Construcción de diagramas de espaciotiempo (y V)

La paradoja de los gemelos

Lauren y Bacall, dos gemelas agraciadas por un físico y una inteligencia envidiables, han construido una nave espacial capaz de alcanzar velocidades cercanas a la luz. Lauren, la gemela más aventurera, toma la nave y se aleja de la Tierra a gran velocidad hasta un planeta extrasolar. Inmediatamente después, emprende el viaje de regreso en dirección contraria, reuniéndose con su hermana Bacall tras un tiempo total  T medido en la Tierra. No obstante, como sabemos, la viajera habrá contabilizado en su reloj de a bordo un tiempo de viaje total diferente T/γ, menor que T, debido al fenómeno de la dilatación del tiempo;  por lo que Lauren habrá envejecido menos que Bacall. Desde el punto de vista de Lauren, por el segundo postulado de la relatividad que indica que no hay ningún sistema de referencia privilegiado, sería igualmente lícito considerar que ella se ha mantenido inmóvil durante un tiempo T' y que fueron la Tierra, Bacall, y todo el Universo los que se alejaron para luego volver a acercarse, por lo que es la gemela de la Tierra la que habrá anotado un tiempo total T'/γ inferior al suyo. Así, las dos consideran que debe ser la otra la más joven. Sin embargo, esto no es posible. ¿Cómo solucionar la paradoja?

  

DIAGRAMAS

Viaje de ida

En primer lugar, construyamos el diagrama espaciotiempo correspondiente a la primera parte del viaje (Fig. T), considerando O como el sistema de referencia de Bacall, inmóvil en la Tierra (ejes t-x) y O' el de Lauren (ejes t'-x') que viaja con una velocidad próxima a c alejándose de la Tierra dirección a G. Como vimos en la última entrega de este apasionante curso (repasar la Figura P), el segmento AB que correspondería al tiempo medido por la viajera mirando dos veces su mismo reloj es igual a AD/γ  y lo llamamos "tiempo propio" τ. Hasta aquí, nada nuevo: τ es menor que AD=T/2, el tiempo transcurrido en la Tierra. Lauren ha llegado al planeta situado en G, alejado una distancia AG de la Tierra, que correspondería a una "longitud propia", aunque para ella el espacio recorrido tan sólo ha sido AH=AG/γ, debido a la contracción de longitudes.

Percatémonos de que, para Lauren, el último instante de tiempo que, según ella, ocurre para su hermana Bacall es C y no D, ya que C comparte con B una misma línea de simultaneidad, paralela al eje x'. También aquí se cumple la dilatación del tiempo, ya que AC=AB/γ.  Por lo que, si llamamos t al tiempo AC -el que parece haber vivido Bacall según Lauren-, tenemos que t=(T/2)/γ². 

Viaje total

La Figura U muestra el viaje completo hasta el suceso F, en el cual las gemelas se reúnen en la Tierra. El punto B marca el cambio de sentido en la nave de Lauren, por lo que debemos usar un nuevo sistema de referencia O'' (ejes t''-x'') en el que Lauren se mantiene inmóvil, volviendo a medir un tiempo τ en el viaje de vuelta. Pero B lo cambia todo, es el nexo de O' y O'', y este hecho hace que concurran en él dos líneas no paralelas de simultaneidad representadas por los segmentos CB y BE, que son paralelos a los ejes x' y x'', respectivamente.

Todos los sucesos contenidos en estos segmentos son igualmente simultáneos para Lauren en el momento de pasar de O' a O''. Así, B, C y E ocurren en el mismo instante de tiempo, de modo que cuando Lauren regrese con Bacall esperará encontrar a su hermana envejecida tan sólo una cantidad AC+EF=2t=T/γ² ya que la zona de sucesos delimitada por el triángulo sombreado CBE se hizo invisible para ella. Aquí se encuentra la asimetría entre los sistemas O y el formado por la sucesión O'+O'', por lo que no es posible comparar los resultados de ambas hermanas en un modo "relativo". La cuestión es que O'+O'' no es un buen marco de referencia en donde aplicar  la relatividad especial porque no forma un sistema de referencia inercial, tal y como requiere la teoría.
Cuando B rompe la simetría, Bacall se encuentra en D (es decir, D y B son simultáneos para Bacall) y proseguirá en su línea de mundo (eje t) envejeciendo un tiempo total AF=T. Ella esperará -acertadamente- que Lauren haya medido sólo un tiempo 2τ=T/γ en su reloj de a bordo, según sus cálculos relativistas, y que sea más joven que ella, aunque de similar belleza.

Resumen

En resumen, Bacall mide un tiempo T y calcula que Lauren medirá 2τ=T/γ. Lauren mide 2τ=T/γ y calcula que Bacall medirá un tiempo 2t=T/γ². Pero el cálculo de Lauren no es válido, ya que no está considerando los sucesos sobre el segmento CE. La viajera cambia de marco de referencia en B, mientras que su hermana mantiene el mismo marco a lo largo de la línea de mundo AF.
Además, como T=2t+CE y utilizando la definición de γ, podemos hallar la cantidad de tiempo invisible para Lauren, CE=Tv². Si imaginamos que v=c=1, tendríamos el lado izquierdo del triángulo ocupando todo el tiempo AF. Lauren no compartiría ningún suceso simultáneo con Bacall y creería que ésta no ha envejecido en absoluto y que el tiempo a su alrededor se ha congelado.

Forzando el diagrama: O' en reposo, O en movimiento

Análogamente a lo estudiado en la Figura S, forzemos ahora el diagrama, manteniendo los ejes del sistema O' inclinados respecto de los de O, pero considerándolo en reposo. Para O utilizaremos dos marcos: O₁ y O₂ (Figura V). Ahora, la línea de mundo de Lauren es t' y el tiempo total de viaje será AF=T medido en su reloj de a bordo. Son su hermana y el resto del Universo los que se alejan de la nave (hacia la izquierda) desde A hasta G en un tiempo AD=T/2, aunque Bacall habrá medido τ=(T/2)/γ (segmento AB) en su línea de mundo coincidente con el eje t₁. Obsérvese que la línea que contiene el segmento BG es paralela al eje t', luego es una línea de reposo para el sistema O'. Una vez en G, Bacall y el resto del Universo se desplazan hacia A en el nuevo sistema de referencia de ejes t₂-x₂ que mantienen entre sí el mismo ángulo que los de O₁: 90 grados. Ahora, según el reloj de Bacall, se requiere de nuevo un tiempo BF=τ en cubrir la distancia GA.

Para Bacall, en G, el instante B era simultáneo con el instante C de Lauren, inmóvil en su nave. Bacall creerá que su hermana ha vivido hasta entonces un tiempo AC=τ/γ=(T/2)/γ² durante la mitad de su viaje. Pero, además, debido al cambio de marcos de O₁ a O₂, B también fue simultáneo con E ya que comparten una línea de simultaneidad: el propio eje x₂. Contrariamente al caso anterior, ahora los sucesos contenidos en el triángulo sombreado EBC no sólo no son invisibles sino que serán medidos 2 veces por Bacall. Concretamente habrá un segmento EC repetido para Bacall, (EC)' que dependerá de su velocidad. Para ella, el tiempo total de viaje que debe vivir su hermana en la nave vuelve a  ser -como antes- de AE+EC+(EC)'+CF=T/γ² ya que debe ser igual al doble de AC y es menor al tiempo real medido por Lauren AE+EC+CF=T, ¡aunque parezca mayor a primera vista!. Y es que, ahora, (EC)'= -Tv². De nuevo, tenemos una asimetría debido al punto crítico B, esta vez con medidas de sucesos repetidos. El marco O₁+O₂ no nos sirve para medir tiempos y longitudes totales respecto de O' utilizando la relatividad especial, ya que no conforma un sistema de referencia inercial. Igual que antes, si consideráramos v=c=1, Bacall creería que su hermana ha envejecido un tiempo AE+EC+(EC)'+CF=T-T=0, es decir, el tiempo a su alrededor se congela. En el caso extremo en que no haya viaje y v=0, (EC)'=0 y no hay sucesos medidos repetidos por lo que ambas, en reposo relativo, miden T por igual.

Hasta aquí el Curso de Relatividad especial basado en los diagramas de espaciotiempo (o de Minkowski) tras haber comentado los conceptos más importantes. Si alguien desea tratar algún problema concreto y está en mi mano, se aceptan propuestas.

