¿Qué es derivar e integrar una función, y para qué sirve? (I. Derivación)

Todo lo que siempre quiso saber sobre Derivadas e Integrales y nunca se atrevió a preguntar...

Millones de personas las usan constantemente pero sólo unos pocos son conscientes de ello. Sin duda, la ciencia seguiría en pañales sin estas extraordinarias herramientas. Allá por el s. XVII, había dos problemas matemáticos cruciales: obtener las rectas tangentes a una curva y calcular áreas y volúmenes. Leibniz y Newton, independientemente, llegaron a comprender la profunda relación entre ellos... Comenzemos por un enfoque newtoniano de la derivación.

Las tangentes del movimiento

El estudio del movimiento de un cuerpo podía reducirse al estudio de su posición respecto del tiempo. En notación moderna, sería conocer la curva x(t). Y, como diría Newton, esta curva es una magnitud fluyente pues es el resultado de un punto que fluye contínuamente. Ahora bien, más allá de la posición, también querremos conocer la velocidad del cuerpo para estudiar la naturaleza dinámica de lo que está sucediendo (pues la velocidad nos dará información sobre la aceleración, que es la magnitud clave en la dinámica).
Para ello, podríamos calcular el cociente entre las diferencias de posición de dos puntos de la curva A y B y el tiempo entre ellos. Esto nos daría una velocidad, pero sería una velocidad media entre los dos puntos y no aportaría información sobre la velocidad instantánea en cada punto. Fijémonos en la figura 1, donde la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. No sabríamos, por ejemplo, la velocidad real en A. Para conseguirlo, debemos calcular el cociente de esas mismas cantidades para diferencias muy pequeñas de tiempo, tomando dos puntos infinitamente próximos de modo que en el final de esa infinitud sean el mismo punto, en nuestro caso, el A. Así sabremos la velocidad instantánea v(a). Para Newton, esto se reducía a un cociente de dos cantidades que se desvanecen a la vez.
En la figura 2, vemos cómo el acercamiento de B hacia A implica esa disminución ad infinitum de las dos cantidades. Aquí, la recta final es una tangente a la curva en el punto A. En lenguaje moderno: obtenemos la pendiente PA haciendo el límite del cociente de ambas cantidades cuando B -> A ó lo que es igual, cuando b -> a. (Sólo es posible el límite si esa función cociente es continua, lo que no sería problema para Newton, ya que esta curva es el resultado de un punto que se mueve de forma continua, sin sobresaltos)

¡Y aquí entra en juego la famosa tangente! Fijémonos que ese cociente de dos cantidades que tienden a cero a la vez, al final, no es más que la pendiente de la recta tangente -en color rojo- a la curva en el punto A. De este modo, el valor obtenido será mayor cuánto más inclinada sea la recta tangente, cero si la tangente es horizontal (cuando A es un máximo o un mínimo en la curva la pendiente es nula) y positivo o negativo dependiendo de si la curva crece o decrece hacia la derecha.
Por tanto, el problema de hallar las tasas de cambio de una magnitud continua, como la de la posición respecto del tiempo (la velocidad) se reduce al arte de hallar tangentes a una curva. Lo haremos obteniendo la fórmula general para todas las tangentes de la curva posición usando el límite de la figura 2. A este proceso lo llamaremos Derivación o Diferenciación. Y a las cantidades x(b)-x(a) y b-a cuando b->a se las denominará diferenciales dx y dt respectivamente, indicando así que son cantidades infinitesimales o infinítamente pequeñas.

Jugando con las pendientes (de las tangentes)

Muy bien, ya sabemos calcular las velocidades instantáneas en cada posición de un cuerpo en movimiento. Dicho de otro modo, tenemos las tangentes. Representemos ahora esas rectas tangentes con una peculiaridad: serán segmentos de longitud igual al valor de la pendiente de la tangente. Observemos la parte superior de la figura 3 donde hemos dibujado en color rojo esos segmentos. En en el punto C, el segmento de la tangente tiene una determinada longitud, en B es de longitud mayor (mayor inclinación de la tangente, luego mayor pendiente) y en A y D es tan sólo un punto (ya que la pendiente de la recta tangente es nula).

Atención porque ahora viene lo bueno: tomemos esos segmentos y coloquémoslos en posición vertical en una nueva gráfica, en la parte inferior de la figura 3, construyendo una curva con ellos de modo que cada punto tenga como valor la altura del segmento. Si el segmento tenía un valor negativo de longitud como el del punto E (porque venía de una tangente con inclinación hacia abajo) lo colocaremos también hacia el sentido negativo del eje vertical. Unamos finalmente los puntos obtenidos mediante una curva e imaginemos que hemos procedido escrupulosamente para todos los puntos de la curva anterior, trasladando todas las tangentes. Lo que hemos hecho es Derivar la curva posición. Tenemos ahora una nueva curva que representa la velocidad en función del tiempo, ya que cada valor de la función es justamente la pendiente de las tangentes de la función posición anterior.
Observemos que, de haber dibujado la curva superior x(t) más arriba o más abajo en la gráfica, habríamos obtenido exactamente la misma curva v(t) de abajo, ya que ésta la hemos construido con las pendientes de las tangentes de x(t), y no se ve afectada por posibles desplazamientos verticales en x(t). Podemos entenderlo físicamente si imaginamos que varios corredores que comienzan una carrera desde diferentes posiciones (lo que equivale a sumar una constante a la función posición) tendrán la misma velocidad si corren de igual forma. Pero, mirando la figura 3, ¿qué misteriosa relación tiene esta curva inferior con la anterior?

Un caso imaginario de Derivación

Consideremos el caso imaginario en que la posición de un cuerpo varía con el tiempo según la extraña relación

x(t) = πt²

Es decir, en el instante t=1 segundo estará en la posición x= π metros, para t=2 segundos, en x= 4π metros y así sucesivamente.

