda fijada por dos extremos y fijada a la mitad de distancia, resulta el mismo sonido, pero más agudo. La nota es la misma, una 8ª más alta. Y ¿por qué nos parece el mismo sonido?

Si el sonido se produce por una vibración periódica del aire, podemos idealizarlo como una onda propagándose. Las ondas se caracteriza por su Longitud y Frecuencia. La Frecuencia es el número de veces que se produce la oscilación por unidad de tiempo. De este modo, cuando escuchamos dos sonidos cuyas oscilaciones vibran con igual frecuencia o con frecuencias que se complementan, nos resultan armónicos.

Supongamos dos notas simultáneas, A y B. La A es una onda de presión que vibra el doble de veces que la B. Esto hará que la nota resultante A + B tenga una onda periódica en la cual encajan perfectamente las dos ondas originales. Por cada 1000 veces que la onda de presión de la nota A excita nuestro oído, la de B lo excita sólo 500 veces. Así, la periodicidad de A contiene a la de B. Por decirlo de un modo atrevido: la sensación que obtenemos al escuchar la nota A contiene a la sensación de escuchar la B. Este hecho es, en términos matemáticos, geométrico. Vemos que hay un factor 2 multiplicativo. Para que ocurra esta maravilla perceptiva hablamos siempre de mitades o dobles.

Bien, en este ejemplo, las dos notas A y B son por tanto armónicas. Pero no son las únicas. El cerebro interpreta que son la misma nota, pero otras muchas notas intermedias entre A y B también nos resultarán agradables (armónicas) siempre que la diferencia de frecuencias permita que las ondas se complementen, justamente, según las relaciones de enteros encontradas por los pitagóricos.

Por otro lado, cuando dos ondas tienen frecuencias ligeramente diferentes, la onda resultante tiene puntos de anulación produciéndose la sensación auditiva de latido o latencia. Este hecho es utilizado por los músicos expertos para afinar los instrumentos.

Más razones

Como hemos dicho, estas relaciones entre las ondas se ve traducida, en tiempos de los pitagóricos a relaciones numéricas (razones).

De este modo, la 4ª de una nota se encontraba reduciendo la distancia a ¾ de la original, la 5ª a una distancia de 2/3… Las 7 notas podían encontrarse mediante razones de enteros. Finalmente, la 8ª se encontraba a una distancia de 1/2, es decir, a la mitad de la original. Y así, podemos construir la llamada escala diatónica. (Equivale a las teclas blancas del piano) [Más detalles de cómo construir la escala de este modo, aquí.]

No sólo esto, el sonido producido por una cuerda (de longitud L) no se corresponde con una única forma de vibrar. De hecho hay infinitos modos de vibración simultáneos. Ahora bien, no todos vibran con igual intensidad. El primer modo (n=1) se corresponde con la cuerda vibrando en toda su extensión y es el más intenso; el segundo modo (n=2), con la cuerda vibrando a la mitad y un punto fijo en medio, es decir, con una longitud de onda la mitad de la del primer modo: nos da la 8ª; el tercer modo (n=3) oscila con una longitud de onda igual a 2/3 de L: nos da la 5ª de la fundamental, etc… Estos modos de vibración son los denominados Armónicos. Son prácticamente inaudibles, pero no totalmente.

Resulta sorprendente cómo la matemática hace de sustrato en el comportamiento de la naturaleza. Cómo los números y las razones entre ellos emanan del estudio detallado del sonido. El estudio de la música es el estudio de la combinación de sonidos y pasa por una numeración, ya sea de crestas de ondas o de longitudes de cuerdas o de tubos.
Las fracciones de enteros, en este caso están íntimamente relacionadas con algo tan metafísico y espiritual como el placer auditivo, que parece no poder ubicarse en ninguna parte…

Del mismo modo, las modernas teorías de cuerdas utilizan el concepto de armónico para dar cuentas de las partículas del modelo estándar. Así, cada partícula sería una especie de modo de vibración armónico de una cuerda. Quizá Pitágoras no estuviera tan desencaminado y el silencio de la noche no sea ni más ni menos que una especie de música celestial… Y quizá sus teorías estén en con-sonancia con las nuestras...

142857

142857 es la parte periódica del inverso de 7. Es decir:

1/7 = 0,142857142857142...

Se trata de un número cíclico, es decir, su tabla de multiplicar se repite si realizamos determinadas permutaciones cada 7, que es casualmente el número cuyo inverso lo genera:

142857 x 1 = 142857

142857 x 2 = 285714 Permutación comenzando por la 3ª cifra

142857 x 3 = 428571 Permutación comenzando por la 2ª cifra

142857 x 4 = 571428 Permutación comenzando por la 5ª cifra

142857 x 5 = 714285 Permutación comenzando por la 6ª cifra

142857 x 6 = 857142 Permutación comenzando por la 4ª cifra

142857 x 7 = 999999 Todos nueves!

(Este último resultado es de esperar, ya que 0,142857 es aproximadamente igual al inverso de 7, así que 0,142857 x 7 es casi 1)

Nuevo Ciclo

142857 x 8 = 1142856 El 7 final de 142857 se ha dividido en 6 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 9 = 1285713 El 4 final de 142857 x 2 se ha dividido en 3 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 10 = 1428570 El 1 final de 142857 x 3 se ha dividido en 0 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 11 = 1571427 El 8 final de 142857 x 4 se ha dividido en 7 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 12 = 1714284 El 5 final de 142857 x 5 se ha dividido en 4 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 13 = 1857141 El 2 final de 142857 x 6 se ha dividido en 1 + 1. El 1 pasa adelante.
142857 x 14 = 1999998 El 9 final de 142857 x 7 se ha dividido en 8 + 1. El 1 pasa adelante.

Nuevo Ciclo

142857 x 15 = 2142855 El 7 final de 142857 se ha dividido en 5 + 2. El 2 pasa adelante...

Como todos los resultados se generan por permutaciones y/o desglose de las cifras originales, los múltiplos de 142857 dan 9 cuando sumas sus seis cifras. Y 9 es justamente la cifra que se repite al completar cada ciclo de 7 multiplicaciones.

Pero no acaba aquí, hay muchas más relaciones curiosas entre éste número, el 7 y el 9. Os invito a buscarlas y a intentar generar más números cíclicos como éste...

No es de extrañar que este número fuera considerado un número mágico en la antigüedad, y tal vez lo sea...!!!

Demostraciones sin palabras

He aquí algunas demostraciones matemáticas de series numéricas, en una especie de inducción visual.

Cuando os falle la memoria, hacéis el dibujito y listo! Lo cierto es que la serie que converge a 1/3 es espectacular, ¿verdad? Lástima que no he podido hacer el resto de cuadraditos verdes, pero os los imaginais...

¿Qué diferencia hay entre una demostración formal y una visual? De entrada, podríamos decir que la formal es indiscutible, cualquiera que comprenda el lenguaje en el que está desarrollada aceptará la verdad del desarrollo.

Pero, ¿acaso no es eso lo mismo que hacemos aquí? Al final, todo se reduce a un lenguaje de símbolos, ya sean letras o cuadraditos...
Para muchos, no es suficiente encontrar una demostración a un problema, buscan además que la demostración sea bella.

Clicad en la imagen para ampliar...