Exportar datos de Mathematica a Origin

A pesar de que Mathematica es un software de cálculo que permite generar gráficas de gran calidad, puede resultar útil exportar nuestros resultados a otro programa más intuitivo, como OriginPro. Resumimos aquí los pasos a seguir con un ejemplo sencillo.

1. Definimos la función a exportar f(v) en Mathematica. Por ejemplo, una gaussiana:

N0 = 1;
vrms = 0.05;
f[v_] = N0/(Sqrt[2/3 Pi] vrms) Exp[-((v - 0)^2/( 2/3 vrms))];

2. Exportamos una tabla m de valores {v,f(v)} a un archivo.

m = Table[{j, f[j]}, {j, -0.4, 0.4, 0.001}];
Export[NotebookDirectory[]<>"gaussian_N_v2.txt", m]

Hemos tomado valores para v de -0.4 a 0.4 cada 0.001 y generado el archivo de nombre "gaussian_N_v2.txt" que se ha creado en el directorio en uso, el mismo donde está ubicado el archivo .nb de Mathematica. Esto se consigue concatenando Notebook[] con el nombre de archivo mediante el operador <>. Ahora, gaussian_N_v2.txt es un archivo de texto que contiene dos columnas de valores donde cada fila comienza y acaba con llaves { }.

3. Editamos el archivo para adaptarlo a un formato inteligible por Origin. Mediante el fantástico editor gratuito NotePad++, usando Buscar->Reemplazar, reemplazaremos { y } por espacios vacíos y *^ por E. Si tenemos muchos archivos para editar, podemos abrirlos simultáneamente y usar la opción Reemplazar todos los archivos abiertos. Además, pueden reemplazarse caracteres especiales como saltos de línea marcando Modo de búsqueda Extendido(\n,\r...).

4. Desde Origin, ya podemos importar nuestro archivo usando File->Import->Single ASCII o dependiendo de nuestra preferencias, mediante el Import Wizard.

Comentario a los pasos 1 y 2: Tal vez no tengamos una función simple a exportar sino muchas tablas de valores que estamos generando dentro de un bucle de n iteraciones. Podemos exportar las tablas desde dentro del bucle a la ruta NotebookDirectory[]<>"tabla_numero_" <>ToString[n]<>".txt". De este modo, al final del cálculo para n iteraciones, tendremos n archivos de texto denominados "tabla_numero_1.txt", "tabla_numero_2.txt", etc... cada uno de ellos con su tabla correspondiente. ToString[n] pasa el valor de la variable n a formato string de modo que pueda escribirse correctamente en la ruta del archivo.

Comentario al paso 3: Podríamos crear un archivo por lotes para automatizar todo el proceso de la sustitución de caracteres, aunque el propio NotePad++ permite crear Macros...

El éxito de lo discreto

Imagine que es usted un extraterrestre ignorante de la cultura y civilizaciones humanas, aunque no tan diferente como para no poder comunicarse de acuerdo a nuestra lógica-matemática habitual. Por suerte, la administración pública, que no repara en gastos, pone a su disposición una señorita altamente políglota que actuará como guía turístico y le mostrará algunos de los lugares más representativos de nuestro hábitat, tales como bares, casinos y centros comerciales. [Puede ud intercambiar el sexo de los protagonistas o igualarlo]
En el primer antro y como parte de su instrucción básica en economía humana se le propone el siguiente juego...

Le colocan dos bolsas A y B -cuyo contenido desconoce- de las que debe extraer algo denominado dinero y colocarlo en la bolsa C. Una vez allí, podrá leer en una pantalla un valor del dinero en C y anotar el resultado en su Agenda Oficial Interplanetaria. A priori, usted ignora la naturaleza del dinero. No sabe, por ejemplo, si se trata de algo continuo o discreto, porque su exótica biología sensorial le impide saber si en cada extracción de dinero de la bolsa A ó B está pellizcando una masa de dinero extensa o simplemente extrayendo porciones previamente separadas. El juego consiste en averiguar de qué forma está dispuesto el dinero en las bolsas iniciales.

Las ocho primeras veces un límite de tiempo le obliga a extraer el dinero rápidamente.
Por el contrario, en las dos últimas, dispone de más comodidad y toma una mayor cantidad de dinero de cada bolsa o -al menos- de una de ellas.

La pantalla en C muestra los resultados: 1,20; 1,10; 2,20; 1,20; 2,10; 2,10; 1,10; 1,20; 1,40; 4,10 (figura 1)

Para llevar a cabo su análisis, parte de la idea de que el dinero se conserva durante el experimento, es decir: no hay creación ni destrucción en los valores de A y B cuando se adicionan en C. Más tarde, podrá corroborar su hipótesis; de momento, la toma como tal.
Con unos resultados tan exactos, tampoco le convence la idea de que el dinero sea extenso o numéricamente continuo.
Así, se inclina por la opción de que el dinero esté formado por porciones discretas de 1, 2, 0,10 y 0,20 unidades. Pero desconoce en qué bolsas se encuentran cada una de esas porciones. Tal vez, todas las porciones estén mezcladas en ambas bolsas.

Para dilucidarlo, podría realizar un nuevo experimento en el que extrayese sólo dinero de A ó B y lo leyera en la pantalla de C.
Por otro lado, si su hipótesis es correcta, cuando tenía que ir rápido extrayendo dinero sólo parecía tomar una porción de cada bolsa, mientras que en la novena extracción consiguió tomar dos porciones de 0,20 más una de 1 y en la décima extracción tomó dos porciones de 2 y una de 0,10.
Otra posibilidad sería que en las extracciones rápidas ya estuviera tomando dos porciones de cada bolsa o incluso más, de modo que cuando creía que tomaba 1 unidad estaba en realidad tomando dos porciones de 0,50. Aunque, de ser así, ¿por qué no hay resultados de 0,60 (= 0,50 + 0,10)?
Se le ocurren nuevos experimentos. Uno en el que tomara diversas bolsas de tipo C y volviera a combinarlas con bolsas de tipo A, B ó C. Otro que pasara dinero de una bolsa A a otra B de diversos modos, comprobando así la hipótesis anterior de que hay conservación del dinero durante el proceso.

Abrumada por tamaño derroche de ingenio, la atractiva guía turística le permite ver directamente el contenido de cada bolsa. Efectivamente, hay monedas -así las llaman- de 1 y 2 unidades en A y de 0,10 y 0,20 unidades en B (figura 2).
A usted le otorgan el premio ET, un reconocimiento a su avanzada inteligencia, consistente en vales-descuento en suministradores energéticos y entrópicos denominados Pizza Hut y McDonalds. Tras el indudable atractivo que acaba de adquirir, la señorita le guiña un ojo a modo de invitación interplanetaria, pero usted la rehuye con gran profesionalidad. No en vano, desconfía del canon de belleza terrestre, que intuye claramente incompatible con el suyo, así que se apresurará a guardar los premios y a regresar a su planeta con la intención de fundar una nueva religión basada en el dinero.

Los números primos de la materia

Y es que algunos humanos -antes de su visita a nuestro humilde planeta- también se convencieron del éxito de la discretización. En los últimos siglos, el auge de la química propició una clara tendencia a la hipótesis atómica. La discretización (en átomos) de la materia está relacionada con el hecho de que la materia misma se compone de tan sólo unos pocos elementos básicos, y que estos elementos son siempre los mismos.

El hecho de que las substancias gaseosas pudieran expandirse, contraerse y el que algunas otras se consiguieran aislar a un nivel que ya no permitía seguir cambiando sus propiedades químicas, hizo creer que muchas de esas substancias eran elementales: una especie de números primos de la materia [Elementos]. Lavoisier, en 1789, afirmó que en una reacción química aislada, las masas de los productos y de los reactivos es la misma [Ley de Conservación de la Masa].