Calculemos ahora la fórmula general para la pendiente de las rectas tangentes a la curva posición. Para ello, obtengamos primero la velocidad real en un instante t=a. Según lo visto en la figura 2, haremos:

v(a) = lim [(x(b)-x(a)) /(b-a)] = lim [(πb² - πa²) / (b-a)] = lim [π(b² - a²) / (b-a)] = lim π(b+a) = π(a+a) = 2πa
donde hemos usado que b² - a² = (b+a)(b-a) y donde lim se refiere al límite cuando b -> a

Vemos que en el caso general, para cualquier instante de tiempo t, tomando intervalos infinitesimales para hallar las tangentes,

v(t) = 2πt

Perfecto, ésta es la curva que describe cómo varía la velocidad del cuerpo cuya posición viene dada por πt². Diremos que la Derivada de πt² es 2πt. De hecho, en el caso general, si la curva posición tiene un desplazamiento vertical, -lo que equivale a sumarle una constante C- la curva v(t) será la misma, como hemos comentado en relación a la figura 3. Diremos entonces que las Derivadas de πt² + C son 2πt, para todas las ces. (Y C=0 es el caso particular que considerábamos)
Respecto a la notación, la más divulgada es la de Leibniz, donde dx/dt = v(t) o bien x'(t) = v(t) y en la notación más usada por Newton, x con un punto encima -cosa que no sé hacer con el teclado- significa también derivada respecto del tiempo, aunque él la llamaría fluxión de x. (Asímismo, al diferencial dt lo denota como o)
Bien, ya sabíamos que la derivada de la posición era la velocidad, pero ¿por qué es tan importante esta construcción de la función velocidad? ¿Y qué tiene que ver con el cálculo de áreas y volúmenes? Todo esto podría parecer un mero entretenimiento matemático si no fuera por las sorprendentes propiedades que encierra... pero, hagamos un breve descanso.

(Continuará)

Crítica irreverente al Proslogion de San Anselmo

Top 10 del Márqueting escolástico

Se trata de un librito con 26 pensamientos filosóficos escritos por este benedictino del s.XI.
Todas sus reflexiones intentan convencernos (y convencerse él mismo) de que usando la lógica podemos demostrar la existencia de Dios y explicar las aparentes contradicciones que ello supone.

La idea más importante es el llamado Argumento Ontológico de la existencia de Dios, que aparece ya en la IIª reflexión:

Primero, define a Dios como "aquello más grande de lo cual nada puede pensarse".
Luego, por reducción al absurdo, pasa a demostrar su existencia de este modo:
Supongamos que Dios no existiera realmente y que tan sólo fuera una idea del pensamiento.
Si no existiera, podríamos pensar algo mayor que Dios: algo igual de grande y que además exista. Luego, sería más grande porque existiría.
Pero eso entra en contradicción con nuestra definición de Dios, que era ya lo mayor que podía pensarse. Luego Dios debe existir.

Sigue San Anselmo reflexionando sobre temas tan polémicos como ¿Por qué Dios es a veces misericordioso y otras veces impasible?,¿Por qué a veces Dios castiga a los malos y otras veces los perdona?. En definitiva, ¿Por qué Dios obra de formas opuestas ante una misma cosa?
Para entenderlo, hay que buscar las causas en un lugar o en otro -dependiendo de si castiga o perdona-. Si castiga es que lo ha hecho por los méritos de los malos. Si perdona, lo hace movido por su propia bondad divina. Así que todo se explica a posteriori, haciendo cuadrar las causas con los efectos sólo una vez conocidos los efectos. Por lo que no podemos predecir nada. Como dice San Anselmo, al fin y al cabo, todo lo que veo lo veo por tu luz pero no puedo verte completo.

Sobre el argumento ontológico

El argumento ontológico parece algo confuso al principio, pero provad a cambiar el término grande por perfecto, que sería el sentido implícito que aquí se está dando a Dios. Así, para San Anselmo la existencia de algo es una propiedad que mejora su perfección. Este truco es el que sostiene la lógica del argumento y evidentemente es gratuito. Vaya, que se lo saca de la manga. Esta mezcla de lógica y fe es alucinante e incluso atractiva y debo admitir que apunto estuve tras su lectura de volverme un aférrimo defensor de aquello más grande de lo cual nada puede pensarse (y que, por tanto, debe existir).
Me han impactado mucho las reflexiones del librito, por sus elegantes trucos de prestidigitador. La hermosa poesía que emana de sus palabras recuerda a algunos de los mejores versos religiosos de Lope de Vega o Santa Teresa, que seguramente leyeron a San Anselmo. Sin duda, también impactó a los pensadores de la época y sirvió de alimento moral y filosófico a los descreídos y dubitativos.
Es increíble cómo San Anselmo (anuque aun no era santo) se rompió los sesos intentando casar la fe con la razón vistiéndolo todo de una gran magia espiritual. En estos tiempos en los que, a veces, se critica a la ciencia por inmiscuirse en asuntos tradicionalmente metafísicos como el tiempo o el origen del Universo, no vendría mal recordar cómo la Iglesia ha ido maquillando su propia fe de pura lógica.

¿Principio Holográfico en San Anselmo?

En la reflexión XVIIIª encontramos: La vida, la sabiduría y demás cosas no son partes tuyas, sino que todas son una, y una cualquiera de ellas es todo lo que Tú eres y lo que son todas las restantes.
¿No es esto exactamente la propiedad que define a una imagen holográfica? El paradigma holográfico -tan de moda- aplicado al Universo entero y al estudio de la conciencia debería revisar el texto de San Anselmo. Efectivamente, la única forma de estar entero en cada una de las partes y ser además la suma de ellas es mantener una naturaleza holográfica.

Dios como fotón

En la reflexión XXIIª encontramos la diferenciación del tiempo eterno divino y el tiempo vulgar de los hombres:
Tú eres quien propia y simplemente eres, porque ni tienes pasado ni futuro sino sólo presente, y no puedes ser pensado en ningún momento como no existiendo.
No podemos concebir la No-existencia del fotón, ya que, en tanto que energía pura, no desaparece. En el Sistema en reposo del fotón (lo cual es en sí mismo un caso límite de la Relatividad igual que Dios es un caso límite de la lógica) no hay pasado ni futuro, ya que su tiempo propio es nulo. Entre dos sucesos cualesquiera no hay tiempo. Sólo habita su propio presente eternamente para nosotros. ¿Dios = hν?

Nada que ver con el Tao

Esta búsqueda incesante de Dios -a veces súplica desesperada- se opone frontalmente a la filosofía Taoísta, en la que el Tao -también holográfico, eterno, etc...- es aquello hacia lo cual te acercas si no lo buscas y hacia lo cual no debe nada forzarse a ser, pues el forzar te aleja del fluir universal. Mientras los taoístas renegaban de cualquier filosofía para actuar conforme a su filosofía -paradójico-, es chocante ver los enormes esfuerzos que hacían los escolásticos en el otro lado del mundo por sentir a Dios, por entenderlo y por no alejarse del camino recto. ¿No encierra esto una cierta actitud de sumisión morbosa?