En base a esta ley podemos indagar con otro tipo de bolsas A y B; por ejemplo, veamos qué ocurre al combinar Hierro (Fe) y Oxígeno (O) y producir entre ellos una reacción química. Se pueden obtener dos compuestos posibles (en realidad, tres, pero fijémonos en dos) y, como observó Proust, para cada compuesto la proporción entre Hierro y Oxígeno es siempre la misma. Esto es similar a cuando usted extraía dinero de las bolsas iniciales para "sumarlo" en C. Ahora, para el primer compuesto tenemos 3,4903 g de Fe por cada gramo de O (77,73% Fe y 22,27% O) y para el segundo, 2,3267 g de Fe por cada gramo de O (69,94% Fe y 30,06% O). Esto significa que 3 g de Fe no reaccionarán (no se sumarán) totalmente con 1 g de O; lo harán a medias, sobrando en el proceso (3 - 2,3267 ) g de Hierro y obteniendo únicamente el segundo compuesto. [Ley de las proporciones definidas o de la composición constante]. También se observa que las cantidades de Hierro en ambos compuestos (en relación a la cantidad fija de 1 g de O) guardan entre sí una relación simple de números enteros al más puro estilo pitagórico:

(3,4903/2,3267) es aproximadamente igual a 1,5 = 3/2

tal y como observó J. Dalton [Ley de las Proporciones múltiples].
En lenguaje moderno, esos dos compuestos son el óxido ferroso FeO y el óxido férrico Fe2O3

Veamos si nuestra moderna notación es coherente con la Ley de Dalton. Si exigimos una cantidad de Oxígeno igual en ambos compuestos-en masa o en átomos, haciendo que el subíndice del Oxígeno sea 1 en el óxido férrico en vez de 3- tendremos que cambiar el subíndice del Hierro de 2 a 2/3 de modo que el cociente entre el número de átomos del Hierro de ambos óxidos será 1/(2/3) que es igual a 3/2, devolviéndonos la relación empírica anterior.

Pero antes de Proust y Dalton, B.J.Richter ya advirtió que las masas de elementos diferentes (ahora no tiene por qué ser el mismo, como en los óxidos de Hierro) que se combinan con una masa fija de otro elemento, o son iguales o guardan también una relación simple (múltiplos o submúltiplos) con las masas con las que se combinan. Este hecho notable permitió tomar un elemento de referencia para medir el peso de los demás: el Hidrógeno. [Peso equivalente en masa de un elemento].
Con el volumen de los gases ocurre algo similar. J. L. Gay-Lussac comprovó que la relación entre los volúmenes de gases en una reacción es también una relación simple de números enteros [Ley de Volúmenes de Combinación]. Al combinar un determinado volumen de Oxígeno con el doble de Hidrógeno, se obtiene el mismo volumen de Agua que de Hidrógeno (figura 4). Es decir:

1 de Oxígeno + 2 de Hidrógeno -> 2 de Agua

¿De dónde ha salido el Oxígeno suficiente para repartirse en 2 Volúmenes de Agua?,¿No era, en sí mismo, el Oxígeno, un elemento constituido en porciones iguales e indivisibles?
Avogadro enunció su famosa [Hipótesis molecular]: Los gases no están formados por átomos, sino por agrupaciones de átomos llamadas "moléculas", de tal modo que tienen aproximadamente igual número de moléculas en volúmenes iguales (en iguales condiciones de temperatura y presión), esto último confirmado ya experimentalmente. En tal caso, si en 1 Volumen de Oxígeno hay 2 moléculas (diatómicas), en 2 Volúmenes iguales de Hidrógeno habrán 4 moléculas, dos por volumen. En términos modernos:

O2 + 2H2 -> 2H2O

La molécula de Agua contiene un solo átomo de O y dos de H, repartiendo así el Oxígeno en los 2 volúmenes observados (figura 5). Los prefijos "2" de la reacción son los llamados números estequiométricos y dan cuenta de la proporción en volúmenes o cantidades de la reacción. Si no hay prefijo, se entiende que es un "1". La reacción queda simbolizada por esta igualdad, en la que los subíndices de cada elemento multiplicados por sus números estequiométricos dan valores iguales a ambos lados, convirtiéndola en una especie de ecuación.

La atomización no tiene límite y recorre toda la química y la física. La discretización de la materia en elementos, la de los elementos en partículas, la de la energía... Así, una atomización del átomo correrá paralela desde la observación de los fenómenos eléctricos y más tarde, la propia revolución cuántica vendrá de la mano de una inesperada discretización, la de la energía de la radiación electromagnética [Hipótesis de Planck sobre la radiación del cuerpo negro] que será aplicada con éxito por Einstein en la explicación del efecto fotoeléctrico.

Los números primos de la vida

¿Y qué ocurre con la vida?
Con la teoría de la evolución por selección natural, estudiamos los rasgos que acaban siendo determinantes para la adaptación de una especie en un entorno cambiante. Pero, supongamos que esos rasgos diferenciales (tales como un pico más largo, un cerebro más grande o la capacidad de asimilar lactosa en edad adulta) se transmiten a la siguiente generación en forma de mezcla. Un rasgo presente al 100% en el padre se vería menguado a un 50% en el hijo y a un 25% en el nieto. Las diferencias -ventajosas o perjudiciales- se verían así diluídas con el paso de las generaciones. ¿Cómo podría entonces esperarse una evolución de la especie si la selección sobre los individuos mejor adaptados no garantiza que las mejoras sean transmitidas? Ni siquiera la esperanza de que tal o cual rasgo reaparezca azarosamente sería suficiente para que el mecanismo tuviera eficacia.

Ésta fue, ciertamente, la principal objeción a la que se enfrentó Darwin tras publicar El Origen de las especies: la falta de una descripción precisa sobre cómo un individuo hereda sus rasgos de los progenitores, es decir, una descripción del mecanismo de la herencia. Parecía que la peligrosa idea de Darwin y Wallace no encajaba en un mundo de rasgos continuos que se mezclan.

Pero la observación de la variabilidad en el mundo natural sí parece indicar que los rasgos se transmiten de un modo total. Ese mecanismo oculto ya había sido estudiado por Mendel sobre diferentes cepas de guisantes de jardín durante más de 8 años de generaciones de cepas.

El cruce de dos variedades de guisantes, una de tallo largo y otra de tallo corto no da como resultado plantas de tallo medio. No hay mezcla, sino unidades discretas que se nos muestran activadas o desactivadas y que se transmiten "enteras" a la siguiente descendencia. Mendel utilizó cepas denominadas "puras", llamadas así porque al autopolinizarse durante generaciones siempre daban cepas de tallo largo. Asímismo, cultivó cepas puras de tallo corto. Al cruzar unas con otras, invariablemte, aparecían cepas de tallo largo. Parecía que el factor "largo" (llamado dominante) dominaba sobre el corto (llamado recesivo) a pesar de proceder de una mezcla de progenitores opuestos y puros. A este tipo de cepas las denominó "híbridas".
Pero lo realmente interesante ocurre al cruzar dos cepas híbridas (que exhiben ambas el tallo largo). El resultado son 3/4 partes de cepas de tallo largo y 1/4 parte de cepas de tallo corto. Además, la 1/4 parte de tallo corto resulta ser de tipo "pura", lo mismo que 1/3 de las cepas de tallo largo, pues al autopolinizarse posteriormente no producían híbridos.
Podemos visualizar la discretización en los factores largo (T) y corto (t) en la figura 6, donde la adición en C ocurre por combinación de uno de los dos factores de A y B con igual probabilidad. De nuevo, lo discreto -resumido en las famosas Leyes de Mendel- acude en ayuda de lo aparentemente mezclado y continuo. Lo mismo ocurría con otros pares de factores: flores rugosas/lisas, vainas amarillas/verdes, etc... con la propiedad de que la transmisión de un par de factores es independiente del resto de pares.

Así, el estudio de la selección natural es el estudio de la transmisión de los rasgos, ahora denominados genes y estudiados a nivel bioquímico. No obstante, parece que no a todos los rasgos les corresponde un único gen, y podemos encontrar varios genes o unidades discretas que se transmiten a las generaciones siguientes, que controlen un mismo rasgo...
De algún modo, el gen o la porción discreta, que es copiada de A y B en cada nueva generación C -de manera aleatoria, en este caso- nos devuelve al mundo de lo discreto desde una variedad natural aparentemente continua. Lo discreto explica lo continuo, lo hace continuo, es lo continuo, visto desde aquí. Parece que no hay continuidad que no sea explicada mediante una atomización a nivel inferior.

Y, a pesar de que la atomización se hace visible finalmente mediante microscopios de barrido o de efecto túnel, no permanece totalmente oculta en la vida cotidiana. No necesitamos observar directamente el átomo para deducir la discretización subyacente en las reacciones físico-químicas. No hemos necesitado visualizar los genes durante décadas para captar las leyes discretas de la herencia. El mismo Darwin los imaginó en forma de rasgos que se seleccionan y que se mantienen, o el mismo Dalton, en su estudio de los gases compuestos, intuyó -como nosotros con las bolsas A + B -> C del inicio- la naturaleza discreta de lo invisible. En todos los casos, se revela como la teoría más satisfactoria para explicar los resultados empíricos.

Más allá del paradigma

¿Se podrá explicar todo mediante unidades discretas que se adicionan?
Algunos fenómenos se resisten a avenirse al paradigma. Diversas cuestiones relacionadas con la física cuántica, la cosmología, el estudio de la memoria, del pensamiento o de ciertas colectividades biológicas apuntan a un nuevo paradigma basado en el llamado principio holográfico: El todo es mayor que la suma de sus partes, o cada parte contiene la misma información dada por el todo. Eliminando algunas partes que funcionan de manera concreta en un colectivo, obtenemos un resultado similar a cuando estaban allí, como si la estructura del colectivo fuera, en sí misma, una entidad con naturaleza propia.
Quizá, lo discreto explica lo continuo, y más allá, la estructura de lo discreto acabe explicando lo discreto mismo, en un regreso a una nueva continuidad, más profunda, más allá de las partes...

¿Existe otro nivel de Realidad que interconecta las partes de una estructura discreta? Quizá la estructura es un ente en sí mismo, de modo tal que cuando un cierto sistema neuronal alcanza una cierta complejidad, se activa "algo" que no existía antes... eso que llamamos conciencia. ¿Podríamos, entonces, crear robots con conciencia si les dotamos de la estructura necesaria para que ésta, simplemente, emane por sí sola?

He vuelto a creer en la informática

[Intento de volver al blog; un post friki con aspiraciones de ser útil a más de uno, sobretodo si es de los que ignora los interminables pasos a seguir para limpiar un virus del registro de Windows.]

He vuelto a creer en la informática y todo gracias a Linux.

Un ex-informático (de profesión, no de estudios) como yo, curtido en inversemblantes batallas entre servidores Novell y MS Server 2000, automatizaciones de backup y hubs enmarañados de cables, y no tenía la más mínima idea de cómo salvar mi inevitable Windows XP de un extraño virus. Pero ya se sabe, con un cliente eres estricto, pero contigo mismo te arriesgas más, incluso te pone dejar que todo se vaya a la mierda... así formateas y mejor, más limpito.

Todo comenzó con una simple pulsación, esa que haces por evitar un cuadro de diálogo que te avisa de que estás infectado. Aquel cuadro se asemejaba tanto a los mensajes propios de alguno de los múltiples e inútiles programas antimalware que tengo instalados que me fié de él. Fue entonces cuando todo empezó a ir mal.
Apareció una retahíla de mensajes de error del misterioso "GoogleUpdate". Le siguió la desaparición del nombre en la carpeta "Mis Documentos", y finalmente un bloqueo total del Sistema Operativo.

fase 1) "No pasa nada. Reinicio y con toda la artillería lo limpio", pensé. Error. El antivirus a-vast había desaparecido. Cuando logro dar con él no es posible actualizarlo. Cuelgue de nuevo. Todo intento posterior de usar o descargar nuevos programas antivirus, spyware, etc... es infructífero. La opción "Restaurar Sistema" tampoco funciona.

fase 2) Pulso F8 durante el arranque y entro en Modo Seguro. Tampoco. Al principio, consigo entrar, pero "Restaurar" no funciona, ni el antivirus. Tras varios intentos, vuelve a colgarse. Finalmente, dejo de poder entrar en Modo Seguro, ni con Red ni sin Red.

fase 3) Como tengo una entrada dual, me voy a Ubuntu, instalado en otra partición. Desde allí , utilizo varios antivirus, como Clam, para escanear las unidades de Windows. Un par de archivos infectados. Los elimino. Parece funcionar. Aprovecho para salvar algunos documentos recientemente modificados. Aunque eso no me preocupa. Soy previsor y todo lo importante está en una partición diferente a la de la instalación de Windows XP. Pero, nunca se sabe...
Aunque logro entrar a Windows XP, limpiar con Cleaner, eliminar algunos ejecutables sospechosos desde msconfig-> Inicio y alguna cosa más, no da los frutos deseados.
Windows XP sigue colgándose, no funciona a-vast y los mensajes de error siguen apareciendo.

fase 4) Durante el proceso, había recopilado alguna información sobre el virus. Con toda probabilidad se trata del llamado "Security Center" o "Sistem security", que imita los mensajes de seguridad de Windows, entre otras cosas. Muchas opciones para limpiarlo, que a algunos les funcionan y a otros no. Y entonces voy a parar a una lista, que podríamos llamar la lista de Schindler, porque más allá de sus límites no hay nada, tan sólo guerra y oscuridad...

Se trata de The LiveCD List. Una lista de distribuciones Linux LiveCD, es decir, que se ejecutan directamente en el CD. Aquí hay de todo: de rescate, con antivirus, educativas, de desarrollo, de escritorio...
Escogí, concretamente, LinuxDefender Live! que contiene una distribucion Knoppix con antivirus y herramientas de limpieza para Windows.
Así que...

fase 5) Grabo el .iso de la lista a un CD desde Ubuntu, con Brasero. Arranco el PC con el CD insertado. Se ejecuta la Knoppix del CD. Sin necesidad de hacer nada, se lanza el Bit Defender, se conecta a Internet y se actualiza. Comienza a escanear todas las unidades de disco que encuentra. Me detecta 14 archivos infectados en las particiones de Windows. Los pongo en cuarentena. Uno no se deja. Da igual, vamos a ver cómo está la cosa.
Entro a Windows XP y ¡funciona! Parece todo perfecto. Durante un día todo vuelve a funcionar. Lo limpio un poco, instalo la última versión de a-vast free, escaneo, me detecta algunas cosillas, me escanea luego la memoria al arranque y parece que todo está bien.
Pero, demasiado rápido... al 2ª día... vuelve a colgarse igual que antes. El mismo mensaje de error de "GoogleUpdate" y el cuelgue posterior.

fase 6) Vuelta a empezar. Vuelvo a usar el CD Live de Linux. Me vuelve a detectar 12 archivos infectados. Parece que se ha reproducido aquél que no logré limpiar. De nuevo, todo vuelve a funcionar. Esta vez me aseguro: instalo un Cortafuegos... PC Tools Firewall Plus, porque esos troyanos es lo que tienen, se esconden y cuando te das la espalda se conectan y te la pegan con el primero que pasa...

Fase actual) Buff... Y desde hace casi una semana todo funciona OK. Conseguí no tener que formatear. Demasiado trabajo reinstalar y configurar tanto programa.

Ahora puedo decir que, gracias a los desarrolladores de la Knoppix, he vuelto a creer en la informática.

Crítica irreverente a mí, en tanto que yo, ahora.

Irreverente es esta PAUSA que no salta. Me la imagino como el botón de un cassette ahora ya antiguo pero que en otro tiempo nos permitía escuchar perlas como Your Song o 37 grados, de un tirón.
Irreverente y larga la espera cuando esperas, como en la canción de Pau Riba, cuando esperas una muerte -simbólica o no- que no llega.
Irreverente el impasse desde el último post de este blog, tan irregular en el ritmo, desordenado en la temática, a veces obtuso, con frecuencia desaprensivo, siempre inacabado, nunca lo suficientemente balsámico para la angustia que me genera la propia ignorancia.
Irreverente es este desierto de palabras, cuando todo a mi alrededor destila interés de conocimiento. Sólo deseo y espero que en breve ese interés se defina de nuevo y me haga disfrutar como antes.
No tan irreverente esta crítica, por ser de uno.

Hasta pronto!

Construcción de diagramas de espaciotiempo (IV)

Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes.

Llegados aquí, no es prudente caer en la euforia. Los diagramas de espaciotiempo se han deducido en base a los postulados de la Relatividad Especial y prometen ser útiles para nuestros propósitos, pero esto no implica que sepamos lo que estamos haciendo. Para abordar con éxito los fenómenos de Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes, debemos proceder paso a paso, midiendo cada uno de los sucesos siguientes del modo correcto y traduciendo las mediciones a la geometría de los diagramas.

LOS SUCESOS

Suceso A: Bacall y su casa se encuentran en el mismo punto del espacio.
Suceso B: Bacall y la casa de Bogart se encuentran en el mismo punto del espacio.