Crítica irreverente a la Fundamentación de la metafísica de las costumbres de I. Kant

Creced y multiplicaos, categóricamente hablando...

Mi intención no es hacer una crítica profunda sobre el texto de Kant, más bien se trata de plasmar la impresión inmediata de alguien que no es experto en filosofía y que intenta leer el texto como quien lee una novela cualquiera una tarde de domingo, sin pretensiones de llegar a entenderlo pero también con la valentía que da la ingenuidad, la ignorancia y el simple sentido común.

El texto va encaminado a convencernos de que debe existir un mandato interno en todos nosotros, a modo de ley moral, más allá de la cultura, los intereses concretos de cada uno o la situación personal, que nos llevaría a actuar de un modo bueno. "Bueno" aquí significa conforme al mandato moral, que él denomina Imperativo Categórico.

Toda su demostración filosófica se basa en lo siguiente:
El hombre tiene dos naturalezas: el hombre en tanto que miembro del mundo sensible, con sus intereses, sus apetitos, deseos, habilidades, etc… y el hombre en tanto que miembro del mundo inteligible, el de la Razón.
Para Kant, la Razón es un fin en sí misma, y por ello, debe ser libre, ya que no está supeditada a nada. Esa libertad es la que le da el Imperativo Categórico. La libertad es una propiedad de la voluntad, que es un atributo de los seres racionales. Así, cumplir el deber del imperativo no es una obligación, es más bien el ejercicio de la libertad propia de la Razón. Sólo actuando moralmente, siguiendo el Imperativo Categórico, somos realmente libres.
¿Y cuál es el Imperativo Categórico? Realmente sólo puede darse su forma, no su contenido, puesto que no puede tener ninguna finalidad concreta.

Su forma es: “Actúa según máximas que puedan tenerse como leyes Universales”
Dicho de otro modo, en lenguaje de la calle: “No desees para tu vecino lo que no quieras para ti”.
Mi abuela, que nunca leyó a Kant, siempre utilizaba ese dicho. He aquí una prueba de la enorme influencia que debió tener la obra del ilustre filósofo. Aunque, tal vez, fue al revés. ¿Qué fue antes?, ¿el dicho popular o el texto de Kant?

1ª Impresión

Kant era un genio de la lógica.

2ª Impresión

Sus razonamientos son impecables, salvo por el error de partir de una premisa falsa. Kant concibe la Razón como algo que habita fuera del mundo sensible, cuando todo el mundo sabe que aquello que llamamos Razón no es más que un conjunto de sensaciones (entre ellas, la ilusión del propio yo) que han sido el resultado de un proceso evolutivo de millones de años. La Razón es pues, un producto sensible, al igual que los pulgares oponibles, el menisco o la vesícula biliar. Resultó una buena cosa en algún momento de nuestro pasado genético y ahí se ha quedado, un montón de células especializadas cuya percepción y uso llamamos Razón.
Si todo es parte de un producto sensible o, mejor dicho, sólo hay un mundo, (no dos, como decía Platón) ya no tiene sentido el razonamiento de Kant y la Razón ya no es un fin en sí misma:

La Razón no es un fin en sí misma LUEGO No es libre LUEGO No requerimos de ningún Imperativo Categórico que dé sentido a la libertad de la Razón

Todo se va al garete!

3ª Impresión

Y sin embargo…este Kant quizá no iba muy mal encaminado.
Incluso desde una perspectiva evolucionista podríamos admitir que existe una especie de Mandato programado en los genes: “creced y multiplicaos”, o “el acervo genético debe perdurar” o “Show must go on”, como diría el también filósofo Freddie Mercury. Así, ese mandato que buscaba Kant, parece haberlo encontrado la Biología, pero ya no habita en la Razón individual ni pertenece a un mundo platónico de lo inteligible: ahora se encuentra en forma de estructura matemática en los cromosomas que habitan cada célula de nuestro sensible cuerpo, por decir algo. De este modo, al igual que afirmaba Kant, sólo abstrayéndonos de lo cultural, los intereses particulares y todas esas cosas que nos confunden, podemos encontrar un mandato Universal.

Su forma sería: “Actúa de modo que tu acervo genético tenga la mayor probabilidad de perdurar”

Claro, ahora el problema es que el objeto del mandato ya no sería el propio individuo sino todo el acervo genético al cual pertenece. Así, a pesar de que un individuo tenga inclinaciones suicidas quizá está cumpliendo el Imperativo Categórico Evolucionista:

“Eres débil, estás deprimido, tus genes son una mierda. Mejor no te reproduzcas y que tus genes defectuosos desaparezcan contigo. Hay otros cuerpos que comparten tu mismo acervo genético en los que es más prioritario invertir los recursos”.

Hemos llegado a la ley de la Selva -incluyendo el altruismo animal como estrategia de supervivencia-, ya que ésta sería la única ley realmente moral, si es que existe una moral universal. Mejor dicho, una pseudo-moral, porque no se ubicaría únicamente en el individuo. Además, todas las demás leyes están basadas en intereses particulares, ¿verdad?

Construcción de diagramas de espaciotiempo (III)

¡Los diagramas no son lo que parecen!

Ya hemos dibujado todos los ejes de un diagrama para dos marcos de referencia O, O’. Pero no olvidemos que los ejes de tiempo (o las líneas de mundo) y de espacio (o líneas de simultaneidad) representan situaciones físicas diferentes. No podemos, por ejemplo, usar el teorema de Pitágoras alegremente y aplicarlo a un triángulo rectángulo formado por ejes y líneas de mundo. A pesar de utilizar las ideas de la geometría euclídea en cada marco por separado, hemos advertido ya que los ejes t’-x’ en (m) no eran perpendiculares vistos desde O, pero sí deben serlo para un observador de O’ –por el 1er postulado-. Diremos que t’ es ortogonal a x’, lo que es una generalización del concepto de perpendicularidad para espacios no euclídeos. Pero, entonces, ¿cómo debemos manejar estos diagramas?

Intervalo relativista

Consideremos los sucesos A= “emisión de un rayo de luz en el origen” y B= “llegada posterior del rayo de luz a una localización determinada x, t”. Nos interesa analizar las características de la luz, por tener la misma velocidad para todos los marcos de referencia -2º postulado-, lo que hace que los sucesos A y B sean paradigmáticos en nuestra teoría. Por ello, intentaremos averiguar si hay alguna relación profunda entre las coordenadas x,t de ambos sucesos que podamos generalizar a cualquier otro par de sucesos y entender cómo debemos manejar los diagramas.