LA DILATACIÓN DEL TIEMPO

Desde O, en reposo, lo que mide Bogart (Δt)

“Pasaré por tu casa sin pararme, a una velocidad de... 0,998c”- asegura Bacall justo antes de colgar.
Y tras convenir ese fugaz encuentro, Bogart observa por la ventana con unos potentes prismáticos el reloj de pared de la casa de Bacall, situada a 9 Km. Curtido en decenas de películas, Bogart tiene en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar esos 9 Km hasta sus prismáticos, efectúa la corrección correspondiente y anota la hora leída: eran las “22h” exactamente cuando Bacall salió de casa según un reloj situado allí mismo, en x = a. Bogart ha medido el tiempo para el suceso A. Más tarde, cuando Bacall pase por delante de su puerta, (suceso B) Bogart observará su propio reloj hiperpreciso y leerá “22h 0min 0,000030s”. Por tanto, el tiempo empleado por Bacall en ir desde su casa -en a- hasta la de Bogart -en b- es ∆t = 0,000030s = 30μs y ha sido medido mediante dos relojes, cada uno en el punto del espacio correspondiente. Las líneas de mundo de los relojes leídos por Bogart se han dibujado como flechas negras, dobles y discontinuas en la figura O.

Estos relojes forman una pequeña red sincronizada, porque se están corrigiendo sus lecturas teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la información. Conforman la línea de simultaneidad de O en nuestro diagrama, el propio eje x, avanzando hacia arriba paralelamente a sí mismo. Para medir ∆t hemos ido a buscar el punto donde se cruza la línea de mundo del reloj b (que es una línea de reposo, perpendicular al eje x) y el eje t', que es la línea de mundo de Bacall –o de su reloj- en movimiento (flecha azul, doble y discontinua de la figura O). Cuando ella pasa fugazmente por su puerta y Bogart lee su reloj estamos en el Suceso B.

Desde O, en reposo, lo que debe medir Bacall (τ)

Bacall, desde el punto de vista de nuestro cómodo sofá, viaja a velocidad v=0,998 desde su casa a la de Bogart, por lo que su línea de mundo puede dibujarse sobrepuesta al eje t' partiendo del origen en a. Evidentemente, ésta será una línea de reposo del punto a en el sistema O'. Ella va a leer dos veces su reloj de pulsera, anotando un tiempo transcurrido ∆t’, que en la figura P es lo que mide el segmento AB sobre el eje t'. En este caso, al tiempo medido sobre la propia línea de mundo de un reloj se le llama tiempo propio o τ (tau).

Tenemos dos medidas: ∆t para Bogart y τ para Bacall. Podríamos usar regla y compás, calibrar los ejes t y t' con las hipérbolas (derivadas de la invariancia del Intervalo ∆s²) y hallar sus valores gráficamente. Pero obtendremos la misma información de un modo algebraico, también gracias al Intervalo ∆x² - ∆t² = ∆x’² - ∆t’² , sabiendo que ∆x' = 0 (pues el reloj de Bacall no recorre ningún espacio entre los sucesos A y B, según su propia lectura), sabiendo que v = ∆x/∆t y definiendo γ²=1/(1-v²),

∆x² - ∆t² = - τ²
τ ² = ∆t² - ∆x²
τ²/∆t² = 1 – v² = 1/γ²

por lo que, ∆t = γ τ

Hemos obtenido la fórmula que relaciona ∆t y τ, justamente la relación entre la hipotenusa y el cateto que consideramos en el capítulo anterior y que desafiaban a la geometría euclídea. La relación depende únicamente de v, como era de esperar. En el capítulo anterior, la hipérbola ∆s²= -1 nos permitió comparar ambos segmentos; ahora, confirmamos que la hipotenusa τ siempre va a ser menor que el cateto ∆t, pues γ siempre es mayor que 1, en nuestro caso, γ = 15. Así pues, si Bogart midió ∆t =30μs (segmento AC), entre A y B, Bacall sólo habrá medido un tiempo τ =2μs en su reloj de pulsera (segmento AB). [Ver figura P]

Pero este espectacular fenómeno va a la par de otro no menos extraño. Porque, si es igualmente lícito pensar que Bacall se encuentra en reposo y es el resto del mundo quien avanza hacia ella, entonces, en un tiempo τ=2μs, será Bogart quien recorra los 9Km considerados inicialmente, lo que nos daría una velocidad muy diferente de 0,998, como debería ser por el 1er postulado (de hecho, una v mayor que c). Luego, el único modo de resolver la paradoja es admitiendo que no sólo los tiempo medidos ∆t y τ son diferentes en ambos sistemas, sino también los espacios ∆x y ∆x' entre A y B. En efecto, medir una longitud como la que separa los sucesos A y B es también un ejercicio dependiente de nuestras líneas de simultaneidad pues el método correcto consiste en medir los extremos de la longitud a la vez.

LA CONTRACCIÓN DE LONGITUDES

Desde O, en reposo, lo que deben medir Bogart (Lp) y Bacall (Δx’)

Desde O en reposo, Bogart habría medido la distancia que separa a Bacall de su casa a la suya, y es ∆x = 9Km, el cateto sobrepuesto al eje x (segmento AD). En cambio, cuando Bacall mida esa misma distancia, deberá hacerlo intersectando las líneas de mundo de ambas casas –líneas de reposo, verticales- con una línea de simultaneidad de O'. El resultado es el segmento AE de la figura Q. Dada la simetría de los diagramas es fácil percatarse de que los segmentos AD y AE son cateto e hipotenusa de un triángulo semejante al triángulo de tiempos de cateto AC e hipotenusa AB considerado en el punto anterior.

Recuérdese que el ángulo formado por los ejes t y t’ es igual al formado por los ejes x, x’: exactamente arctan(v). Luego, la proporción entre la hipotenusa y cateto en los espacios debe ser la misma que en el caso de los tiempos:

AD = γ AE

Luego, ∆x’= 600 m

Hemos obtenido la fórmula de la Contracción de Longitudes, según la cual la longitud ∆x = AD medida desde un sistema de referencia en reposo respecto de los extremos a y b siempre será mayor que cualquier otra. A esta longitud siempre mayor, se la denomina Longitud propia y la denotamos como Lp (ver figuras P y R). Para Bacall, que mide sólo 600m, la longitud propia de 9Km ha parecido contraerse en la dirección del movimiento.

Nuestra relación queda: Lp = γ ∆x’

Esto no quiere decir que Bacall, desde su sistema de referencia considere que se está moviendo, ya vimos que ∆x’ = 0 entre los sucesos A y B. Pero ella podría considerar que son Bogart, su sofá y el mundo entero los que recorren una distancia ∆x' para ir desde b hasta a viajando a 0,998 veces c en un tiempo τ.

Ahora, los pares de valores de espacio y de tiempo concuerdan: Lp / ∆x’ = ∆t / τ = γ, por lo que las velocidades relativas medidas desde O y O' serán la misma. En la figura R se ha intentado -muy a grosso modo- mostrar las diferentes medidas teniendo en cuenta un punto u tomado como unidad de calibración en O y O'.

Hemos visto que τ es menor que ∆t, por lo que Bogart lee más cantidad de tiempo entre los sucesos A y B que Bacall. ¿Significa esto que Bacall ha envejecido más lentamente? Debemos tener cuidado con este tipo de afirmaciones pues, por el momento, no hay manera de comparar en un mismo marco de referencia los efectos relativistas de ambos. Bacall se encuentra en movimiento relativo con Bogart y la cuestión de las medidas temporales y espaciales se halla subtendida al hecho que de ambos utilizan diferentes conceptos de simultaneidad. Volveremos a este punto muy pronto. Desde luego, ella no va a disponer de más tiempo en su vida que el que su hermosa biología le conceda. Todos sus relojes, ritmos y latidos avanzan por igual para sí misma.

[Apunte: Pronto entenderemos porqué Ender –protagonista de la saga de O. Scott Card- se hacía multimillonario viajando a grandes velocidades de planeta en planeta. Los intereses de su cuenta de ahorros disponían de más tiempo que él para multiplicarse. Asímismo, la famosa Tau cero, de Poul Anderson , tiene que ver con la tendencia de tau a disminuir si v aumenta, hasta hacerse teóricamente cero si v = 1 (la luz). En tal caso, la línea t’ del sistema O’ se encuentra prácticamente sobre la bisectriz (45º) y el corte con la hipérbola unidad (ver figura ñ) se daría en el infinito]

¿Y SI FORZAMOS EL REPOSO DE O’?