¿Qué ecuación relaciona las coordenadas de A con las de B? Apresuradamente podríamos contentarnos con x = t, que nos lleva a x-t = 0, pero pronto advertiríamos que esto no es más que la propia definición que hemos dado de velocidad de la luz, c=1. No obtenemos, pues, ninguna información adicional sobre las relaciones profundas entre coordenadas. Lo que buscamos realmente es la geometría subyacente entre las coordenadas de espacio y de tiempo.

Consideremos, para ello, un rayo de luz propagándose en dos dimensiones x, y. Ahora no estamos ante un diagrama de espaciotiempo. La luz, que parte del origen, alcanzará todos los puntos de un círculo de radio igual al espacio recorrido H en línea recta. Como vemos en la figura (n), podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACB donde H es la hipotenusa y ∆x, ∆y los catetos. Ahora bien, el espacio recorrido es igual a la velocidad c por el tiempo, H = ct donde c=1.

Si nos quedamos sólo con la dimensión x, tendremos:

∆x² - ∆t² = 0

Por el 2º postulado, esta ecuación debe ser aplicable en todos los marcos de referencia, propiedad conocida como covariancia. Para O’ , un marco que se mueve a velocidad constante v también se cumplirá:

∆x’² - ∆t’² = 0

Así, la diferencia entre los cuadrados de los intervalos de tiempo y de espacio entre dos sucesos es igual para todos los marcos de referencia. A esta diferencia la llamaremos "Intervalo ∆s²"

∆s² = ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² = ∆x''² - ∆t''² = ...

Esta sí es una relación matemática entre espacio y tiempo que es válida en todos los sistemas: ∆s² sólo depende de los sucesos A y B, no del observador, al menos si A y B están unidos por un rayo de luz.

¿Es éste un resultado generalizable para cualquier otro par de sucesos A y B? La respuesta es que sí. También observaremos que el intervalo se define:

• ∆s² negativo cuando ∆x < ∆t: para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v menor que c. Estas son las líneas de representan eventos causalmente relacionados como la de color verde de la figura (i). Son las llamadas tipo-tiempo.

• ∆s² positivo para dos sucesos unidos por una línea de mundo del tipo v > c ya que en ese caso, ∆x > ∆t. Un ejemplo es el propio eje x’ o la línea de color rojo de la figura (i). Son las llamadas tipo-espacio.
• ∆s² = 0 para la luz, como hemos visto más arriba. Son llamadas tipo-luz.

Calibrado de los ejes.

Esto resulta perfecto porque nos va a permitir calibrar los ejes t, t’ (que son líneas tipo-tiempo) y los ejes x , x’ (que son líneas tipo-espacio). Para hallar los puntos unidad, sólo necesitamos aplicar

∆x² - ∆t² = -1 para las primeras y ∆x² - ∆t² = 1 para las segundas.

Estas ecuaciones describen una familia de curvas llamadas hipérbolas que van a cortar los ejes t-x, t’-x’, t’’-x’’... justamente por los puntos tomados como unidad ya que el punto de corte con el eje t’, por ejemplo, es igual a hacer ∆x = 0 , (∆x' = 0) con lo que según la primera ecuación de arriba, -∆t² = -1 => ∆t = ±1. (análogamente, -∆t'² = -1 => ∆t' = ±1). Obtenemos los dos puntos unidad, +1 en la parte positiva de todos los ejes de tiempo y -1 en la negativa. Ver la figura (ñ) donde las hipérbolas se han trazado en color rojo y cortan a los ejes en el punto unidad. También se han representado las hipérbolas ∆s²=±2² que nos dan los puntos ±2. El Sistema O' representado corresponde a una velocidad v=0,5, es decir, la mitad de c. [Esta última figura se ha realizado con el programa Graph 4.3, de licencia pública GNU. ¡Muy sencillo y recomendable! Clicar encima para ampliar]

En el caso ∆s² = 0, la familia de hipérbolas se reduce a las dos líneas de mundo de los rayos de luz que pasan por el origen -dibujadas discontinuas en azul -, ya que ∆x² = ∆t² => x =± t, tal y como esperábamos.

Como confirmación de nuestras sospechas iniciales, observemos el triángulo rectángulo de color verde en (ñ). Vemos que su hipotenusa –que se trata de un segmento del eje x’- es menor a la unidad, luego es menor que el cateto unidad contenido en el eje x. Esto sería imposible si el diagrama representara una geometría euclídea, donde las hipotenusas son siempre mayores que los catetos, como en (n).
Ahora, ya tenemos las herramientas adecuadas para estudiar el maravilloso mundo de la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

(Continuará)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (II)

Postulados relativistas y ejes t’-x’

Vimos cómo en diagramas ct-x los rayos de luz se representan como bisectrices: líneas de mundo a 45º. Además, el eje ct será ahora simplemente t, pues definimos c=1. Representaremos los sucesos del espaciotiempo en distintos sistemas de referencia: el de H. Bogart en reposo, O y el de la atractiva L. Bacall en movimiento -con velocidad constante v- al que llamaremos O’. Las medidas de espacio y de tiempo en O serán x, t y las de O’ serán x’, t’.

Tengamos en mente los postulados relativistas:

1. Principio de Relatividad: No podemos detectar el movimiento absoluto, lo que implica que cualquier sistema de referencia es equivalente para describir las mismas leyes de la física.

2. Invariancia de c: La velocidad de la luz no depende del movimiento del observador.

¿Cómo podemos utilizar estas ideas para construir nuestros diagramas?

Nos interesa que cada punto del diagrama represente un suceso inequívoco del espaciotiempo en cada marco de referencia. Para ello, sería conveniente disponer a la vez de los ejes t-x del marco O y los t’-x’ del marco O’ de modo que la proyección de cada punto en ellos nos dé las diferentes coordenadas medidas en cada marco. Según el 1er. postulado, la misma geometría euclidiana utilizada por Bogart en O puede ser utilizada por Bacall en O’ ya que cualquier sistema puede ser el sistema euclídeo. Entonces, Bogart y Bacall tendrán sus propias líneas de reposo y de simultaneidad paralelas a sus ejes de tiempo y de espacio (ver figuras (f) y (g) del artículo anterior) y en base a ellas podremos proyectar los sucesos para obtener sus coordenadas.

Bien, ¿dónde dibujamos el eje t’?

Eje t’

Este eje no es más que una secuencia de sucesos en reposo para x’=0. Bacall se mantiene en reposo respecto de sí misma en la posición inicial x’=0, pero para Bogart, ella se aleja de él –desgraciadamente- en dirección positiva del eje x con velocidad v=dx/dt. Así pues, el eje t’ ser á la línea de mundo que ya vimos en la figura (b) cuya pendiente es 1/v, y que mantiene un ángulo θ = arctan v con el eje t como puede verse en la figura (j).

Eje x’

Apliquemos el 2º postulado, según el cual Bacall debe observar los rayos de luz con la misma velocidad c que Bogart. Para ello, consideremos la situación inicial en la que Bacall se encuentra en el coche parada conversando con Bogart a través de la ventanilla.

Bacall se encuentran en el centro del coche cuando emite dos rayos de luz mediante dos linternas, uno hacia la parte trasera de la carrocería T y el otro hacia la delantera D. Esos rayos de luz serán representados por Bogart y Bacall mediante líneas de mundo a 45º, (diagrama (k), líneas azules intermitentes). Así, los sucesos A=“la luz llega a T” y B=“la luz llega a D” serán los dos puntos de corte de las líneas de mundo de la luz con las de T y D. Los sucesos A y B son simultáneos para Bogart y para Bacall, que comparten el mismo marco de referencia O. Obsérvese que la línea de puntos negros de (k) es una línea de simultaneidad de las de la figura (f).

Repitamos el experimento con el coche de Bacall en marcha. Tenemos ahora dos marcos: O para Bogart y O’ para Bacall. Observemos las líneas de mundo de T, D y de la propia Bacall inclinadas hacia la derechaen la figura (l). Para todos los sistemas de referencia la luz viaja a velocidad c, por el 2º postulado, así que representamos las líneas de mundo de la luz a 45º. Bacall -que se encuentra en reposo respecto del coche- verá llegar ambos rayos simultáneamente a T y a D en un determinado instante t’. Esos dos sucesos, llamados A’ y B’ definirán para ella una línea de simultaneidad t’ = constante. Para Bogart, en cambio, el rayo de luz llegará antes a T que a D, ya que T se acerca a la luz y D se aleja de ella una vez que fue emitida. Esto es coherente para Bogart ya que la línea que une los puntos A’ y B’ no es paralela al eje x de su marco de referencia, luego nunca podrá unir sucesos simultáneos para O.
Sólo nos queda trasladar paralelamente la línea de puntos negros que une A’ y B’ en (l) –que es una línea de simultaneidad para O’- hasta el origen de coordenadas t’=0 y obtendremos el eje x’. Ver figura (m). Parece lógico, por el 1er. postulado, aceptar que el ángulo entre los ejes x, x' debe ser igual a θ, de modo que pueda mantenerse el hecho de que las líneas de mundo de la luz partiendo del origen sigan siendo bisectrices en cualquier sistema de referencia. Visto de otro modo, el 2º postulado mantiene su vigencia si c es invariante siendo dt'=dx' en O' y dt=dx en O para las lineas de mundo de la luz.

Observemos también cómo la adimensionalidad de v nos permite definir los ejes t’ y x’ como x=vt y t=vx respectivamente sin ningún problema de inconsistencia.

Sobre la simultaneidad

Es interesante reflexionar lo siguiente: Los sucesos A’ y B’ que son simultáneos en un sistema O’ no lo son en O. Hemos llegado a esto gráficamente manejando la idea de que la velocidad de la luz es un invariante (líneas de mundo como bisectrices de t-x) y la idea de la no existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por supuesto, hemos podido congeniar ambas ideas eliminando el prejuicio clásico de que el tiempo es absoluto para todos los sistemas de referencia, lo que nos ha permitido buscar inicialmente un nuevo eje t’ para O’.
Así pues, los postulados relativistas cobran sentido si aceptamos que la simultaneidad entre dos sucesos no es absoluta (no es independiente del observador).

Ya sabemos dibujar ejes t-x y t'-x' conociendo únicamente v!
(Continuará)

Construcción de diagramas de espaciotiempo (I)

Introducción

La Dilatación del Tiempo y la Contracción de Longitudes son los dos resultados más famosos e interesantes de la cinemática relativista (Relatividad Especial). Intentaremos deducirlos de un modo estrictamente gráfico –utilizando ejes al estilo cartesiano- partiendo de diversos experimentos mentales, introduciendo los postulados de la Relatividad pero eludiendo el álgebra asociada. Comenzaremos por introducir diagramas sencillos de espacio y tiempo.

Familiarizémonos con los diagramas al estilo clásico, en donde dibujábamos las trayectorias de cuerpos en movimiento. Utilizaremos, sin embargo, un eje vertical para el tiempo t y otro horizontal para el espacio x, simplificando así los movimientos para una sola dimensión e invirtiendo la habitual manera de utilizar los ejes en la mecánica clásica. En estos diagramas cada punto representará un suceso tal como “un coche existe en una determinada posición” o “el agente Smith aprieta el gatillo de su revólver”. La consecución de sucesos en el tiempo nos dibujará una línea -que denominaremos línea de mundo- en la que sucesos anteriores serán causa de los posteriores. Por el momento, nos situaremos en el punto de vista de un observador situado en el origen de coordenadas, en reposo, autodenominado H. Bogart. Este marco de referencia lo denotaremos a menudo como O.

Veamos algunas de estas líneas de mundo:

(a) Un coche estacionado en un vado momentos antes de ser denunciado.

(b) El mismo coche llevado por la grúa alejándose hacia la derecha.

(c) El mismo coche alejándose hacia la izquierda.

(d) Una pelota de frontón rebotando en una pared.

(e) Un rayo de luz, cuya velocidad c es muy grande.

Todos los movimientos parten de t=0 aunque la posición en el eje x es arbitraria. Las velocidades son constantes, por ello, tenemos líneas escrupulosamente rectas.
Las pendientes de estas líneas de mundo son dt/dx = 1/v, por lo que serán menores cuanto mayor sea la velocidad v. De ahí que el caso (e) sea una línea muy horizontal.

Advirtamos también que Bogart utiliza la geometría euclídea y hace uso de todas las reglas que de ella se derivan. En especial, puede trasladar paralelamente el eje de tiempo y superponerlo a la línea de mundo del caso (a).