Desde O’, en reposo, lo que deben medir Bacall (∆t’) y Bogart (τ)

Estamos de suerte. Sin necesidad de cambiar de diagrama y aún teniendo los ejes de O’ inclinados, consideremos que es O’ el que está en reposo y O en movimiento. Será una modo gráfico de ver cómo las relaciones entre tiempos y espacios de ambos sistemas son realmente relativas y se dan tanto en un sentido como en otro. Veamos el caso del tiempo. El lector observará que para el espacio la situación es simétrica.

Retomando la figura P y considerando que O’ es ahora el sistema en reposo, cualquier medida de tiempo se efectuará sobre una línea de simultaneidad de O’ (lo contrario que antes). Por lo tanto, ahora Bogart y el mundo viajan desde el punto b al a a lo largo de la línea EB de la figura S pues Bacall sólo comenzará a contar el tiempo de salida a partir del punto E ya que ese punto es el único simultáneo con el Suceso A que coincide con la línea de mundo de Bogart. Por tanto, Bacall medirá un tiempo ∆t’ igual al segmento AB y se convencerá de que Bogart mide τ = EB leyendo dos veces su reloj de pulsera. Este tiempo es menor. ¿Cuánto menor? La relación debe cumplirse por igual, luego ∆t’ = γ τ

Ahora τ es ∆t, pues es el tiempo medido dos veces en un mismo reloj en reposo con el observador, en este caso, Bogart. τ es menor que ∆t’, luego Bacall mide más cantidad de tiempo entre A y B, por lo que Bogart debería envejecer menos que ella entre ambos sucesos. Traslademos ahora el segmento EB hasta el eje t -lo que nos da AF- para compararlo con el caso de la figura P que consideraba O en reposo. Es interesante observar cómo el suceso F -proyección de B sobre el eje t- es el último instante que Bacall va a ser capaz de medir mediante su línea de simultaneidad y tiene un valor muy inferior al C de la figura P.

UN ATISBO DE PARADOJA

Igualmente interesante es considerar a Bacall deteniendo su coche en casa de Bogart, cruzando el umbral y cenando tranquilamente con él. Gráficamente, deberíamos dibujar nuevos ejes t'', x'' en el punto B de la figura P pues aquí Bacall cambiará su Sistema de Referencia O’ por O’’, que sería, a todos los efectos, igual al O de Bogart (t'' será paralelo a t y x'' a x). En cualquier caso, cuando comparen sus relojes, aparece la paradoja: si aceptamos el 1er postulado según el cual todos los sistemas son equivalentes y no existe el movimiento absoluto –ni, por tanto, efectos distinguibles de un movimiento relativo- ambos deberían haber envejecido más lentamente que el otro durante esa noche. Pero esto es absurdo. Entonces, ¿cuál de los dos habrá envejecido menos?

Tal pregunta abre la puerta a la famosa Paradoja de los Gemelos que será discutida en la siguiente entrega.

PD: El caso real que ha inspirado lo expuesto aquí es el de los muones, cuyo período de vida media (tiempo de vida promedio en reposo) es τ = 2μs. El proceso sigue una ley estadística de decaimiento exponencial. Su generación en las altas capas de la atmósfera viajando hacia la Tierra a v = 0,998 debería hacerlos desintegrarse tras recorrer una distancia de 600m. En cambio, siguiendo la fórmula de la Dilatación del Tiempo, parecen vivir más desde la Tierra, exactamente un factor γ =15, lo que nos da un ∆t = γ τ = 30μs de vida. El número de muones que sobreviven a una distancia de Lp = γ 600 m = 9 Km es igual al que debería haber si su período de vida media fuera de 30 μs y no de 2μs.

Como si Bacall se esfumase al pasar por delante de la puerta de Bogart. La historia de mi vida.

PPD: Una explicación más detallada del experimento de los muones se encuentra p.e. en RELATIVIDAD ESPECIAL (A. P. FRENCH, Curso del M.I.T.)

Breve historia de la astronomía

¿Se ha planteado usted cuántas lunas llenas verá en su vida? Tenga en cuenta las que no verá por estar demasiado ocupado, las que pasarán desapercibidas, las que querrá ver y las nubes no se lo permitirán. Haga la cuenta. El número resultante es inquietantemente pequeño.
En homenaje a los que pasan frío cada noche espiando los cielos. Esos cielos que ya apenas se ven, a los que nuestro modo de vida comienza a dar la espalda.

Cuando abrió los ojos, pasó un largo tiempo anonadado con la bola de fuego a la que llamó Sol, la misteriosa cara de la Luna y la serenidad fría de las estrellas. Los cielos le parecían majestuosos, tan alejados de la degradación y mortandad propias de la Tierra que los creyó conformados de algún tipo de esencia especial [éter] y cuya presencia controlaba su propio destino. Dudó si dar más importancia al Sol, que parecía proveer de vida a la Tierra, o a la Tierra misma, que la alojaba; duda que le perseguiría durante mucho tiempo.

Por la noche, todas las estrellas parecían girar en una bóveda esférica de Este a Oeste alrededor de un punto fijo [el eje del mundo]. Pronto se percató de que 5 de ellas -al margen del Sol y la Luna- también se movían, pero más lentamente, en relación a las demás y en sentido contrario. Completaban un ciclo -período- de Oeste a Este sobre las estrellas fijas que era de unos 30 años para la más lenta. Debía ser la que controlaba el tiempo, así que la llamó Cronos [Saturno]. Además, esas estrellas errantes [planetas] retrocedían sorprendentemente hacia el Oeste haciendo bucles para proseguir luego hacia el Este [movimiento retrógrado].

El Sol no siempre salía y se ponía por el mismo lugar del horizonte a excepción de dos momentos al año en los que el día duraba exactamente lo mismo que la noche [equinoccios]. Esos dos acontecimientos le ayudaban a saber cuándo sembrar o recoger lo sembrado. Más tarde, se convencería de que en esos días, el punto por donde el Sol salía en relación con el firmamento, también variaba, a la par que variaba el eje del mundo [precesión] completando un ciclo de unos 26000 años [astronomía maya, Hiparco]. Pensó también que los planetas más lentos en su giro de Oeste a Este debían estar más alejados, y que la Luna, grande, rápida y a merced de fases de iluminación solar se hallaría mucho más cerca.

Poco a poco, se obsesionó con tener un modelo general que lo explicase todo. La matemática le pareció una técnica a la altura de los cielos que observaba, pues sus ideas eran también incorruptibles e inmutables [Escuela Pitagórica]. En concreto, la idea de Círculo, con su mágica propiedad de la equidistancia, se le antojó idónea para describir los giros del cielo [Platón]. Estaba seguro de que la Tierra debía ser aproximadamente esférica, aunque dudó entre hacerla girar de Oeste a Este una vez al día (explicando así el movimiento de Este a Oeste del firmamento) o dejarla inmóvil y hacer girar al propio firmamento. Calculó las dimensiones de la Tierra [Eratóstenes], la Luna y el Sol, colocando al Sol en el centro del Universo [Aristarco].

Pero no se sintió cómodo con esta idea. Hacía tiempo que intentaba simplificar la abrumadora variedad que lo rodeaba mediante unos pocos elementos básicos. Agua, aire, tierra y fuego eran buenos candidatos [tradición griega] y quizá también el metal y la madera [tradición china]. Además, parecía que todo lo conformado de un elemento tendía a reunirse con ese elemento, así como las piedras [graves] caían de modo natural hacia la Tierra desde donde estuvieran, pues estaban formadas de tierra. Este hecho reafirmaba la idea de la Tierra como centro del Universo [geocentrismo], pues sólo desde un centro se atrae de igual modo a todas las partes. Además, pensó que si la Tierra se moviese girando o trasladándose todo saldría volando, incluido él mismo.

Por fin, construyó un modelo donde cada movimiento celeste observado se explicaba como el giro de una esfera que arrastra al cuerpo que gira [esferas homocéntricas]. En algunas versiones de su teoría llegó a considerar 27 esferas [Eudoxo], en otras, 34 [Calipo] y a cada nuevo movimiento detectado e inexplicado añadía una o dos nuevas esferas. Al principio, las utilizó como meras hipótesis matemáticas pero se convenció finalmente de su existencia real, llegando a 56 esferas [Aristóteles]. Deberían ser cristalinas pues no se ven, y con un movimiento que provenga de cada una de las demás, en una propagación ordenada desde la esfera más grande y alejada, la de las fijas, que será movida por un algo necesariamente inmóvil [Primer Motor Inmóvil].