De este modo, se sitúa x=0 en la posición del coche estacionado y simplemente habrá efectuado una traslación en las coordenadas del espacio. De igual modo, si Bogart mueve el eje horizontal x paralelamente hasta otro valor del tiempo, trasladará el origen del tiempo t=0 a cualquier otro punto.
De hecho, todas las infinitas paralelas a los ejes espacio y tiempo son líneas de simultaneidad y de reposo respectivamente, como muestran las figuras (f) y (g).

Dos modificaciones y un límite gráfico a la Causalidad

Por último, preparemos el terreno para nuestras próximas consideraciones. Llevaremos a cabo dos modificaciones:

1ª MODIFICACIÓN: El eje t pasa a ser ct

Escalamos el eje del tiempo con la velocidad de la luz c. El espacio recorrido por la luz siempre será igual a su velocidad c multiplicada por el tiempo empleado. Ahora, la representación del rayo de luz de (e) será una línea de mundo de pendiente cdt/dx = c/c = 1 y, por tanto está a 45º del eje x. Ninguna otra velocidad podrá superar a c, por lo que cualquier línea de mundo que no sea de luz estará a un ángulo mayor de 45º como puede verse en el diagrama (h). Esto tiene algunas implicaciones para las relaciones gráficas de Causalidad: sólo podremos unir dos sucesos causa-efecto por líneas de mundo con inclinaciones mayores de 45º.

Así, en la figura (i) los sucesos A y B pueden unirse por una línea de mundo pero la Relatividad prohibiría hacerlo entre A y C, de modo que A nunca podría ser causa de C en ningún sistema de referencia. En esta figura, se han representado dos líneas de mundo -en azul- para un rayo de luz más general que sale del origen de coordenadas, propagándose en los dos sentidos de la dimensión espacial x. Todo el espaciotiempo subtendido por las dos líneas de mundo de la luz sería el posible "Futuro" de A, mientras que las zonas a derecha e izquierda contendrían sucesos que no estarían ligados causalmente con A, con lo que, a menudo, a esa zona se la denomina simplemente "otra parte".

2ª MODIFICACIÓN: c=1

Definiremos una nueva unidad de tiempo: "el metro de tiempo". 1 m de tiempo será el tiempo que tarda la luz en recorrer 1 m. De modo que, con esta nueva unidad,
c = (espacio recorrido en un cierto intervalo de tiempo / ese intervalo de tiempo) = (1 m / 1 m) = 1 [sin dimensiones]

Cualquier otra velocidad la expresaremos como una fracción de c.
(Continuará)

Luna

Luna urbana

Mi primera y humilde fotografía astronómica no podía ser otra que la de la Luna vista desde Terrassa, el 21-02-08 sobre las 20:00h (Hora local) tomada con una cámara digital SONY de 4.1 Mega Píxeles y 3x ópticos, sin soporte alguno. Se observan dos cables del tendido eléctrico de Alta Tensión en la parte superior de la imagen. Así es como vemos el cielo desde la ciudad: mal, poco definido y obstruido. Pero, a pesar de todo, sigue siendo maravilloso.

Podemos distinguir muchos accidentes de la geografía lunar, como los llamados mares y algunos cráteres importantes (Tycho y Copernicus).

Siempre que observo la Luna me viene a la cabeza una relación matemática casi obsesiva, que por familiar pasa desapercibida con frecuencia. El Sol y la Luna parecen tener el mismo tamaño en el cielo. Esto es así debido a que el Sol se encuentra 400 veces más alejado que la Luna teniendo también un tamaño 400 veces mayor. Ambas relaciones de tamaño y distancia hacen posible el eclipse solar total, uno de los fenómenos que más ha fascinado y motivado el estudio de la naturaleza, ya fuera desde una actitud religiosa (para predecir castigos divinos) o racional.

Es más correcto hablar de sistema Tierra–Luna que de la Luna como satélite natural. Ambos astros se mueven en relación a su centro de masas -el baricentro-, un punto situado en la línea que los une pero que no está en el centro de la Tierra.

La Luna presenta siempre la misma cara debido al enorme tirón gravitatorio entre ambos astros, lo que provoca que tenga unos 4 km más de radio hacia la cara mostrada a la Tierra que hacia la cara oculta.

Asimismo, el abombamiento de la Tierra afecta a su parte líquida produciendo subidas y bajadas del agua de las costas de manera regular. Esta fuerte influencia mutua gravitacional hace a la Tierra enlentecer su giro de rotación y a la Luna alejarse de ella, a razón de 38 mm/año. Una imagen conocida de este fenómeno es la que resulta de observar a los patinadores artísticos que aumentan su velocidad de giro sobre sí mismos encogiendo los brazos y la frenan extendiéndolos. Se trata de un ejemplo de conservación clásica del Momento Angular L = r x mv, donde L, r y v son las magnitudes vectoriales Momento angular, distancia (al centro de giro) y velocidad, m es el escalar masa y el producto es vectorial.

El misterio de la Energía

Algunas reflexiones sobre un número

Ningún concepto físico es tan filosófico como el de Energía. ¿La Energía fluye? ¿La Energía se traspasa? ¿Ni se crea ni se destruye, tan sólo se transforma?

La Energía, en términos prácticos es aquella magnitud física que, cuando no se conserva en un proceso, suele ser el inicio de un nuevo descubrimiento. Uno que acaba definiendo un nuevo tipo de partícula o de energía que hace que finalmente todo sea coherente y podamos decir que sí, que la ENERGÍA con mayúsculas, como era de esperar, se conserva. Se han dado pasos de gigante con este método y el poder de la Conservación de la Energía es sólo comparable al del Teorema de Pitágoras de las matemáticas.

Desde luego, no es correcto decir que hay diversos tipos de energía. La Energía eléctrica, la química, la nuclear, la cinética… todas son iguales. Y, exactamente, su representación matemática es un número escalar. O sea, un número normal y corriente, de los de pagar. Porque, al final, la Energía es siempre aquello que pagamos. ¿Y se imaginan pagando 40,10 € en la dirección i, 32,50 € en la dirección j y 12,00 € en la dirección k? Por descontado, el hecho de que la Energía sea un escalar y no un vector o un tensor, simplifica muchísimo las facturas.

Así que sólo existe un tipo de Energía pero como nadie se atreve a darle un nombre –por lo trascendente y divino que resultaría- nadie habla de la ENERGÍA sino de las diversas energías de estar por casa. Pero ésta, la ENERGÍA, está siempre ahí con variadas apariencias. Sabemos también que no es un fuído, porque, en contra de la leyenda urbana, no fluye de un cuerpo a otro. La Energía no se traspasa, no es de diversos tipos y no fluye, tan sólo ES.