Pero el sistema de esferas le creó serias dificultades pues los planetas deberían estar siempre a igual distancia de la Tierra alojados en su esfera. En cambio, su brillo variaba constantemente, pareciendo acercarse y alejarse con frecuencia. Construyó entonces un nuevo modelo geocéntrico sin esferas basado en combinaciones de círculos para cada planeta denominados epiciclos-deferentes o en órbitas excéntricas de centro variable, dependiendo del planeta considerado [Apolonio, Hiparco].

Después, catalogó más de 1000 estrellas, perfeccionó y unificó el modelo [Ptolomeo] y descansó.

Volvió tiempo después a preocuparse por sus datos que, con los siglos, parecían imprecisos. Diversas veces reescribió el catálogo [Tablas alfonsíes] y vio que los errores se amontonaban y nuevos métodos de observación, inventados por él mismo, le hicieron replantearse el modelo.

Recordó la teoría heliocéntrica y vio que se ajustaba a la extraña danza planetaria igual de bien que la geocéntrica, aunque de un modo conceptualmente más simple [Copérnico]. Ahora ya no estaba convencido de la incorruptibilidad del cielo, pues había tenido mucho tiempo para ver nacer y morir estrellas en cuestión de semanas o meses [novas], cometas que parecían situados más allá de la atmósfera, manchas en el Sol, montañas y valles en la Luna, y satélites en Júpiter [Galileo]. Sus refinadas observaciones [Tycho Brahe] le hicieron descartar las órbitas circulares que tanto había idealizado por órbitas elípticas y encontró relaciones matemáticas entre las distancias y los períodos de los planetas [Kepler].

Aun no estaba del todo convencido, porque si la Tierra se movía y no era el centro del mundo, la caída de los graves debería describirse por igual en cualquier planeta. Necesitó entonces una Teoría de Gravitación a la que llamó Universal, es decir, válida para cualquier centro de gravedad [Newton]. Este modelo predijo la existencia de un nuevo planeta [Neptuno], que más tarde sería localizado confirmando la predicción. Sintió entonces una satisfacción colosal: los éxitos y los descubrimientos se multiplicaban.

A pesar de ello, aparecieron algunas discrepancias con la teoría [precesión del perihelio de Mercurio]. Movido por una serie de acontecimientos de diversa índole, llegó al convencimiento de que no podía considerarse a ningún objeto como quieto o en movimiento de una manera absoluta, sino sólo en relación a otro. Esto aparentaba estar reñido con el hecho de que la velocidad de la luz no parecía depender del movimiento del cuerpo que la emitiera. Ambas ideas le hicieron desarrollar una nueva geometría en la que se mezclaban el espacio y el tiempo [Relatividad Especial, Einstein]. El movimiento acelerado tampoco podía ser absoluto y como los centros de gravedad aceleran a los graves, extendió esa geometría al concepto mismo de gravedad, sustituyendo a la anterior Teoría de Gravitación Universal -que hablaba de incómodas fuerzas a distancia- por una Teoría geométrica de la Gravitación [Relatividad General, Einstein]. Ahora, ya no había fuerzas sino un espacio-tiempo que es curvado por los cuerpos que a su vez se desplazan por esas mismas curvaturas. De nuevo, el modelo resultó eficaz para explicar las discrepancias observadas y propició extraños resultados que pronto serían confirmados.

Uno de ellos venía a decir que el Universo no era estático y que se expandía.

Volvió a dudar de su modelo, pero un análisis de las velocidades de las galaxias le reveló que cuanto más alejadas se encontraban a mayor velocidad se alejaban [Hubble]. Entonces pensó que en el pasado, todo el Universo debió estar reducido a un punto singular, de densidad y temperatura enormes, y como el espacio y el tiempo se entendían unidos en una misma geometría, el uno y el otro debieron generarse a partir de aquel punto [Big Bang]. Creyó en poder detectar algún rastro de esa gran temperatura inicial [Radiación cósmica de fondo], y por casualidad un día la encontró sin buscarla [Penzias, Wilson], y pronto se convenció de su importancia.

¿Y de dónde surgió ese punto? ¿Debía reciclar su vieja idea de un Primer Motor Inmóvil? A menudo, la sustituía por una deidad creadora de todo el Universo, pero ya hacía tiempo que estaba acostumbrado a usar métodos experimentales para corroborar sus teorías y la especulación gratuita no le satisfacía del todo. Pronto, calcularía que en el vacío podían generarse partículas siguiendo extrañas leyes que parecían correctas [Energía de vacío cuántica]. Pensó que tal vez ese punto singular apareció sin más, por pura probabilidad. Esta idea, la de la Probabilidad y su relación con lo que él llamaba Realidad le intrigó de nuevo y la guardó en su pensamiento.

Otro de aquellos extraños resultados predecía la existencia de objetos tan pesados que la curvatura que provocaban al espacio-tiempo le hacía doblarse sobre sí mismo, transformándose en un sumidero donde todo era engullido, incluída la luz [Agujero Negro].

Ahora, ya no se dedicaba en exclusiva a la observación del cielo; hacía tiempo que combinaba esa actividad con múltiples estudios de todo tipo, que realimentaban una y otra vez las teorías de cada uno de ellos.

Envió instrumentos al espacio, máquinas exploradoras e incluso él mismo viajó fuera de la Tierra y pisó la Luna legendaria. Fue entonces, observando a la azulada Tierra salir por el horizonte lunar, que recordó maravillado aquella primera noche en la que se irguió más que de costumbre, abrió bien los ojos, miró al cielo y supo que ya nunca más sería el mismo de antes.

Feliz Año Internacional de la Astronomía 2009

PD: En este artículo no encontrará fotografías de la Luna. Mejor, salga a verla.

PPD: El orden de los acontecimientos no es exactamente cronológico en algunos casos y la exagerada linealidad de los mismos se ha utilizado con fines divulgativos... :-)

Elogio a Tycho

Posiblemente, el danés Tycho Brahe fue el más grande observador del firmamento de todos los tiempos, además de un personaje peculiar. Entre otros avatares de la vida, perdió parte de su nariz en un duelo por disputas matemáticas a la edad de 20 años, lo que le obligó a llevar una prótesis metálica de por vida. Su obsesión por la sistematización de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes -antes del uso del telescopio- lo llevó a reunir los datos más precisos y avanzados de su época a lo largo de 30 años, con el margen de error más pequeño jamás conseguido: de 1' de arco en las posiciones planetarias.

A menudo, Tycho es recordado por su negativa a aceptar el modelo heliocéntrico de Copérnico, quizá por una actitud conservadora. Pero es más una cuestión de coherencia experimental la que le impide desechar una Tierra inmóvil en el centro del Universo, hasta el punto de elaborar un nuevo modelo de compromiso, a caballo entre el de Ptolomeo (geocéntrico) y el de Copérnico (heliocéntrico). Pero, para comprender los razonamientos de Tycho, debemos explicar antes lo que es el Paralaje.

Paralaje ocular

Observemos un objeto cercano, tal como un jarrón en el centro de la habitación. Si cerramos alternativamente los dos ojos veremos que la posición del jarrón respecto de la pared del fondo varía. Nuestros dos puntos de observación, los dos ojos, están separados unos pocos centímetros.

Esta distancia es suficientemente grande en comparación con la distancia al jarrón para que influya en la observación. En la figura 1 podemos ver que el ángulo p nos permite encontrar la distancia al jarrón, utilizando la definición de tangente de un ángulo. Este ángulo es denominado Paralaje y nuestra Base para definirlo es B, la mitad de la distancia entre los dos ojos.
Si la pared del fondo fuera una bóveda esférica graduada, podríamos leer rápidamente la diferencia en grados, minutos y segundos entre una localización y otra del jarrón...

Paralaje diurno

Observemos ahora la Luna en la figura 2. Podemos tomar como base el Radio terrestre (Rt = 6378 Km) y de fondo las estrellas del firmamento. Anotamos la posición de la Luna a distintas horas con una diferencia de 12h. De este modo, estamos observándola desde dos posiciones opuestas respecto del firmamento, la 1 y la 2 ¡y sin movernos de casa!. [De hecho, deberíamos corregir aquí el movimiento que habrá efectuado la Luna en esas 12h y el de traslación de la Tierra. Otra opción sería tomar dos medidas simultáneas desde dos observatorios en lados opuestos de la Tierra]

El paralaje p medido de este modo, es aproximadamente de 1º. Así pues, conocido el Radio terrestre, obtenemos una distancia a la Luna de unos D = (Rt / tan 1º) = 365395 Km.
Con este método, también observamos una paralaje diurno de unos 9'' en el Sol, lo que nos da una distancia de unos 146 Millones de Km.

Paralaje anual

Vayamos algo más lejos. Supongamos que la Tierra orbita alrededor del Sol y que, por tanto, se mueve en relación al firmamento. En este caso, observaremos paralaje en una estrella que se encuentre más cerca que el resto si tomamos como base la distancia Tierra-Sol, que es usada como patrón y denominada Unidad Astronómica (149 500 000 Km = 1 UA). Las dos observaciones deberán realizarse ahora con un intervalo de unos 6 meses.

Fijémonos en la figura 3. Podemos aproximar tan p = p debido al paralaje cada vez más pequeño. Por otro lado, nos daría igual que todas las estrellas del firmamento se encontraran a la misma distancia en una orbe esférica fija. En tal caso, deberíamos observar variaciones entre sus distancias relativas, es decir, ligeras deformaciones en las constelaciones a lo largo del año. Dependiendo de dónde se encuentre la estrella a estudiar, en vez de tomar los puntos 1 y 2 de la órbita terrestre, podríamos tomar dos puntos a medio camino entre ellos, o cualesquiera otro par y trazar la observación en cualquier dirección del firmamento. Nuestra base seguiría siendo, como una aceptable aproximación, de 1 UA.

Se ha definido el parsec (paralaje-segundo, en inglés) como aquella distancia D a una estrella cuyo paralaje es de 1'' de arco cuando éste es medido con una base de 1 UA, es decir, tomando como base el radio medio de la órbita terrestre. 1 parsec (1 pc) equivale a unos 3,24 años luz. Así, la distancia (en pc) vendrá dada por el inverso del paralaje (en segundos de arco).

Vemos cómo la existencia de Paralaje nos permite calcular la distancia al objeto observado. Ahora bien, la no existencia de Paralaje -tomando una base determinada- también nos informa de algo: de que esa base que pretendíamos tomar no es suficiente para medir ninguna distancia porque, o bien es demasiado pequeña en comparación con ella o bien los dos puntos tomados para realizar las medidas (por ejemplo, dos posiciones diferentes de un planeta en una órbita alrededor del Sol) son en realidad el mismo punto (luego, no hay órbita).

El encuentro Tycho-Kepler

Sería un buen guión para una gran película: el año y medio de colaboración entre Tycho Brahe y Johannes Kepler en Praga a petición del primero en 1600. Ésta duraría hasta la muerte de Tycho por explosión e infección de vejiga(!), posiblemente agravada por altas dosis de Mercurio en la sangre, tan aficionado como era a la alquimia. (¿O quizá lo envenenó Kepler para hacerse con sus datos?).
No parece que fuera fácil la relación entre ambos. Kepler, seducido por el modelo heliocéntrico de Copérnico, con una gran capacidad de interpretación matemática y ávido de aplicarla; Tycho, ya consagrado, reacio a aceptar la traslación de la Tierra y a facilitar todos sus datos a un joven colaborador que pretendería tomarlos para demostrar un modelo de Universo que no era el suyo.
Kepler era un convencido platónico, hasta el punto de haber basado su primera obra Mysterium Cosmographicum (1596) en un modelo heliocéntrico donde el encaje de los diversos poliedros regulares en las orbes planetarias pretendía dar fe de las distancias de los 6 planetas al Sol. El alemán anhelaba dar con la causa matemática del orden subyacente del firmamento, ya fuera con poliedros o con la teoría que mejor se acomodase a los datos. Y los Datos estaban en Praga y en posesión de Brahe.
Tras la muerte de Tycho en 1601, Kepler se hace con todas las anotaciones, y promete al danés en su lecho de muerte que aplicará los datos para dilucidar con éxito las cuestiones astronómicas, como el movimiento retrógrado de Marte. Finalmente, cumplirá la promesa, aunque no corroborará el modelo de Universo de Tycho sino el de Copérnico y el suyo propio, donde las órbitas serán elípticas y no circulares, y los períodos planetarios tendrán una relación numérica simple con las distancias al Sol, al más puro estilo pitagórico.

La precisión de Tycho

Tycho es una bisagra que no se abre a la reciente moda heliocéntrica, pero tampoco profesa la geocéntrica de un modo irracional. Es el juez que simboliza lo experimental, con la mayor precisión posible en aquel momento: la del minuto de arco. Es capaz de discutir con autoridad experimental el modelo heliocéntrico, herético para muchos, pues nadie como él ha observado y anotado lo que en realidad está ocurriendo ahí arriba, en el firmamento.

Tycho admira a Copérnico y a Kepler pero es él el que viene escuchando los cielos desde los tiempos del palacio-observatorio Uranienburg, en la isla de Hven, antes de ser acogido por el Rey Rodolfo II en Praga. Y lo que los cielos le decían, con una precisión de hasta 1' es que no había detección alguna de paralaje en las estrellas fijas. Nunca la había habido, y desde tiempos de Aristarco éste fue un argumento de peso contra las teorías heliocéntricas. ¿Cómo puede estar la Tierra en movimiento respecto las estrellas y no detectar paralaje en las posiciones de éstas? Y si tal movimiento diera lugar a un paralaje de menos de 1' de arco -indetectable por Tycho-, eso implicaría que el Universo es increíblemente más grande de lo que el gran Ptolomeo afirmó en el Almagesto, pues la distancia a las estrellas fijas sería entonces enorme. En cambio, una Tierra inmóvil es más coherente con las observaciones de Tycho, que situará a la Luna y al Sol orbitando a su alrededor. Su razonamiento es impecable, anclado en lo experimental y en un argumento basado en la autoridad de Ptolomeo. A pesar de ello, sí aceptará que el resto de planetas orbiten alrededor del Sol. El sistema geocéntrico llevaba ya mucho tiempo enmarañándose con filigranas geométricas (basabas en combinaciones de círculos) para explicar los extraños movimientos planetarios.

Pero, ciertamente, la Tierra se mueve y el Universo es enorme, así que nos encontramos con paralajes en las estrellas de menos de 1'', lo cual es utilizado para medir sus distancias con el patrón del parsec. Podemos calcular que Alfa Centauri, la estrella con el paralaje más grande, 0,76'', y por tanto, la más próxima, se encuentra a tan sólo 4,3 años luz de distancia ya que (1 / 0,76'' )= 1,315 pc.
El paralaje anual estelar no comenzó a medirse hasta 1838, cuando la potencia de los telescopios lo permitió. Otros efectos del movimiento terrestre ya habían sido detectados, como la aberración de la luz, unos 100 años antes.

Resulta irónico que la misma precisión que tanto obsesionó a Tycho, acabe dándole la razón a Kepler y al heliocentrismo. Cuando Kepler aplica el viejo modelo de los ecuantes en órbitas circulares para calcular la órbita de Marte, los datos de Tycho no le cuadran. Obtiene errores en las posiciones de Marte de hasta 8'. Imposible. Si las medidas utilizadas fueran de otro, con errores habituales para la época de justamente 8', este desacuerdo podría ser achacado al error experimental. Pero son las de Tycho, de 1' de error máximo, luego el desacuerdo debe ser fruto del modelo matemático utilizado. Es la premisa de que las órbitas son circulares la que debe estar errada. Kepler probará diferentes modelos de órbitas hasta dar con la elipse, que se ajustó a la perfección. Colocando a la Tierra como un planeta más orbitando también a lo largo de una elipse y el Sol en uno de sus focos, los datos se ajustan correctamente a lo observado y se resuelve, entre otros, el enigma del movimiento marciano, al menos hasta ese error de 1' de arco que sí es experimental.

Sin la precisión de Tycho, no habría habido necesidad de desechar las órbitas circulares. Desde luego, a nadie se le habría ocurrido -y mucho menos a Kepler- poner en tela de juicio la magnificencia del Círculo: hubiera sido como cuestionar al mismísimo Platón. Y es justamente un neoplatónico como él quien relegará al Círculo a la trastienda de la nueva astronomía.

La historia de Brahe y Kepler es un ejemplo de la importancia del error en las medidas y de cómo el juego de los modelos del mundo se vio sometido al juicio -aunque no sumarísimo- de los datos experimentales.

Esperemos que pueda verse pronto en las mejores pantallas.