A la energía le pasa lo que a todo en el mundo, según el taoísmo, y es que viene a tener su contrario sin el cuál carece de entidad en la totalidad. En este caso, el contrario bien podría ser la Entropía, que nos explica la tendencia universal que tienen determinados procesos de ser espontáneos. Es decir, aquello que ocurre, lo hace en un sentido en el que la Entropía aumenta y la Energía total se conserva. O lo que es lo mismo, requerimos de la Entropía para explicar el sentido en el que ocurren las cosas y a Energía para explicar cómo ocurren. Cuando la Entropía crece en un proceso, lo hace a costa de una parte de aquél número asociado a la Energía. Con estos opuestos complementarios, como con el yin y el yang, describimos los procesos del Universo.

Ah! Se me olvidaba. ¿La Energía es la capacidad de generar un trabajo?
Esa es la definición clásica que nos dieron en la educación media.
Bien, supongamos un número al que podemos llamar "ENERGÍA TOTAL del UNIVERSO". Si ese número nos da la capacidad de hacer un trabajo, ¿Sobre Qué hace Trabajo el Universo?

(Alguien me recriminará que el Universo es un Sistema Cerrado pero considero eso tan sólo un truco dialéctico: ¿Cerrado respecto de qué?)

Algo falla en nuestras ingenuas definiciones de la Energía. Tal vez porque Energía y Tiempo van tan estrechamente de la mano -según parece indicarnos la naturaleza- que deben compartir igual de profundos misterios...

Universo y Dios

¿Puede la física sostener como teoría la existencia de Dios?

Ataquemos el tema por un camino aparentemente inconexo con la idea tradicional de Dios.

Todo está hecho de átomos, como dijo el gran físico R. Feynman (por todo, también se refería al espacio, a la energía, etc…). La combinación de estos átomos (según las propiedades químicas conocidas) da lugar a la enorme variedad biológica presente a nuestro alrededor, y a la vida consciente en última instancia.

La consciencia se mantendría en un soporte físico (aunque éste no sea suficiente para explicarla) como esa biología que podemos describir mediante reacciones químicas y señales eléctricas entre células (en concreto, la sinapsis neuronal). Las señales electromagnéticas y el estudio de los átomos darían fe de ese soporte físico de la consciencia.

Aunque, tal vez, este reduccionismo atómico no es suficiente. Quizá, como apuntan las teorías de la consciencia bajo la corriente del funcionalismo, es necesaria una cierta estructura (una disposición especial de las partes) para que aparezca la consciencia. Esta idea va más allá de las consecuencias de una teoría únicamente basada en reducir la consciencia a la suma de sus partes, de modo que nos da una visión de totalidad (holística). Así, algunas partes aparentemente no relacionadas conformarían un resultado global dando fe a algunos procesos biológicos de difícil explicación, como la morfogénesis. Abren también la puerta a la inteligencia artificial como estructura. La consciencia no es la suma de sus partes, así que el modelo reduccionista no bastaría. En algún momento, la aparición de una estructura es, en sí misma, parte del resultado global.

No obstante, después de esta reflexión sobre las teorías holísticas de la consciencia, retornemos a la física de la que somos víctimas como observadores locales –y por tanto, parciales- de lo que es la vida y la consciencia.

Consideremos la Teoría General de la Relatividad, uno de cuyos resultados son las ondas gravitatorias. Estas ondas describen una transmisión de energía (y, por tanto, de información) que viaja a la velocidad de la luz modificando la geometría espacio-tiempo. Son generadas por acontecimientos de tipo planetario, estelar y cosmológico. Por otro lado, parece que los efectos gravitatorios se hacen sentir también a escalas ínfimas del átomo. Como si su ámbito lo inundara todo: a grandes distancias (cosmológicamente) y a muy pequeñas distancias (al nivel cuántico).

Reconsideremos. La Fuerza electromagnética a nivel atómico y molecular sería la responsable de la transmisión de información en el sistema nervioso de la vida consciente que conocemos. ¿Podrían las ondas gravitatorias –a nivel cosmológico- ser el soporte informativo de un ente (quizá, el propio Cosmos) formando así una especie de análogo de lo que conocemos como consciencia? ¿Jugarían entonces los planetas, las estrellas, etc. el papel que juegan las moléculas biológicas que conocemos en nuestro ámbito local? [En la imagen, la espiral matemática en dos ámbitos muy diferentes: la doble hélice de ADN y una galaxia]

¿Es el cosmos mismo una consciencia cuyos pensamientos desembocan en lo que finalmente percibimos como leyes físicas? Evidentemente, no tenemos ninguna idea de hasta qué punto una consciencia así podría parecerse a lo que conocemos (o, más bien, desconocemos) como consciencia. Nuestra percepción de la consciencia es esclava de sí misma, y a la vez todo parece indicar la existencia objetiva de la Realidad, de la causalidad, la percepción del tiempo y del espacio, etc.…temas ampliamente obsesivos para nosotros como especie consciente.

Imaginemos por un momento la existencia de otro tipo de consciencia, que no perciba el tiempo de igual modo (debido a su ámbito global, y sea lo que sea el tiempo) y que esté, quizá, por encima de la causalidad de un modo que no podamos entender… ¿es esa una nueva imagen de Dios que la ciencia pudiera admitir en el futuro?

Si así lo fuera, la correspondencia con muchas religiones es directa: Dios nos ha creado, está en todas partes y sus caminos son inescrutables...

Cuerdas, música y matemáticas

¿Qué hace que una combinación particular de sonidos nos resulte agradable (con-sonante) o desagradable (a-sonante)? ¿La cultura?¿La ideología?.

Desde luego, hay una mezcla inseparable de muchas cosas, pero a un nivel profundo, una esencia parece regir nuestro placer auditivo…¡una esencia matemática!

Armónicos y Pitagóricos

Nuestra cultura occidental atribuye a Pitágoras (o más bien, a su escuela) el descubrimiento de que el sonido obtenido tras pulsar una cuerda fijada por dos extremos y fijada a la mitad de distancia, resulta el mismo sonido, pero más agudo. La nota es la misma, una 8ª más alta. Y ¿por qué nos parece el mismo sonido?

Si el sonido se produce por una vibración periódica del aire, podemos idealizarlo como una onda propagándose. Las ondas se caracteriza por su Longitud y Frecuencia. La Frecuencia es el número de veces que se produce la oscilación por unidad de tiempo. De este modo, cuando escuchamos dos sonidos cuyas oscilaciones vibran con igual frecuencia o con frecuencias que se complementan, nos resultan armónicos.

Supongamos dos notas simultáneas, A y B. La A es una onda de presión que vibra el doble de veces que la B. Esto hará que la nota resultante A + B tenga una onda periódica en la cual encajan perfectamente las dos ondas originales. Por cada 1000 veces que la onda de presión de la nota A excita nuestro oído, la de B lo excita sólo 500 veces. Así, la periodicidad de A contiene a la de B. Por decirlo de un modo atrevido: la sensación que obtenemos al escuchar la nota A contiene a la sensación de escuchar la B. Este hecho es, en términos matemáticos, geométrico. Vemos que hay un factor 2 multiplicativo. Para que ocurra esta maravilla perceptiva hablamos siempre de mitades o dobles.

Bien, en este ejemplo, las dos notas A y B son por tanto armónicas. Pero no son las únicas. El cerebro interpreta que son la misma nota, pero otras muchas notas intermedias entre A y B también nos resultarán agradables (armónicas) siempre que la diferencia de frecuencias permita que las ondas se complementen, justamente, según las relaciones de enteros encontradas por los pitagóricos.

Por otro lado, cuando dos ondas tienen frecuencias ligeramente diferentes, la onda resultante tiene puntos de anulación produciéndose la sensación auditiva de latido o latencia. Este hecho es utilizado por los músicos expertos para afinar los instrumentos.

Más razones

Como hemos dicho, estas relaciones entre las ondas se ve traducida, en tiempos de los pitagóricos a relaciones numéricas (razones).

De este modo, la 4ª de una nota se encontraba reduciendo la distancia a ¾ de la original, la 5ª a una distancia de 2/3… Las 7 notas podían encontrarse mediante razones de enteros. Finalmente, la 8ª se encontraba a una distancia de 1/2, es decir, a la mitad de la original. Y así, podemos construir la llamada escala diatónica. (Equivale a las teclas blancas del piano) [Más detalles de cómo construir la escala de este modo, aquí.]

No sólo esto, el sonido producido por una cuerda (de longitud L) no se corresponde con una única forma de vibrar. De hecho hay infinitos modos de vibración simultáneos. Ahora bien, no todos vibran con igual intensidad. El primer modo (n=1) se corresponde con la cuerda vibrando en toda su extensión y es el más intenso; el segundo modo (n=2), con la cuerda vibrando a la mitad y un punto fijo en medio, es decir, con una longitud de onda la mitad de la del primer modo: nos da la 8ª; el tercer modo (n=3) oscila con una longitud de onda igual a 2/3 de L: nos da la 5ª de la fundamental, etc… Estos modos de vibración son los denominados Armónicos. Son prácticamente inaudibles, pero no totalmente.

Resulta sorprendente cómo la matemática hace de sustrato en el comportamiento de la naturaleza. Cómo los números y las razones entre ellos emanan del estudio detallado del sonido. El estudio de la música es el estudio de la combinación de sonidos y pasa por una numeración, ya sea de crestas de ondas o de longitudes de cuerdas o de tubos.
Las fracciones de enteros, en este caso están íntimamente relacionadas con algo tan metafísico y espiritual como el placer auditivo, que parece no poder ubicarse en ninguna parte…

Del mismo modo, las modernas teorías de cuerdas utilizan el concepto de armónico para dar cuentas de las partículas del modelo estándar. Así, cada partícula sería una especie de modo de vibración armónico de una cuerda. Quizá Pitágoras no estuviera tan desencaminado y el silencio de la noche no sea ni más ni menos que una especie de música celestial… Y quizá sus teorías estén en con-sonancia con las nuestras...

Lecturas recomendadas...

Me gustaría recomendar dos libros muy interesantes:

La ecuación jamás resuelta de Mario Livio y El camino a la realidad de Roger Penrose.


La ecuación jamás resuelta trata como tema central el concepto de simetría, tanto desde el punto de vista matemático como el perceptivo. Entre otras cosas, narra los acontecimientos de las vidas de Abel y Galois, ambos genios matemáticos que murieron muy jóvenes, y cuyos trabajos -mirándolo con perspectiva- han revolucionado las matemáticas y por extensión la física y todas las ciencias, pese a que no fueron muy reconocidos en vida. La importancia matemática de la simetría y su relación con la teoría de grupos -elaborada inicialmente por Evariste Galois- se ve más tarde aplicada con un éxito sin precedentes por la física relativista, cuántica y las teorías de cuerdas. (Tal vez, sí había un precedente anterior de gran éxito de una teoría matemática aplicada a un problema físico posterior: la geometría diferencial de la relatividad general). Curiosamente, la teoría de grupos surge como herramienta para demostrar la irresolubilidad de la ecuación de 5º grado y superiores, y de la forma más imprevista...

Resulta inquietante pensar cómo nuestra atracción por la simetría (en tanto que producto de la psicología evolutiva) pudiera estar relacionado con el hecho de que nuestra comprensión del Universo pasa por "exigir" simetrías a las teorías físicas. Este método de trabajo está resultando muy exitoso, como si a un nivel profundo la búsqueda de simetrías fuera una marca de fábrica en el funcionamiento tanto del Universo como de nosotros mismos.
Y, por otro lado, no sería tan extraño que fuera así. ¿Acaso no somos también Universo?

Ahora bien, uno podría plantearse la cuestión siguiente. Si hubiéramos evolucionado de un modo en el que la simetría bilateral no hubiera sido tan determinante en nuestra psicología, ¿podríamos entender igualmente el Universo al mismo nivel que lo entendemos ahora sin aplicar las teorías de la simetría?

Si la respuesta es que sí, nos enfrentamos al hecho de que hay diversos modos de describir el Universo, todos igualmente válidos y que dependen del proceso evolutivo de quien los aplique. La Matemática no sería entonces Universal, tan sólo el resultado arbitrario de un camino alternativo por el que estamos avanzando...

El otro libro, el mastodóntico El camino a la realidad es una joya de la divulgación de la matemática y la física. Digo divulgación, pero el nivel técnico general del libro y el uso constante de conceptos de matemáticas abstractas lo hace bastante inaccesible al lector no familiarizado con ellas.

Su lectura es un placer de gran duración, pues es más un libro de consulta y estudio que un ensayo divulgativo. (Para los más quisquillosos: el título del libro es cosa del editor, no del autor, como Penrose mismo comenta humildemente... :-))

Gracias, R. Penrose.